質(zhì)量管理與質(zhì)量管理實(shí)驗設(shè)計

第五章試驗設(shè)計

一、試驗設(shè)計及其應(yīng)用范圍二、

方差分析三、正交設(shè)計

2/3/20231試驗設(shè)計－5一、試驗設(shè)計及其應(yīng)用范圍試驗設(shè)計發(fā)源于英國，最早應(yīng)用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，在考察各種肥料及施肥量對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響時，建立了試驗設(shè)計的最初的數(shù)學(xué)模型。隨著生產(chǎn)的發(fā)展，試驗設(shè)計的理論和方法也就隨之不斷發(fā)展，各種有效的試驗方法越來越廣泛地被各個部門所采用。在質(zhì)量管理中使用試驗設(shè)計主要有下面二個目的：1、通過試驗，確定影響質(zhì)量或生產(chǎn)過程的主要原因；2、選擇滿足設(shè)計質(zhì)量或產(chǎn)品質(zhì)量的操作條件。2/3/20232試驗設(shè)計－5試驗設(shè)計的有關(guān)概念1、指標(biāo)。用以衡量試驗效果的特性值被稱為試驗指標(biāo)。試驗指標(biāo)通常分為兩大類型：一類是定量指標(biāo)，直接用數(shù)量來表示的指標(biāo)，如收率、產(chǎn)量、硬度等；另一類是定性指標(biāo)，不能直接用數(shù)量來表示，只能憑感覺或感官(觸、觀、嘗、嗅等)來評定的指標(biāo)，如棉花的手感與顏色、食品的酥、脆、香等。2/3/20233試驗設(shè)計－52、因素。影響試驗指標(biāo)（結(jié)果）的原因稱為因素，如反應(yīng)溫度、時間、催化劑種類等。有些因素可以在試驗的過程中人為的加以調(diào)節(jié)與控制，稱之為可控因素。如反應(yīng)溫度、反應(yīng)時間、催化劑的種類等。另一類因素是由于自然、技術(shù)與設(shè)備等條件的限制，暫時還不能人為調(diào)控，這類因素被稱為不可控因素(隨機(jī)因素)，例如地面的輕微震動等。下面我們主要研究可控因素。2/3/20234試驗設(shè)計－53、水平——因素在試驗中所處的各種狀態(tài)稱為因素的水平，如不同的試驗溫度550C、600C、800C等

。根據(jù)試驗的需要，因素的水平可以設(shè)為二水平、三水平等等。2/3/20235試驗設(shè)計－5

二、方差分析

1、單因素試驗

2、雙因素試驗

2/3/20236試驗設(shè)計－51、單因素試驗

（1）單因素試驗數(shù)據(jù)表水平組號A1A2…Am∑1x11x21…xm12x12x22…xm2……………nx1nx2n…xmn∑X1。X2?！璛m。x..`X1。`X2?！璥Xm。`x..2/3/20237試驗設(shè)計－5表中各符號定義如下：2/3/20238試驗設(shè)計－5(2)總變差ST我們定義N=mn個數(shù)據(jù)xij的總變差ST為：總變差ST反應(yīng)了試驗數(shù)據(jù)相對于數(shù)據(jù)均值離散程度（即波動）的大小。2/3/20239試驗設(shè)計－5(3)因素A引起的條件變差SA在因素A的各水平下，數(shù)據(jù)均值互不相同，它們之間的差異主要是由于因素A的水平變化所致。這些均值之間的離差平方和稱之為條件變差，記為SA，計算公式如下：2/3/202310試驗設(shè)計－5（4）試驗誤差Se考察因素A的第i水平下的n個數(shù)據(jù)：xi1,xi2,…xin它們也互不相同，這些差異是由于除了因素A以外的其它試驗誤差所引起的。我們稱因素A在同一水平下，n個數(shù)據(jù)之間的離差平方和為試驗誤差，記為Se，其計算公式如下：2/3/202311試驗設(shè)計－5(5)分解公式前面已經(jīng)介紹了數(shù)據(jù)的總變差ST，因素A引起的條件變差SA，以及試驗誤差Se。從直觀上看,引起數(shù)據(jù)總變差ST的原因，不外乎因素A及除因素A以外的其它試驗誤差。所以應(yīng)當(dāng)有：ST＝SA＋Se。事實(shí)上，下面的推導(dǎo)驗證了這種想法是正確的。2/3/202312試驗設(shè)計－5稱之為波動平方和分解公式2/3/202313試驗設(shè)計－5（6）小結(jié)1）試驗誤差：Se由于試驗過程中各種偶然因素及測量誤差引起在同一試驗溫度下試驗結(jié)果有差異。2）條件變差：SA由試驗條件不同導(dǎo)致試驗結(jié)果不同，在本例中各種溫度下的試驗結(jié)果的差異即屬這類變量。3）總變差：ST試驗誤差和條件變差之和稱為總變差，且：ST=Se+SA2/3/202314試驗設(shè)計－5（7）用方差分析解決這類問題的思路是：a、利用試驗數(shù)據(jù)的總變差分解出條件變差和試驗誤差；b、將條件變差與試驗誤差在一定意義下進(jìn)行比較,如兩者之比值不顯著,則說明條件對試驗結(jié)果影響不大,反之,則說明條件對試驗結(jié)果有影響；c、若條件的影響是顯著的，可據(jù)此選擇好的工藝條件或確定進(jìn)一步試驗的方向。

