有限元第一章

有限元法基礎(chǔ)教師：董紀(jì)偉力建學(xué)院力學(xué)系教學(xué)安排課時(shí)分配

理論36學(xué)時(shí)上機(jī)9學(xué)時(shí)考試方式

平時(shí)成績+大作業(yè)+期末考試公共郵箱

用戶名：femy2013@163.com密碼：youxianyuan2013網(wǎng)絡(luò)資源

小木蟲論壇教材及參考書使用教材《有限單元法》王勖成編著清華大學(xué) 出版社參考教材《有限元方法基礎(chǔ)教程》DarylL.Logan

著伍義生吳永禮等譯電子工業(yè)出版社《有限元方法編程》I.M.Smith，D.V. Griffiths著電子工業(yè)出版社《有限元分析》——ANSYS理論與應(yīng)用 SaeedMoaveni著電子工業(yè)出版社《彈性力學(xué)簡明教程》徐芝綸高等教育出版社

通過介紹有限元法的基本概念，理論，方法與程序，使學(xué)生能夠掌握其求解力學(xué)問題的特點(diǎn)，解題過程，熟悉一種有限元程序，初步具備使用有限元方法解決工程設(shè)計(jì)分析問題的能力。

教學(xué)目的第1章預(yù)備知識(shí)1.1引言1.2微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法1.3變分原理和里茲（Ritz）法1.4彈性力學(xué)的基本方程和變分原理1.5小結(jié)——有限單元法的數(shù)學(xué)、力學(xué)基礎(chǔ)1.1

引言1.數(shù)值計(jì)算方法概述工程問題（力學(xué)、物理等）建立一組基本方程控制微分方程邊值條件常微分方程偏微分方程位移邊界條件力的邊界條件初始條件求解精確解近似解（數(shù)值解）（均質(zhì)、邊界條件簡單）（1）有限差分法（2）等效積分法（包括變分法）（3）有限單元法（4）邊界單元法……（1）有限差分法要點(diǎn)：差分微分；代替差分方程代替微分方程（代數(shù)方程）yx013hh優(yōu)點(diǎn)：yx013hh收斂性好、程序設(shè)計(jì)簡單、非線性適應(yīng)好。代表性軟件：FLAC缺點(diǎn)：當(dāng)邊界幾何形狀復(fù)雜時(shí)，解的精度受到限制。（2）等效積分法控制微分方程邊值條件建立等效的積分方程假設(shè)未知函數(shù)整個(gè)區(qū)域內(nèi)近似求解（a）加權(quán)余量法（加權(quán)殘值法）（配點(diǎn)法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法、等）（b）變分法

當(dāng)原問題存在某個(gè)泛函時(shí)，則原問題等價(jià)于求該泛函的駐值。如：Ritz法等。特點(diǎn)：

在整個(gè)區(qū)域內(nèi)，假設(shè)未知函數(shù)。適用于邊界幾何形狀簡單的情形。xy（3）有限單元法——加權(quán)余量法、變分法的推廣。

基本思想：整個(gè)區(qū)域分成若干個(gè)單元區(qū)域離散假設(shè)未知函數(shù)在單元上由變分原理等求出單元結(jié)點(diǎn)上值（近似解）2.有限單元法的發(fā)展及其軟件1941，Hernnikoff(赫蘭尼可夫)，用格柵的集合體來表示二維、三維的結(jié)構(gòu)體?！钤绲碾x散化思想。1943，Couraut（庫蘭特），應(yīng)用定義在三角形區(qū)域上分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理結(jié)合，求解了St.Venant扭轉(zhuǎn)問題。1952，Langefors，在結(jié)構(gòu)分析的矩陣方法方面作了大量工作?！陨蠈儆邢迒卧ǖ膯⒚蓵r(shí)期1960，Clough（克拉夫），第一次在處理平面彈性問題時(shí)，提出了“有限單元法”的名稱，并為人們開紿認(rèn)同。1960~1970期間，卞學(xué)璜、董平、馮康等，對(duì)有限單元法的理論基礎(chǔ)等方面作出了卓越的貢獻(xiàn)。——以上屬有限單元法的鼎盛時(shí)期，得益于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展。80年代后，有限單元法基本成熟。以后的發(fā)展重點(diǎn)：（1）構(gòu)造高精度、高效率的單元；（2）編制通用的有限元分析軟件。主要有限元軟件：SAP——StructureAnalysisProgramADINANASTRAN、ASKA、SAFE、MARC、ANSYS

