增分點(diǎn)2數(shù)列問題新情境,理解題意最關(guān)鍵

增分點(diǎn) 數(shù)列問題新情境，理解題意最關(guān)鍵新定義型數(shù)學(xué)試題，背景新穎、構(gòu)思巧妙，主要通過定義一個新概念或約定一種新運(yùn)算，或給定一個新模型來創(chuàng)設(shè)新的問題情境，要求我們在充分閱讀題意的基礎(chǔ)上，依據(jù)題中提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，從而順利地解決問題，這類題型能有效地區(qū)分學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)能力．[典例](2016全·國卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對任意k≤2m，a1，a2，,，ak中0的個數(shù)不少于“1”的個數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A．18個B．16個C．14個D．12個[方法演示]法一：列表法根據(jù)題意得，必有 a1＝0，a8＝1，則將0,1進(jìn)行具體的排法一一列表如下：由上述表格可知，不同的 “規(guī)范01數(shù)列”共有14個．法二：列舉法根據(jù)題意可得，必有a1＝0，a8＝1，而其余的各項(xiàng)：a1，a2，,，a8中有三個0和三個1，并且滿足對任意k≤8，a1，a2，,，a8中“0”的個數(shù)不少于“1”的個數(shù)．可以一一列舉出不同“規(guī)范 01 數(shù)列”，除第一項(xiàng)和第八項(xiàng)外，中間六項(xiàng)的排列如下：000111,001011,001101,001110,010011,010101,010110,011001,011010,100011,100101,100110,101001,101010，共14個．(理)法三：分類計數(shù)法根據(jù)題意可得該 “規(guī)范01數(shù)列”共有八項(xiàng)，其中 a1＝0，a8＝1，則不同的“規(guī)范 01數(shù)列”的前四項(xiàng)按照“0”的個數(shù)進(jìn)行分類討論：若前四項(xiàng)全為0，則后四項(xiàng)一定全為1，這樣的“規(guī)范01數(shù)列”只有1個；若前四項(xiàng)有3個0，則前四項(xiàng)的排列有3種，后四項(xiàng)的排列也有3種，這樣的“規(guī)范01數(shù)列”有3×3＝9個；若前四項(xiàng)有2個0，則前四項(xiàng)的排列有2種，后四項(xiàng)的排列也有 2種，這樣的“規(guī)范01數(shù)列”有2×2＝4個．故不同的“規(guī)范01數(shù)列”的總數(shù)為 14種．(理)法四：填“空”格法根據(jù)題意可得該 “規(guī)范01數(shù)列”共有八項(xiàng)，其中， a1＝0，a8＝1，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”采用“0,1”填“空”的方式計數(shù)．具體如下：將“規(guī)范01數(shù)列”的八個項(xiàng)按照序號從小到大的方式以 “空”格形式表示，再用“0,1”去填“空”格．可以得到一些不同的 “規(guī)范01數(shù)列”．第7個“空”格填“1”，則其余5個“空”格只需選2個“空”格填“1”，然后再排除第2個和第3個“空”格連排“1”的情況，有C25－1＝9(種)；第7個“空”格填“0”，顯然第6個“空”格只能填“1”，再對第5個“空”格分類討論：若第5個“空”格填“0”，第4個“空”格只能填“1”的方法只有 2種；若第5個“空”格填“1”，那么最后一個 “1”可以任意排的方法只有 3種．故不同的 “規(guī)范01數(shù)列”共有9＋2＋3＝14種．答案：C[解題師說]可以從以下三個方面解決此類問題．提取新定義的信息，明確新定義的名稱和符號；深刻理解新定義的概念、法則、性質(zhì)，縱橫聯(lián)系探求解題方法，比較相近知識點(diǎn)，明確不同點(diǎn)；對新定義中提取的知識進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，其中提取、化歸與轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn)．新定義問題的解題思路為：①若新定義是運(yùn)算法則，直接按照運(yùn)算法則計算即可；②若新定義是性質(zhì)，要判斷性質(zhì)的適用性，能否利用定義外延；也可用特殊值排除等方法．[應(yīng)用體驗(yàn)]1．(2018茂·名一模)我國古代數(shù)學(xué)著作 《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是： “現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤解析：選A依題意，金箠由粗到細(xì)各尺的重量構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a1＝4，則a5＝2，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤．12．已知數(shù)列{an}中，a1＝ 3，an＋1＝[an]＋〈an〉([an]與〈an〉分別表示 an的整數(shù)部分與小數(shù)部分)，則〈a2018〉＝()A.3－1B.3－1C.3＋122－1D.3解析：選B因?yàn)閍1＝3，an＋1＝[an]＋1，所以[a1]＝1，〈a1〉＝3－1，所以a2〈an〉＝1＋1＝2＋3－1＝2＋2＝4＋(3－1)，a4＝4＋1＝5＋3－1，a5＝5，a33－13－123－12＋2＝7＋(3－1)，a6＝7＋1＝8＋3－1，〈a2n－1〉＝3－1，〈a2n〉＝3－1，,，3－13－122所以〈a2018〉＝3－12.一、選擇題1．