2/3/202315試驗設(shè)計－5（8）變差的數(shù)量表示設(shè)有數(shù)據(jù)：x1,x2,…,xn，它們的變差平方和以下式表示。其中:2/3/202316試驗設(shè)計－5（9）自由度的一般定義

設(shè)有:x1,x2,……,xn的自由度取決于

xi之間的m個線性約束關(guān)系。如果有m個(0≤m≤n)線性約束方程,即:……2/3/202317試驗設(shè)計－5并且這m個方程是相互獨(dú)立的，則：的自由度f=n-m。求自由度的目的主要是為了消除數(shù)據(jù)量的差異對變差平方和的影響。定義下式為均方：

2/3/202318試驗設(shè)計－5單因素試驗的方差分析計算表

A1A2…Ai…Am1x11x21…xi1…xm12x12x22…xi2…xm2………

…

…jx1jx2j…xij…xmj………

…

…nx1nx2n…xin…xmn∑2/3/202319試驗設(shè)計－5∑X∑x1j∑x2j…∑xij…∑xmj(∑X)2(∑x1j)2(∑x2j)2…(∑xij)2…(∑xmj)2∑X2∑x1j2∑x2j2…∑xij2…∑xmj22/3/202320試驗設(shè)計－5引入下列記號2/3/202321試驗設(shè)計－5為了利用上表進(jìn)行各項平方和的計算，下面對表達(dá)式作些演變。

2/3/202322試驗設(shè)計－52/3/202323試驗設(shè)計－52/3/202324試驗設(shè)計－5單因素試驗方差分析表1方差來源平方和自由度均方F比因素ASAm-1誤差SeN-m總和STN-12/3/202325試驗設(shè)計－5單因素試驗的方差分析例：考察溫度對某一化工產(chǎn)品的得率的影響。溫度（oc）

6065707580得率（%）

909796848492939683868892938882平均得率（%）

9094958584將該表數(shù)據(jù)適當(dāng)線性處理（x-90）得下表：利用方差分析表來計算下面的例子：見下表2/3/202326試驗設(shè)計－5對下表用方差分析表求解60oC65oC70oC75oC80oC

Σ02-2732663-6-7-2-6-4-8∑(∑)2∑200812144621522581-1522589-18324116-69183562/3/202327試驗設(shè)計－52/3/202328試驗設(shè)計－5由數(shù)理統(tǒng)計知識得知：2/3/202329試驗設(shè)計－5均方：