、ABAQUS

等軟件的結(jié)構(gòu)：前處理器、求解器、后處理器。有限元軟件的廣泛應(yīng)用1.2

微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法（加權(quán)殘值法）1.2.1微分方程的等效積分形式1.工程問題的微分方程形式如：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題——已知溫度的邊界——具有熱交換的邊界——熱源密度——邊界上的熱流——熱傳導(dǎo)系數(shù)——邊界外法線方向——控制微分方程——問題的邊界條件——A、B

分別表示兩微分算子又如，彈性力學(xué)的平面問題（按位移求解）：——應(yīng)力邊界條件——位移邊界條件——控制微分方程——問題的邊值條件一般地情形，設(shè)未知函數(shù)向量為：其定解問題可表示為：（1.2.1

）（在邊界上

）——控制微分方程——邊界條件2.微分方程的等效積形式——A、B

分別表示兩微分算子向量設(shè)一組與方程（1.2.1）個(gè)數(shù)相同的任意函數(shù)向量：（在域內(nèi)

）（1.2.2

）（1.2.5

）顯然有：式（1.2.1

）與式（1.2.5

）等價(jià)設(shè)一組與方程（1.2.2）個(gè)數(shù)相同的任意函數(shù)向量：（1.2.7）顯然有：式（1.2.2）與式（1.2.7

）等價(jià)。將式（1.2.5）與式（1.2.7

）相加，有（1.2.8）——原定解問題的方程（1.2.1

）和（1.2.2

）的等效積分形式。等效積分式（1.2.8）對(duì)函數(shù)的要求：——（a）單值、（b）可積?！Q于微分算子A、B的最高階數(shù)。若微分算子A、B的最高階數(shù)為n，則要求函數(shù)u為Cn-1類函數(shù)。1.2.2等效積分的“弱”形式（1.2.8）——等效積分形式分部積分：C0C1C1C0對(duì)式（1.2.8）作類似的分部積分，得另一種等效積分形式：（1.2.9）式（1.2.9）中，C、D、E、F分別為分部積分后對(duì)的微分算子?！刃Хe分的“弱”形式式（1.2.9）的特點(diǎn)：（1）對(duì)函數(shù)向量u

