流體力學課件-

C.H.5粘性流體動力學

5.1應力分析

1.應力與理想流體一樣，考慮粘性后，流體所承受的力也可歸結為兩類：即質量力與表面力。我們稱單位面積上的表面力為應力，用表示，為該面的外法線方向。一般說來，可分解為法向應力與切向應力，即：對于理想流體因無摩擦存在，切應力為零，只存在法應力，且總是指向內法線方向，即。而考慮粘性后，不再為零。在直角坐標系中，來研究分別作用于垂直于x,y,z軸各平面上的應力。

設為作用于正方向上的表面力(yz平面，左邊流體作用于x面上的力)，在x,y,z方向的投影為：同理可作出y,z面上的表面力在x,y,z方向的投影：法向應力：切向應力：二階應力張量：yzxo

2.應力的性質

1)切應力之間具有對稱性，即：

2)某點的應力不僅與該點的位置、作用的時間有關，而且與作用面的方向有關。即同一點取不同的面，是不同的。但可以證明，任意三個相互垂直的表面力的法向應力之和相等，即三個主應力值之和與作用面的方向無關，因此，僅是作用點的坐標和時間函數。把主應力的算術平均值定義為粘性流體的壓力，即：

上式的負號是由于規(guī)定法向應力以拉力為正，壓力為負.

3)應力張量與變形速度的關系

考慮粘性后，引入6個未知項，為使方程組封閉，在一定的假設下建立應力張量與變形速度間的關系：若流體不可壓：，上式可簡化為：對于理想流體，

4)關于粘性系數當時，理想流體;關于的項是由于考慮了粘性而引起的，稱為粘性系數。在水平方向（x方向）以力F拉面積為A的板，板的速度為U，在速度不大和板矩h都很小的情況下，試驗證明下式成立：取極限時有：

稱作牛頓切應力公式或牛頓定律，滿足上式牛頓流體；不滿足上式非牛頓流體。粘性系數是反應流體粘性大小的一種度量，它的大小與流體的種類有關，而且隨溫度與壓強而變。的量綱可據牛頓切應力公式導出

N·s/m2=牛頓·秒/平方米,動力學粘性系數

;m2/s=平方米/秒,運動學粘性系數當溫度T=15時，水和空氣的年性系數分別為：

5)粘性流體壓力與理想流體壓力之間區(qū)別對于理想流體，不存在切向應力。兩個特性:①理想流體壓力P的大小與它的作用面無關，即：②理想流體的壓力就是作用在物體表面上沿內法線方向上的單位面積上的表面應力，即：對于粘性流體，存在切應力，特性:

①作用于物體表面沿法線方向的表面壓力是法向應力，而不是粘性流體壓力P。②不僅與點的位置、時間有關，而且與作用面的方向有關

③定義粘性流體的壓力P為三個主應力的算術平均值，即：

5.2Naiver-Stokes方程

1.粘性流體的運動方程BACEDFHGzyxdxdzdyD’1)表面力：作用于六面體上的表面力在x,y,z方向的分量為：2)質量力：單位質量流體所受質量力：據牛頓第二定律，便可寫出粘性流體的運動方程如下：

把應力和變形速度之間的關系代入粘性流體的運動方程中，得到Ｎ－Ｓ方程Naiver-Stokes運動方程

若流體不可壓，則上式可簡化成：未知數共有五個，方程只有四個,方程組不封閉，但對于均質不可壓流體或正壓流體,方程組封閉不可壓流體在直角坐標系中的運動方程及應力關系總結為：

5.3N-S方程的幾個解析解

均質不可壓或正壓流體，N-S方程與連續(xù)方程構成了一完整方程組。給出定解條件便可進行求解。但由于該方程組是一個二階非線性偏微分方程組，求解困難。

理想均質不可壓或正壓流體的歐拉方程中也存在非線性項，但部分實際問題可以看作是無旋，于是問題歸結為求解勢函數滿足的拉氏方程。

粘性流體，運動有旋，必須去解原始的二階偏微分方程組。數學家們還沒有提供求解非線性偏微分方程的普遍有效方法，就是對于粘性不可壓均質流體方程組解的存在性與唯一性問題迄今還沒有全面解決，這是對于某些簡單情形才得到證明。所以為求出N-S方程的解。我們不得不據力學考慮，作一些近似或假定，對方程組進行簡化，以便找出一定準確度的解。一是找準確解:對于簡單問題，忽略非線性項，方程組簡化，求方程的解析解。二是求近似解：據問題的特點，抓大放小，得到近似方程，然后求解，具體處理上還可分兩種情況:（1）小Re情形：（2）大Re情形：