在數(shù)列{an}中，若存在非零整數(shù)T，使得am＋T＝am對于任意的正整數(shù)n均成立，那么稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期．若數(shù)列{xn}滿足xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，如x1＝1，x2＝a(a∈R，a≠0)，當(dāng)數(shù)列{xn}的周期最小時，該數(shù)列的前2018項(xiàng)的和是()A．672B．673C．1344D．1346解析：選D要使周期最小，即使得第一項(xiàng)之后的各項(xiàng)中盡早出現(xiàn)1，又已知第二項(xiàng)不應(yīng)是0，所以1,0,1,0不符合．所以1,1,0,1,1,0，,，周期為3.又2018＝3×672＋2，所以S2018＝1＋1＋2×672＝1346.2．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞解析：選B每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為{an}，則前7項(xiàng)的和S77381，公比q＝2，依題意，得a11－2＝381，解得a1＝3.1－23．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，在其中有道“竹九節(jié)問題”：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容各多少？”意思為：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量和為 4升，上四節(jié)容量之和為 3升，且每一節(jié)容量變化均勻 (即每節(jié)容量成等差數(shù)列)．問每節(jié)容量各為多少？在這個問題中，中間一節(jié)的容量為 ( )737A.2B.336710C.66D.11解析：選C設(shè)從最下節(jié)往上的容量構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d.則a1＋a2＋a3＝4，3a1＋3d＝4，a9＋a8＋a7＋a6＝3，即4a1＋26d＝3，7解得a1＝66，d＝－66.95－767中間為第五節(jié)，即a5＝a1＋4d＝66＋4×66＝66.4．對于一切實(shí)數(shù)x，令[x]為不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝[x]稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù)．若an＝fn，n∈N*，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S3n＝()3321n321A.n－B.n＋n22222923C．3n－2nD.n－n22nn解析：選A由題意，當(dāng)n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2時均有an＝f3＝3＝k，所以S3n＝0＋0＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋,＋(n－1)＋(n－1)＋(n－1＋n＝3×1＋n－1×(n－3個3個3個21)＋n＝3n2－1n.225．(2018泉·州模擬)若存在常數(shù)k(k∈N*，k≥2)，q，d，使得無窮數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋d，n?N*，k則稱數(shù)列{an}為“段比差數(shù)列”，其中常數(shù)k，q，d分別叫做段長、段qan，n∈N*，k比、段差．設(shè)數(shù)列{bn}為“段比差數(shù)列”．若{bn}的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1,3,0,3，則b2019＝()A．3B．4C．5D．6解析：選D法一：∵{bn}的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1,3,0,3，∴b2017＝0×b20160，∴b2018＝b2017＋3＝3，∴b2019＝b2018＋3＝6.法二：∵{bn}的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1,3,0,3，∴b1＝1，b2＝4，b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4＋3＝3，b6＝b5＋3＝6，b7＝0×b6＝0，,,，∴當(dāng)n≥4時，{bn}是周期為3的周期數(shù)列．∴b2019＝b6＝6.6．由n(n≥2)個不同的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列a1，a2，,，an中，若1≤i<j≤n時，aj<ai(即后面的項(xiàng)aj小于前面的項(xiàng)ai)，則稱ai與aj構(gòu)成一個逆序，一個有窮數(shù)列的全部逆序的總數(shù)稱為該數(shù)列的逆序數(shù)．如對于數(shù)列 3,2,1，由于在第一項(xiàng) 3后面比3小的項(xiàng)有 2個，在第二項(xiàng)2后面比2小的項(xiàng)有1個，在第三項(xiàng)1后面沒有比1小的項(xiàng)，因此，數(shù)列3,2,1的逆序數(shù)為2＋1＋0＝3，若an＝－2n＋19(1≤n≤100，n∈N*)，則數(shù)列{an}的逆序數(shù)為()A．2525B．5050C．2475D．4950解析：選D因?yàn)閍n＝－2n＋19(1≤n≤100，n∈N*)，故{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，所以逆序數(shù)為99＋98＋,＋1＝99＋1×99＝4950.27．