的導(dǎo)數(shù)階數(shù)降低了，而對(duì)v的導(dǎo)數(shù)階數(shù)升高了；（2）對(duì)函數(shù)向量v

的連續(xù)性要求提高了；（3）對(duì)函數(shù)向量u

的連續(xù)性要求降低了；例：二維熱傳導(dǎo)問題：（1）等效積分形式：（1.2.10）式中：為任意標(biāo)量函數(shù)；這里還假設(shè)上的邊界條件：在選擇函數(shù)時(shí)已自動(dòng)滿足。這類邊界條件稱為強(qiáng)制邊界條件。（2）等效積分的“弱”形式：對(duì)式（1.2.10）分部積分：（1）等效積分形式：（1.2.10）（2）等效積分的“弱”形式：對(duì)式（1.2.10）分部積分：式中：邊界的外法線方向關(guān)于坐標(biāo)軸的方向余弦。將其代入式（1.2.10）有對(duì)于任意函數(shù)v、v，可以不失一般地設(shè)為：（1.2.12）并令：上式可表示為：0（1.2.15）——等效積分的“弱”形式（1.2.15）——等效積分的“弱”形式式（1.2.15）的幾點(diǎn)說明：（1）未知函數(shù)（場函數(shù)）不出現(xiàn)在q邊界積分中，說明邊界條件：在q邊界上自動(dòng)得到滿足。這類邊界條件稱為自然邊界條件。（2）適當(dāng)選取函數(shù)v，使得式（1.2.15）成為：——伽遼金（Galerkin）方程（3）與等效積分形式（1.2.10）相比較，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)降了一階。（1.2.10）1.2.3基于等效積分形式的近似方法：加權(quán)余量法（WeightedResidualMethod,WRM）也稱加權(quán)殘值法1.加權(quán)余量法的基本原理工程問題：（1.2.8）（1.2.9）或顯然，當(dāng)選取的場函數(shù)u為精確解時(shí)，上述方程將自動(dòng)滿足。（1）近似函數(shù)u的選取~選取近似場函數(shù)為：（1.2.16）式中：常由線性無關(guān)的函數(shù)序列組成?！囂胶瘮?shù)（或基函數(shù)），如：三角函數(shù)、冪函數(shù)、梁函數(shù)、正交多項(xiàng)式（Chebychev多項(xiàng)式、Legendre多項(xiàng)式）、貝塞爾函數(shù)、克雷洛夫函數(shù)等?！ㄏ禂?shù)子向量——由子向量構(gòu)成的向量——未知函數(shù)向量，常使其滿足強(qiáng)制邊界條件和連續(xù)性要求，如：

u為位移量，則使其滿足位移邊界條件。如：彈性力學(xué)問題中為位移向量，可設(shè)為：——

x方向的位移——

y方向的位移——

z方向的位移對(duì)應(yīng)的：——

未知節(jié)點(diǎn)的位移3×3階單位矩陣（3×n個(gè)節(jié)點(diǎn)位移量）——

是坐標(biāo)的獨(dú)立函數(shù)常稱為形函數(shù)（2）計(jì)算余量或殘值將（1.2.16）代入定解問題的基本方程，有：——稱R、R

為余量（或殘值）同理，將式（1.2.16）代入：（1.2.8）（1.2.9）顯然，等式右邊也不會(huì)等于零。即：加權(quán)余量法的基本思想：通過適當(dāng)選取待定參數(shù)ai

，使其在某種加權(quán)平均意義上，讓式（1.2.8）或式（1.2.9）成立。常稱為權(quán)函數(shù)。（3）加權(quán)余量法（或加權(quán)殘值法）用n個(gè)規(guī)定的函數(shù)來代替等效積分式（1.2.8）中的任意函數(shù)：即?。海?.2.18）代入等效積分式（1.2.8），有（1.2.19）寫成余量形式，有（1.2.20）展開式（1.2.19）或（1.2.20），有得到與向量a中元素個(gè)數(shù)相同的方程數(shù)。（1.2.19）（1.2.20）幾點(diǎn)說明：（1）式（1.2.20）的意義：某種平均意義上等于零。通過適當(dāng)選擇系數(shù)向量a，強(qiáng)迫余量R，R在。（2）——稱為權(quán)函數(shù)（向量）當(dāng)微分算子A的方程數(shù)為m1，B的方程數(shù)為

m2，則（3）當(dāng)n→∞時(shí)，即近似解趨近于精確解。（4）可以是任意獨(dú)立的函數(shù)序列。（5）對(duì)于等效積分的“弱”形式，也可建立類似的方程：（1.2.21）2.加權(quán)余量法的基本方法——取決于權(quán)函數(shù)Wj、Wj的選取。（1）配點(diǎn)法（CollocationMethod）取權(quán)函數(shù):——函數(shù)或稱狄拉克函數(shù)的性質(zhì)：式中：I為單位矩陣。配點(diǎn)法的含義：相當(dāng)于簡單地強(qiáng)迫余量在域內(nèi)n個(gè)點(diǎn)上等于零。配點(diǎn)法的等效積分方程：（2）子域法（SubdomainMethod）取權(quán)函數(shù)