(3)中等Re情形：慣性力與粘性力同樣重要，數值解。忽略慣性力，方程線性化；忽略粘性力，理想流體處理；

1定常單一方向的層流運動(a)兩平板內的流動(TheplaneCouette-Poiseuilleflow)問題：均質不可壓流體在兩足夠長、寬的平行平板之間作定常層流流動，兩平板相距為h，假定：上板與均勻U沿x方向運動，下板靜止，求板內流體速度分布。xyzoUh1)分析：（1）平板沿z方向足夠寬，沿x方向足夠長，以致平面兩側及兩端邊界的影響可忽略;(2)定常層流，故有：(3)均質不可壓，(4)流體是由于上板帶動而引起的單一方向層流，

2)基本方程與邊界條件邊界條件：y=0,u=0,y=h,u=U

3)求解：

4)討論：(1)若，即壓強在x方向無變化，這時速度分布為該運動可看作是由于上平板運動由于粘性而引起的，顯然，若U=0，則u=0，即流體靜止。這種流動就叫作PlaneCouetteFlow.(2)若上下兩平板都不同，而，流動由方向壓強差而引起，流速分布為：這種流動就叫作PlanePoiseuilleFlow.(3)上板運動及在x方向有壓強差，這種流動叫作ThePlaneCouette-PossuilleFlow.

(b)橢圓截面管中的定常層流取橢圓柱軸為x軸，均質不可壓流體沿x方向作定常層流運動，橢圓管的流線方程為：xoczyb1)分析(1)設管子足夠長，以致管兩端的影響可以忽略不計，據題意知管內流體只沿管軸方向做定常層流的直線運動;(2)流體均質不可壓，(3)質量力為重力，2)基本方程與邊界條件邊界條件：3)求解

4)討論（1）在橢圓管中心處，y=0，z=0，流速最大，即：（2）求橢圓截面上的平均流速：（3）單位時間的體積流量：（4）若b=c=R即把問題化為圓截面管子的流動問題（5）若,簡化為兩平行平板相隔2c內的層流（6）若取，取橢圓管與圓管具有相同的截面積，現來研究一下在單位時間內通過這兩種管子截面的體積流量。

即盡管橢圓管與圓管截面面積相同，但其流量要小于同樣截面積的圓管。2.柱、球坐標中的N-S方程及應力形式在一些工程問題中，例討論園管中的流動，球的運動，往往采用柱坐標及球坐標會更加方便，下面我們不加推導的給出不可壓流體在柱坐標、球坐標中的N-S方程及應力表達式。

1)柱坐標(),()球坐標（），（）

應力表示：

3.圓管的定常層流設有一很長的圓管，其半徑為R，內有均質不可壓縮粘性流體沿管道作定常層流運動，討論這種流動的特征：分析：

1)由于設管子很長，則管兩端的影響可以不予考慮，另外據題意可知管內流體只沿管軸方向做定常直線運動。

2)取柱坐標，則由于管子邊界對于管軸對稱，故管內流動為軸對稱流動。以數學上描述這兩個特征，便是：3)因為質量力即重力只是在方向，在z方向無分量，即：4)管子截面均勻，則連續(xù)方程為：

N-S方程可簡寫成：

求解：因為當r=R,;所以討論：顯然,①當r=0，即在管軸速度最大，即：②平均流速（通過截面）③在單位時間通過管中任一截面的體積流量為：④切應力4.兩同軸旋轉圓柱間的定常流動問題：在一半徑為的空心圓柱面內有一半徑為的同軸圓柱，兩柱面間充滿均質不可壓縮粘性流體，內外圓柱分別以沿逆時針方向旋轉，試求流體的速度分布以及內柱面上的摩擦力。分析：該流場具有下列特征：（1）因圓柱足夠長，故可忽略兩端影響，可看作是平面流動;（2）邊界條件對柱軸對稱，故可化為流場對稱與柱軸，且流體只是繞柱軸流動。據以上分析的流動特性，取柱坐標系最方便，柱軸為z軸，在此坐標系中，有：(3)因運動定常，且不考慮重力，則有：N-S方程及邊界條件可寫成：

