專(zhuān)題訓(xùn)練(三) 平行四邊形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

專(zhuān)題訓(xùn)練（三）平行四邊形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題班別 姓名 （教材P68習(xí)題第13題的變式與應(yīng)用）【原題】（人教版八年級(jí)下冊(cè)教材第68頁(yè)第13題）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速針對(duì)訓(xùn)練如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC，AD=6,BC=16，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng).求當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.DABDAB如圖，A,B,C,D為矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=25cm,AD=8cm,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)AC同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng).P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到第幾秒時(shí),PQ〃AD?試問(wèn)：P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到第幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米.如圖，平行四邊形ABCD中，AC=6,BD=8,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線(xiàn)AC移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線(xiàn)CA移動(dòng).經(jīng)過(guò)幾秒，以P,Q,B,D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？⑵若BC丄AC垂足為C,求⑴中矩形邊BQ的長(zhǎng).如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.⑴作DE丄BC于E,則CD邊的長(zhǎng)度為10cm；從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，四邊形PQBA是矩形？在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.APfDB—APfDB—QC5.如圖，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)．求證：四邊形PMEN是平行四邊形；請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；(3)四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的.4 PB長(zhǎng)；若不可■能，請(qǐng)說(shuō)明理由.X0DEC參考答案【例】（人教版八年級(jí)下冊(cè)教材第68頁(yè)第13題）參考答案【例】（人教版八年級(jí)下冊(cè)教材第68頁(yè)第13題）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速14y.D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.【解答】①設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形,TAP=t，CQ=31，DP=24—t，?°?DP=CQ.?°?24—t=3t.???t=6,即經(jīng)過(guò)6s時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形，此時(shí)PQ〃CD，且PQ=CD.②設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)，PQ=CD，即四邊形PQCD是等腰梯形，VAP=t,BQ=26—31,??t=26—31+2,t=7.綜上所述當(dāng)t=6s或7s時(shí)，PQ=CD.【方法歸納】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中構(gòu)造的特殊四邊形的性質(zhì)列方程求解針對(duì)訓(xùn)練如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,AD=6,BC=16，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng).求當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.解：由題意可知，AP=t,CQ=21,CE=|bc=8.TAD〃BC,???當(dāng)PD=EQ時(shí)，以點(diǎn)P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.當(dāng)2tV8,即tV4時(shí)，點(diǎn)Q在C、E之間，如圖甲.此時(shí)，PD=AD—AP=6—t,EQ=CE—CQ=8—21,由6—t=8—2t得t=2.當(dāng)8<21<16，且t<6,即4<t<6時(shí)，點(diǎn)Q在B、E之間，如圖乙.此時(shí)，PD=AD—AP=6—t,EQ=CQ—CE=2t—8,由6—t=2t—8得七=14???當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s或可s時(shí)，以點(diǎn)P、Q、E、3Z_D

圖甲圖乙如圖，A,B,C,D為矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=25cm,AD=8cm,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)AC同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng).P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到第幾秒時(shí)，PQ〃AD?試問(wèn)：P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到第幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米.解：⑴設(shè)P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到第x秒時(shí)，PQ〃AD,???四邊形ABCD是平行四邊形，???AB〃CD，即AP〃DQ.?PQ〃AD,???四邊形APQD是平行四邊形.???AP=DQ.???3x=25—2x.解得x=5.答:P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到第5秒時(shí)，PQ〃AD.(2)設(shè)P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到第a秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米,?BP=25—3a,CQ=2a,???根據(jù)梯形面積公式得:2(25—3a+2a)?8=84.解得a=4.答：P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到第4秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米.如圖，平行四邊形ABCD中，AC=6,BD=8,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線(xiàn)AC移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線(xiàn)CA移動(dòng).經(jīng)過(guò)幾秒，以P,Q,B,D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形?⑵若BC丄AC垂足為C,求⑴中矩形邊BQ的長(zhǎng).解：(1)當(dāng)t=7秒時(shí)，四邊形BPDQ為矩形.理由如下：當(dāng)t=7秒時(shí)，PA=QC=7,AC=6,???CP=AQ=1.???PQ=BD=8.BD=8,AC=6,??四邊形ABCD為平行四邊形,BD=8,AC=6,A0=C0=3.???B0=D0=4.???0Q=0P=4.???四邊形BPDQ為平形四邊形.PQ=BD=8,???四邊形BPDQ為矩形.由(1)得B0=4,CQ=7,BC丄AC,???ZBCA=90°.BC2+CQ2=BQ2.

如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.作DE丄BC于E,則CD邊的長(zhǎng)度為更c(diǎn)m；從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，四邊形PQRA是矩形？在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.APfDB—APfDB—QC解：⑵如圖1,由題意得：AP=t,DP=12—t,CQ=21,BQ=18—21.要使四邊形PQBA是矩形，已有ZB=90°,AD〃BC即AP〃BP，只需滿(mǎn)足AP=BQ即t=18—21,解得t=6,因此，當(dāng)t=6秒時(shí)，四邊形PQBA是矩形.不存在，理由：如圖2,要使四邊形PQCD是平行四邊形，已有AD〃BC即DP〃CQ,只需滿(mǎn)足DP=CQ即12—t=2t,.??t=4時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形，但DP=12—t=8H10，即DPHDC,???按已經(jīng)速度運(yùn)動(dòng)，四邊形PQCD只能是平行四邊形，但不可能是菱形.D4ADQ0BIS如圖，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形PMEN是平行四邊形;請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形;四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能求出AP的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)???M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn),???ME是PC的中位線(xiàn)，NE是PD的中位線(xiàn).???ME〃PC，EN〃PD.???四邊形PMEN是平行四邊形.⑵當(dāng)AP=5時(shí)，AP=BP，在RtAPAD和RtAPBC中，|ZA=ZB,Iad=bc，???△PAD竺△PBC(SAS).???PD=PC.???M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn),??.ne=pm=2pd，me=pn=￡pc.???PM=ME=EN=PN.???四邊形PMEN是菱形