:子域法的含義：相當(dāng)于強(qiáng)迫余量n個(gè)子域j

上積分等于零。子域法的等效積分方程：（3）最小二乘法（LeastSquaresMethod）設(shè)取近似解為：則，取權(quán)函數(shù)為：相當(dāng)于使：取最小值。即：——得到與待定參數(shù)個(gè)數(shù)相同的方程數(shù)（4）力矩法（矩量法，MethodofMoment）對(duì)一維問題，取權(quán)函數(shù)序列：——強(qiáng)迫余量的各次矩等于零?！@種方法也稱積分法。（5）伽遼金法（GalerkinMethod）設(shè)取近似解為：取權(quán)函數(shù)為：

其等效積分形式可表示為：（1.2.22）——代表n個(gè)向量方程（1.2.16）對(duì)式（1.2.16）取變分，有：

是互相獨(dú)立的參數(shù)向量，∴式（1.2.22）可表示變分形式：（1.2.23）（1.2.24）或：或：（1.2.24）或：

類似地，其等效積分“弱”形式可表示為：（1.2.25）

Galerkin法的幾點(diǎn)說明：

（1）由Galerkin法得到的線性方程組，其系數(shù)矩陣為一對(duì)稱陣，

便于編程求解。

為建立有限元格式（方程）的方法之一。

（2）由Galerkin法得到解，其精度較高。

（3）當(dāng)問題存在一標(biāo)量泛函時(shí)，Galerkin法得到的結(jié)果與變分法相同。例：用加權(quán)余量法求解以下二階常微分方程——邊界條件解：（1）選取適當(dāng)?shù)慕平?，并?jì)算域內(nèi)和邊界上的余量；（1）（2）（3）注意：盡量使近似解滿足邊界條件。取一項(xiàng)近似解（n=1）：（5）代入方程（1），其余量：（6）取兩項(xiàng)近似解（n=2）：代入方程（1），其余量：（7）（8）加權(quán)余量法等效積分形式：（4）（2）選取適當(dāng)?shù)募訖?quán)余量法，求解；（a）配點(diǎn)法一項(xiàng)近似解：取一個(gè)配點(diǎn)：x=1/2;∴所求一項(xiàng)近似解為：兩項(xiàng)近似解：取兩個(gè)配點(diǎn)：求解得：∴所求兩項(xiàng)近似解為：

近似解的項(xiàng)數(shù)得越多，則解的精度越高。解得：即?。捍耄海╞）子域法一項(xiàng)近似解：取，子域=全域取權(quán)函數(shù)：代入：積分得：一項(xiàng)近似解為：兩項(xiàng)近似解：取權(quán)函數(shù)：代入：求解得：兩項(xiàng)近似解為：（c）最小二乘法將余量的二次方R2在域內(nèi)的積分：通過適當(dāng)選取待定系數(shù)ai，使I

達(dá)到極小。即：（9）將式（9）代入，有（10）

由此得到

n個(gè)方程，可求解n個(gè)待定系數(shù)ai。

將式（10）與式（4）比較：（4）

顯然有最小二乘法的權(quán)函數(shù)：一項(xiàng)近似解：代入式（10）：（10）積分后，解得：一項(xiàng)近似解為：兩項(xiàng)近似解：代入式（10）積分，有：積分后，解得：兩項(xiàng)近似解為：（d）力矩法一項(xiàng)近似解：代入式（4）：（4）求得：一項(xiàng)近似解為：與子域法一項(xiàng)近似解相同。兩項(xiàng)近似解：權(quán)函數(shù)：代入式（4）：求得：兩項(xiàng)近似解為：（e）伽遼金（Galerkin）法一項(xiàng)近似解：權(quán)函數(shù)：代入：（4）解得：一項(xiàng)近似解為：兩項(xiàng)近似解：權(quán)函數(shù)：代入：（4）積分后解得：兩項(xiàng)近似解為：討論：——邊界條件（1）（2）精確解：各種方法的近似解與精確解的比較結(jié)果：（1）兩項(xiàng)近似解均得到了很好的精度，誤差<3%;（2）Galerkin法的結(jié)果精度較高;（3）可以推斷，隨著選取近似解項(xiàng)數(shù)的增加，精度會(huì)更高;1.3