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝3，a3＋a4＋a5＝27，定義x＝[x]＋〈x〉，其中[x]為實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，〈x〉為x的小數(shù)部分，且0≤〈x〉<1，記b＝〈anan＋1〉，則nSn數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn為()4n2＋2n－85n2＋2n－8224n2＋3n－85n2＋3n－8C.4n2＋12n＋8D.4n2＋12n＋8解析：選D 由a3＋a4＋a5＝27可得a4＝9，設(shè){an}的公差為d，則3d＝6，即d＝2，故an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n，anan＋1＝2n＋12n＋3＝4n2＋8n＋33，n2＋2n2＝4＋2nn＋2nn＋2nS當(dāng)n＝1時，b1＝〈a1a2〉＝〈4＋1〉＝0，S13當(dāng)n≥2時，易知 0<n2＋2n<1，311故bn＝n2＋2n＝2n－n＋2(n≥2)，故Tn＝b1＋b2＋b3＋,＋bn＝0＋31－1＋1－1＋1－1＋,＋1－1＋1－12243546－＋1n＋n1nn2＝3111－122＋3－＋n＋2n15n2＋3n－84n2＋12n＋8(n≥2)，當(dāng)n＝1時也滿足，故選 D.8．已知在△ABC中，A1，B1分別是邊 BA，CB的中點(diǎn)，A2，B2分別是線段 A1A，B1B的中點(diǎn)，,,，An，Bn分別是線段An－1A，Bn－1B(n∈N*，n>1)的中點(diǎn)，設(shè)數(shù)列{an}，{bn}―→―→―→(n∈N*)，給出下列四個命題，其中假命題是()滿足：BN＝AN＋BNA．?dāng)?shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列B．?dāng)?shù)列{an＋bn}是等比數(shù)列an(n>1，n∈N*)既有最小值，又有最大值C．?dāng)?shù)列bn―→＋b＝1D．在△ABC中，若C＝90°，CA＝CB，則|BN|最小時，ann2解析：選C―→1―→1―→―→―→1―→―→―→＋由BAN＝1－nBA＝1－n(CA－CB)，n＝nCB，BN＝BnB22BB2―→1―→＋1―→―→1―→1―→11BAN＝nCB1－n(CA－CB)＝1－nCA＋n－1－1CB，所以a＝1－n，＝n－12222n2bn2－1，則數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列，故A正確；數(shù)列{an＋bn}中，an＋bn＝1n，a1＋b1＝1，即數(shù)列{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列，故B正確；當(dāng)n>12222n－11時，an＝2n1＋nC錯誤；在△ABC中，若2222＝°，＝，則―→222―→2―→―→22―→22212C90CB|BN|＝(an＋bn＋2anBN·＝(an＋bn，an＋bn＝1－nCA)CACB)CA2＋12＝5×12－6×1n＋2＝5132122n－1－12n2n－5＋，當(dāng)n＝1時，an＋bn取得最小值，即當(dāng)225―→1，故D正確．|BN|最小時，an＋bn＝29．(2017全·國卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，,，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20,21，再接下來的三項(xiàng)是20,21,22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是()A．440B．330C．220D．110解析：選A設(shè)第一項(xiàng)為第1組，接下來的兩項(xiàng)為第2組，再接下來的三項(xiàng)為第3組，依此類推，則第n組的項(xiàng)數(shù)為n，前n組的項(xiàng)數(shù)和為nn＋1.2由題意可知， N>100，令nn＋1>100，2得n≥14，n∈N*，即N出現(xiàn)在第 13組之后．易得第1－2nn－1，前n組的所有項(xiàng)的和為21－2nn＋1n組的所有項(xiàng)的和為＝21－2－n＝21－2n－2.設(shè)滿足條件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)組，且第N項(xiàng)為第k＋1組的第t(t∈N*)個數(shù)，若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則第k＋1組的前t項(xiàng)的和2t－1應(yīng)與－2－k互為相反數(shù)，即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，∴當(dāng)t＝4，k＝13時，N＝13×13＋1＋4＝95<100，不滿足題意；2當(dāng)t＝5，k＝29時，N＝29×29＋1＋5＝440；2當(dāng)t>5時，N>440，故選A.10.如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且 |AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則( )A．{Sn}是等差數(shù)列B．{Sn2}是等差數(shù)列C．{dn}是等差數(shù)列D．{dn2}是等差數(shù)列解析：選A由題意，過點(diǎn)A1，A2，A3，,，An，An＋1，,分別作直線B1Bn＋1的垂線，高分別記為h1，h2，h3，,，hn，hn＋1，,，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得h1，h2，h3，,，hn，＋，,成等差數(shù)列，又S＝1×|B＋，|B＋1|為定值，所以{Sn}是等差數(shù)列．