求解利用邊界條件，可確定出：求得，便可用N-S方程中的第一式確定壓強分布。討論邊界條件①若，即內外兩圓柱以同一角速度旋轉，則待運動穩(wěn)定后，便有：②若，即外圓柱靜止，這時便有:③若，即內圓柱靜止，這時便有④若且,,即相當于圓柱在無界空間中的旋轉，這時：⑤內圓柱面單位面積上的摩擦力作用于單位時間長度柱面上的摩擦力5.4小雷諾流動的近似解

求N-S方程的近似解，其基本思路：根據問題的物理特點，抓住主要而忽略某些次要因素，從而對方程組進行簡化，可得到N-S方程的近似方程，在某些情況下，可求出該近似方程的解析解。這種方法叫作求N-S方程的近似方程。這方法在解決實際問題時被大量采用且證明是行之有效的。在具體處理是，常分為兩種情況：一是小雷諾數情形，雷諾數為慣性力與粘性力之比，即：當Re很小時，即慣性力比粘性力要小得多;可以全部或部分忽略慣性力得到簡化了的線性方程，從而求其解。

二是大雷諾數，即Re>>1此時粘性力比慣性力要小得多，于是，我們可在區(qū)域的絕大部分（除靠近邊界的一薄層流體之外）忽略粘性，作為理想流體處理，從而使問題簡化。對于中等Re問題，慣性力與粘性力都得保留，此時常常采用數值計算方法求N-S方程的數值解。1.方程組的簡化在不可壓縮流體的N-S方程中（若忽略質量力）有三種力，即慣性力，壓強梯度力與粘性力，Re小則意味著慣性力與粘性力相比是個小量，也即在具體問題中粘性力對流動起主導作用，而慣性力是次要因素，作為零級近似，可以將慣性力全部略去，即N-S方程可簡化為：這是一個線性方程，它是小雷諾數時作為零級近似的N-S方程，下面以圓球在無界空間中的極慢運動為例來說明對于小Re問題該如何具體求解。2.圓球繞流問題:有一個半徑為a的圓球，在靜止的無界粘性均質不可壓縮流體中以低速度U作等速直線運動，求由于球的運動而引起的流體的速度分布，壓力分布以及圓球所受阻力。分析：據相對性原理，上述問題等價于在無窮遠處速度為U的粘性均質不可壓流體繞固定圓球的定常流動（無分離繞流）因為假定U極小，球的半徑也小，而流體的粘性較大，從而雷諾數Re相對小，故可忽略N-S方程中的慣性力，另外假定不考慮質量力。若取球坐標系（），坐標原點取在球心。顯然，流場對稱于軸，且已知運動定常，用數學語言描述就是：基本方程與邊界條件在圓球上r=0上

在無窮遠處：

求解：用試解法求解N-S方程，據邊界條件，可令試解為：邊界條件可變?yōu)椋?/p>

其中最后可得小球極慢運動的解為：

討論：求圓球所受阻力:作用在圓球上的應力為，它的三個分量為：因為整個流動對稱于Z軸，所以在Z軸垂直方向的合力必為零，作用在圓球上的力全部沿Z軸，此合力為阻力可按下式算出量值：

Stokes阻力公式

5.5柯氏力場中的粘性流體運動前幾節(jié)討論都是在絕對固定坐標系下的運動，即在慣性坐標系中的運動。但實際問題，隨地球一起運動的非慣性坐標系。把在絕對坐標系(慣性坐標系)中的N-S方程推廣到非慣性坐標系中，然后舉例來說明如何應用及求解費慣性坐標系中的N-S方程。慣性坐標系：o-xyz；z:地軸，0:地心；x、y軸落在赤道平面;

非慣性坐標系：o’-x’y’z’；o’:平均海平面；x’:沿緯圈，向東為正；y’:沿經圈，向北為正；z’:自地心經o’鉛直向上為正。地球自轉角速度經一系列演算，可得非慣性坐標系中不可壓縮流體的N-S方程：柯氏參數；一般說來海洋中水平尺度遠大于垂向尺度：可證明相對于方程中其它項至少是高一階小量，可略去。y0xX′’z′