變分原理和里茲（Ritz）方法1.3.1變分原理的定義和意義1.變分原理與變分法若一連續(xù)介質(zhì)問題存在一標(biāo)量泛函：（1.3.1）則連續(xù)介質(zhì)問題的解u一定使泛函對(duì)微小變化

u

取駐值，即，使泛函的“變分”等于零：（1.3.2）稱為變分原理。由變分原理求解連續(xù)介質(zhì)問題的方法稱為變分法。說明：（1）要求存在某一標(biāo)量泛函連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題；

熱傳導(dǎo)問題；

流場問題；

電磁場問題等。（2）是等效積分形式的一種特殊情形。

對(duì)式（1.3.1）求變分，有

（2）是等效積分形式的一種特殊情形。

對(duì)式（1.3.1）求變分，有

（3）彈性力學(xué)中基本變分原理：

最小勢（位）能原理最小余能原理平衡微分方程+力的邊界條件

幾何方程+位移邊界條件

2.變分法的求解過程（1）選取未知函數(shù)u的近似解；（1.3.3）注意：使u滿足強(qiáng)制邊界條件。（2）將函數(shù)u的近似解代入泛函(u):~~（3）對(duì)泛函(ai

)

求變分，并令等于零；~2.變分法的求解過程（1）選取未知函數(shù)u的近似解；（1.3.3）注意：使u滿足強(qiáng)制邊界條件。（2）將函數(shù)u的近似解代入泛函(u):~~（3）對(duì)泛函(ai

)

求變分，并令等于零；~（1.3.4）由于是任意的，故上式成立時(shí)，必有：將上式表示成矩陣形式，有：其中：

得到與待定參數(shù)a的個(gè)數(shù)相等的方程組，由此可求得待定參數(shù)a?！?/p>

里茲（Ritz）法（1.3.5）特殊情形：（1.3.6）式（1.3.6）為一線性方程組。式中，K為一對(duì)稱的常系數(shù)矩陣。若泛函(u)

中u及對(duì)u的導(dǎo)數(shù)的最高方次為二次，則稱此泛函(u)為二次泛函。~~對(duì)于二次泛函(u)，有：~且此泛函(u)，可表示為：~（1.3.12）問題：（1）什么樣的問題存在標(biāo)量泛函

(u)?（2）如何構(gòu)此標(biāo)量泛函

(u)?1.3.2線性、自伴隨微分方程變分原理的建立1.線性、自伴隨微分算子（1）線性微分方程概念

若有微分方程：

（在域內(nèi)）

（1.3.16）式中：L為微分算子

。如果算子L具有

如下性質(zhì)：（1.3.17）其中，、為兩常數(shù)。則稱L為線性微分算子

，方程（1.3.16）

為線性微分方程。直觀上看：

線性微分方程僅為的線性函數(shù)。（2）L(u)

與任意函數(shù)v的內(nèi)積

：定義：（1.3.18）為L(u)

與v的內(nèi)積，也常表示為（3）自伴隨微分算子

將

分部積分，直至對(duì)u的導(dǎo)數(shù)消失，可得到：（1.3.19）式中：為轉(zhuǎn)化后的內(nèi)積，為伴隨有邊界項(xiàng)。稱：L*為L的伴隨算子，若：L*=L，則稱L是自伴隨算子。為線性、自伴隨微分方程。（在域內(nèi)）

（1.3.16）同時(shí)，稱線性微分方程：例：證明算子：是自伴隨的。構(gòu)造內(nèi)積，并分部積分：例：證明算子：是自伴隨的。構(gòu)造內(nèi)積，并分部積分：比較等式左右的兩內(nèi)積表達(dá)式，顯然有故算子L是自伴隨的。2.泛函