hn1n2nBn1|×hnnBn11．設(shè)無窮數(shù)列{an}，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε(無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an－A|<ε成立，則稱數(shù)列{an}的極限為A.給出下列四個無窮數(shù)列：{(－1)n×2}；②1＋1＋1＋,＋1；1×33×55×72n－12n＋11＋111③1＋222＋23＋,＋2n－1；{1×2＋2×22＋3×23＋,＋n×2n}，其極限為2的共有()A．4個B．3個C．2個D．1個解析：選D對于①，|an－2|＝|(－1)n×2－2|＝2×|(－1)n－1|，當(dāng)n是偶數(shù)時，|an－2|＝0；當(dāng)n是奇數(shù)時，|an－2|＝4，所以不符合數(shù)列{an}的極限定義，即2不是數(shù)列{(－1)n×2}的極限．對于②，|an－2|＝1＋1＋1＋,＋11×33×55×72n－12n＋1－2＝11＋1－1＋11＋,＋－－233557|11－1－4＝1＋n＋1ε(無論多小)，不存在2n＋2n－112n＋1>1，所以對于任意給定的正數(shù)正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an－2|<ε，即2不是數(shù)列1＋1＋1＋,＋1×33×55×71的極限．2n－12n＋11111對于③，由|an－2|＝1＋2＋22＋23＋,＋2n－1－2＝×1－112n2－2ε，得－2ε，即對于任意給定的正數(shù)ε(無論多小)，總存1＝nn>12<log1－2在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|a－2|<ε成立，所以2是數(shù)列111＋＋2＋n221 123＋, ＋2n－1的極限．對于④，|an－2|＝|1×2＋2×22＋3×23＋,＋n×2n－2|＝2×22＋3×23＋,＋n×2n>1，所以對于任意給定的正數(shù)ε(無論多小)，不存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an－2|<ε，即2不是數(shù)列{1×2＋2×22＋3×23＋,＋n×2n}的極限．綜上所述，極限為2的數(shù)列共有1個．12．對于數(shù)列{xn}，若對任意n∈N*，都有xn＋2－xn＋1<xn＋1－xn成立，則稱數(shù)列{xn}為“減差數(shù)列”．設(shè)bn＝2t－tn2－n，若數(shù)列b5，b6，b7，,，bn(n≥5，n∈N*)是“減差數(shù)列”，2n－1則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()33A.0，5B.0，53，＋∞D(zhuǎn).3，＋∞C.55解析：選C由數(shù)列b5，b6，b7，,，bn(n≥5，n∈N*)是“減差數(shù)列”，得bn＋bn＋2tn2－ntn＋22－n＋2<2t－tn＋12－n＋1＋n＋n即tn2－ntn＋22－n＋2tn＋12－n＋1n＋2n＋2>n，22化簡得t(n2－4n)>n－2，由題知，當(dāng) n≥5時，t(n2－4n)>n－2恒成立，n－21所以t>n2－4n＝4恒成立．n－2－n－2令n－2＝x(x≥3，x∈N*)，設(shè)y＝x－4x(x≥3，x∈N*)．易知函數(shù)y＝x－4x在[3，＋∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝3時，y取得最小值5，3所以當(dāng)x＝3時，1＝1取得最大值3，y45x－x即當(dāng)n≥5時，1的最大值為3，45n－2－n－2則t的取值范圍是3，＋∞.5二、填空題13．在數(shù)列{an中，∈N*，若an＋2－an＋1＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，}nan＋1－an下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.其中判斷正確的序號是

________．解析：由等差比數(shù)列的定義可知，

k不為

0，所以①正確；當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為

0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，

所以②錯誤；當(dāng){an}是等比數(shù)列，且公比 q＝1時，{an}不是等差比數(shù)列，所以③錯誤；數(shù)列0,1,0,1，,是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個0，所以④正確．答案：①④n14．(2018蘭·州模擬)對于正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝x(1－x)在x＝2處的切線與平面直角坐an標(biāo)系的y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列l(wèi)og2n＋1的前10項(xiàng)和等于__________．解析：y′＝nxn－1n＝[n－(n＋1)x]xn－1nn－(n＋1)x，當(dāng)x＝2時，y＝2(1－2)＝－2，所以曲線在點(diǎn)(2，－2n)處的切線的斜率k＝(－n－2)×2n－1，切線方程為y－(－2n)＝(－n－2)×2n－1×(x－2)，當(dāng)x＝0時，y＝(n＋1)×2n，所以an＝(n＋1)×2n，所以logan＝logn＝n，即數(shù)列l(wèi)og2an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，其前2n＋122n＋110項(xiàng)的