(u)的構(gòu)造設(shè)：（在域內(nèi)）

（在邊界上）

——線性、自伴隨的由加權(quán)余量法的Galerkin變分形式：（1.2.24）（1.3.20）將式（1.3.20）代入2.泛函

(u)的構(gòu)造設(shè)：（在域內(nèi)）

（在邊界上）

——線性、自伴隨的由加余量法的Galerkin變分形式：（1.2.24）（1.3.20）（1.3.21）利用原方程的線性、自伴隨性質(zhì)，有分部積分：代入上式，有2.泛函

(u)的構(gòu)造設(shè)：（在域內(nèi)）

（在邊界上）

——線性、自伴隨的由加余量法的Galerkin變分形式：（1.3.20）（1.3.21）利用原方程的線性、自伴隨性質(zhì)，有代入式（1.3.21）（1.3.22）2.泛函

(u)的構(gòu)造設(shè)：（在域內(nèi)）

（在邊界上）

——線性、自伴隨的由加余量法的Galerkin變分形式：（1.3.20）（1.3.21）其中：（1.3.23）結(jié)論：（1）對(duì)于線性、自伴隨微分方程，一般都存在一標(biāo)量泛函（u）,原微分方程的邊值問題等價(jià)于該泛函（u）取駐值，即：（2）對(duì)于線性、自伴隨微分方程，其等效積分的Galerkin形式等價(jià)于該泛函（u）的變分等于零，即：（u）取駐值。3.泛函

(u)的極值性等價(jià)于泛函（u）取駐值：極大值；極小值；不定——取決于泛函（u）的特性強(qiáng)制邊界條件與自然邊界條件：若算子L為偶數(shù)（2m）階的，即對(duì)于2m階的微分方程：對(duì)（在域內(nèi)）

（在邊界上）

含0~m-1

階導(dǎo)數(shù)的邊界條件，稱為強(qiáng)制邊界條件。含m~2m-1

階導(dǎo)數(shù)的邊界條件，稱為自然邊界條件近似解應(yīng)事先滿足。（u）極值性：例：二維熱傳導(dǎo)問題：（2）研究其極值性。（1）解：試：（1）建立它的泛函；原問題的Galerkin等效積分（變分）形式可表示為：——強(qiáng)制邊界條件——自然邊界條件分部積分：（1）同理，得：代入：（1）對(duì)照變分原理：得到：（2）（2）對(duì)上式求二階變分：二階小量得到，在時(shí)，泛函（）取極小值。1.3.3里茲（Ritz）法1.基本思想從滿足強(qiáng)制邊界條件的一族假定解：中，尋求滿足泛函變分原理的“最好的”解。2.里茲法的求解步驟（1）由原問題建立變分原理，求得泛函

(u)；（2）選取適當(dāng)?shù)脑囂胶瘮?shù)；（3）由得到一組代數(shù)方程，并求解?！獜?qiáng)制邊界條件例：用Ritz法求解以下二階常微分方程（1）（2）解：（1）建立變分原理，求原問題的泛函

(u)；（3）（4）代入式（4），有（4）代入式（4），有得到：（5）（2）選取試探函數(shù)，建立里茲法方程求解（2）選取試探函數(shù)，建立里茲法方程求解（1）選取一項(xiàng)多項(xiàng)近似解——滿足強(qiáng)制邊界條件代入式（5），得（5）由（a）=0，得所求近似解為：說明：此解同Galerkin法的一項(xiàng)近似解。當(dāng)存在變分原理時(shí)，變分法（Ritz法）與Galerkin法結(jié)果相同。（2）選取近似解為：（5）使其滿足強(qiáng)制邊界條件：顯然，滿足：由此求得：代入式（5）：所求解為：——與精確解相同例：一端固定，另一端自由的梁，其跨度為l，抗彎剛度EI為常數(shù)，分別承受均勻分布載荷q、集中力P

的作用，如圖所示。若用Ritz法（或最小勢能原理）求解，試解：（1）構(gòu)造兩種形式的撓度近似函數(shù)（三角函數(shù)形式、多項(xiàng)式）；（2）在上述中，任選一種求梁的撓度（取一項(xiàng)待定系數(shù)）。（1）構(gòu)造撓度近似函數(shù)w（x）；三角函數(shù)形式：——強(qiáng)制邊界條件——自然邊界條件多項(xiàng)式形式：（2）求梁的撓度（取一項(xiàng)待定系數(shù)）；該梁的能量泛函：取一項(xiàng)多項(xiàng)式近似解：代入泛函式，得：建立里茲（Ritz）法方程求解：所求近似解：3.里茲（Ritz）法的收斂性要求設(shè)原問題存在一標(biāo)量泛函：滿足強(qiáng)制邊界條件的近似解為：當(dāng)n→∞時(shí)，近似解收斂于精確解的條件：（1）為一完備的函數(shù)序列；（2）應(yīng)滿足Cm-1類函數(shù)的連續(xù)性要求。其中：m

為泛函（）中最高的微分階數(shù)。1.4

彈性力學(xué)的基本方程和變分原理1.4.1彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式1.基本量應(yīng)力：位移：應(yīng)變：體力：面力：或：或：或：2.基本方程（1）平衡微分方程：其中：（2）幾何方程：（3）物理方程：——彈性矩陣若令：——拉梅（Lam’e）系數(shù)其中：——柔度矩陣（4）應(yīng)力邊界（S）條件：——邊界外法線方向余弦矩陣（5）位移邊界（Su）條件：（6）彈性體的應(yīng)變能與余能單位體積的應(yīng)變能（應(yīng)變能密度）：——正定函數(shù)單位體積的余能（余能密度）：——正定函數(shù)在線性彈性力學(xué)中，有1.4.2彈性力學(xué)基本方程的張量形式1.基本量的張量表示應(yīng)力：應(yīng)變：——二階對(duì)稱張量位移：體積力：面力：——一階張量——二階對(duì)稱張量2.基本方程的張量表示平衡微分方程：（在域V內(nèi)）Oxyz(x1)(x2)(x3)——表示對(duì)坐標(biāo)

xj

的導(dǎo)數(shù)上述方程展開，有幾何方程：（在域V內(nèi)）物理方程：（在域V內(nèi)）——四階張量（共有34=81個(gè)分量，即有81個(gè)彈性常數(shù)）由于的對(duì)稱性，因而有對(duì)于等溫、絕熱的變形過程，有此時(shí)獨(dú)立的彈性常數(shù)為21個(gè)。進(jìn)一步對(duì)各向同性的線彈性材料，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有2個(gè)。如拉梅常數(shù)G、

或彈性模量E、泊松比，此時(shí)彈性張量為：——線彈性材料的物理方程其中：將上式展開，有物理方程的另一種形式：——柔度張量應(yīng)力邊界條件：（在邊界S上）——邊界外法線的方向余弦位移邊界條件：（在邊界Su上）應(yīng)變能和余能：應(yīng)變（比）能：余（比）能：1.4.3平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式——虛功原理變形體的虛功原理：即：體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。變形體中滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功之和等于零。虛功原理：虛位移原理：虛應(yīng)力原理：以平衡方程和力的邊界條件得到的等效積分“弱”形式，反應(yīng)體系內(nèi)外力在虛位移上作功的關(guān)系。以幾何方程和位移的邊界條件得到的等效積分“弱”形式，反應(yīng)虛應(yīng)力在實(shí)際位移上作功的關(guān)系。（1）虛位移原理：（在域V內(nèi)）（在邊界S上）（在域V內(nèi)）（在邊界S

上）取權(quán)函數(shù)：（在域V內(nèi)）（在邊界S

上）其等效積分形式：（1.4.39）即：取真實(shí)位移函數(shù)

u的變分為權(quán)函數(shù)，有（在Su上）（在域V內(nèi)）對(duì)第一項(xiàng)分部積分：（外力在虛位移上作的虛功）（內(nèi)力在虛應(yīng)變上作的虛功）——

以平衡方程和力的邊界條件的等效積分“弱”形式矩陣形式：（1.4.41）（1.4.42）虛位移原理的表述：若力系是平衡的，即：（在域V內(nèi)）（在S上）則它們?cè)谔撐灰坪吞搼?yīng)變上所作的功之和等于零?！ο灯胶獾某浞趾捅匾獥l件說明：（1）ui

須滿足邊界條件：ij

須滿足變形協(xié)調(diào)條件：（在Su上）（在域V內(nèi)）（1.4.39）對(duì)第一項(xiàng)分部積分：0代入式（1.4.39）,有（1.4.40）（1.4.41）說明：（1）ui

須滿足邊界條件：ij

須滿足變形協(xié)調(diào)條件：（2）∵未涉及物理方程，∴虛位移原理也可用于非線性問題。（2）虛應(yīng)力原理：（在域V內(nèi)）（在邊界Su上）（在域V內(nèi)）（在邊界S

上）取權(quán)函數(shù)：（在域V內(nèi)）（在邊界S

上）即：取真實(shí)的應(yīng)力與外力

的變分為權(quán)函數(shù)（在S上）（在域V內(nèi)）（滿足平衡微分方程）等效積分形式：（1.4.43）等效積分形式：（1.4.43）分部積分：00代入式（1.4.43）：代入式（1.4.43）：（1.4.45）（虛應(yīng)力在實(shí)應(yīng)變上作的虛功）（虛面力在實(shí)位移上作的虛功）矩陣形式：（1.4.46）虛應(yīng)力原理的表述：——

以幾何方程和位移邊界條件的等效積分“弱”形式若位移是協(xié)調(diào)的（內(nèi)部滿足幾何方程，邊界上滿足位移邊界條件）則虛應(yīng)力（內(nèi)部滿足平衡方程，邊界上滿足應(yīng)力邊界條件）和虛邊界面力在實(shí)位移上所作的功之和等于零。——位移和變形協(xié)調(diào)的充分和必要條件說明：（1）（1.4.45）（2）∵未涉及物理方程，∴虛應(yīng)力原理也可用于非線性問題。（在S上）（在域V內(nèi)）（滿足平衡微分方程）1.4.4線彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的變分原理：自然變分原理：約束變分原理：最小位能（勢能）原理胡海昌-鷲津久廣義變分原理（第8章）（1.4.45）（1.4.41）——虛位移原理——虛應(yīng)力原理平衡微分方程力的邊界條件幾何方程位移邊界條件建立變分原理尋求相應(yīng)的泛函，使得：最小余能原理Hellinger-Reissner混合變分原理1.最小位能（勢能）原理：（1.4.41）——虛位移原理由物理方程：代入上式，有為對(duì)稱張量，有（1.4.47）（1.4.48）——變形位能的變分（為體力勢能）（為面力勢能）——外力勢能的變分將其代入式（1.4.47）將變分與積分交換，有（1.4.51）（1.4.50）——系統(tǒng)的總位（勢）能，等于彈性體變形位能與外力位能的和最小位（勢）能原理：在所有滿足幾何方程、位移邊界條件的可能位移中，真實(shí)位移使系統(tǒng)的總位（勢）能取駐值。且可證明，此駐值為最小值。設(shè)可能位移為：計(jì)算其位能泛函P：（1.4.53）0上述表明：——真實(shí)位移使系統(tǒng)的總位能泛函P取最小值2.最小余能原理：由虛應(yīng)力原理：（1.4.45）幾何方程位移邊界條件由物理方程：代入（1.4.45）,有（1.4.58）——應(yīng)變余能的變分（1.4.59）代入式（1.4.58）：其中：——外力余勢能的變分——系統(tǒng)的總余能（變形余能與外力余的和）（1.4.61）最小余能原理：在所有滿足平衡方程、力和邊界條件的可能應(yīng)力中，真實(shí)應(yīng)力使系統(tǒng)的總余能取駐值。且可證明，此駐值為最小值。（1.4.60）取最小值的證明：取可