2/3/202330試驗設(shè)計－5方差分析表

方差來源平方和自由度均方F臨界F值溫度303.6475.915.18**F0.01=6.0誤差50.0105

總和353.614

2/3/202331試驗設(shè)計－5a、F0.01<F，因素的影響特別顯著,記為“**”；b、F0.05<F≤F0.01，因素的影響顯著,記為“*”；c、F0.10<F≤F0.05，因素有影響記為“(*)”；d、F0.25<F≤F0.10，因素有一定影響記為“[*]”；e、F≤F0.25，因素?zé)o明顯影響不作記號。相應(yīng)F臨界值比較，常用的判斷標(biāo)準(zhǔn)如下；影響的顯著性，即將

與一定顯著性水平的由統(tǒng)計學(xué)知~F分布，判斷條件對試驗結(jié)果2/3/202332試驗設(shè)計－5注：

a、如自由度fe太小會降低F檢驗的靈敏度，如某因素本來有顯著影響，但F檢驗卻檢驗不出來。fe越大，則F檢驗靈敏度越高，但fe大也意味著試驗次數(shù)增加，費(fèi)用增加。一般情況希望保證fe在5~10。

2/3/202333試驗設(shè)計－5b、F值特別小，例如大大小于1，這種情況一般不應(yīng)發(fā)生，其原因可能是取樣或測量中有系統(tǒng)誤差或是實(shí)驗結(jié)果的有效位數(shù)取得太小等原因。c、試驗的隨機(jī)化，例如將例中的15個試驗按溫度條件分三批，每批5個試驗不是按順序，而是先將它們編號，然后用隨機(jī)數(shù)表等方式?jīng)Q定它們的試驗次序。這樣的目的是為了盡量減少人為因素等的影響。2/3/202334試驗設(shè)計－5不等重復(fù)數(shù)的單因素試驗

在前面討論的例子中，不同試驗條件下的試驗重復(fù)數(shù)是相同的，在實(shí)踐中，并不總是能滿足這種情況，有時試驗條件不允許，或試驗數(shù)據(jù)失落不全等會造成各試驗條件下的試驗數(shù)據(jù)量不等，即試驗重復(fù)數(shù)不等。對重復(fù)數(shù)不等的單因素試驗的方差分析與重復(fù)數(shù)相等時很相似，在計算時只需對P、Q、R稍作修改。設(shè)因素A有m個試驗條件，各個試驗條件相應(yīng)的試驗重復(fù)數(shù)是r1,r2,……,rm，共N個數(shù)據(jù)，令：

2/3/202335試驗設(shè)計－5A1A2…Am∑X11X21…Xm1X12X22…Xm2…………………X1r1X2r2…Xmrm∑X∑x1j∑x2j…∑xmj(∑X)2(∑x1j)2(∑x2j)2…(∑xmj)2∑X2∑x1j2∑x2j2…∑xmj22/3/202336試驗設(shè)計－5各平方和的計算公式為:ST=R-P,SA=Q-P,Se=R-Q2/3/202337試驗設(shè)計－5單因素試驗方差分析表2方差來源平方和自由度均方F比因素ASAm-1誤差SeN-m總和STN-12/3/202338試驗設(shè)計－5例：六種不同的農(nóng)藥，分析它們在殺蟲率方面有無明顯的差異，試驗結(jié)果如下:

農(nóng)藥ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ

殺蟲率（%）

8791565592758589624899728087

9581

95

92

解：設(shè)xij’=xij-80，簡化后的數(shù)據(jù)，及其計算表如下:

2/3/202339試驗設(shè)計－5ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ∑711-24-2512-559-18-3219-807

151

15

12

ri34224318∑1242-42-5758-121(∑)21441764176432493364144(∑)2/ri484418821624.5841483884.5∑27447690016498749040632/3/202340試驗設(shè)計－52/3/202341試驗設(shè)計－52/3/202342試驗設(shè)計－5方差分析表

方差來源平方和自由度均方F臨界F值農(nóng)藥3884.45776.952.2**F0.01=5.1誤差178.51214.9

總和4062.917

注：當(dāng)試驗總次數(shù)相等時，等重復(fù)數(shù)試驗的精度比不等重復(fù)數(shù)試驗要高，因此，應(yīng)盡量避免不等重復(fù)數(shù)試驗。2/3/202343試驗設(shè)計－52、雙因素試驗

(1)交叉分組的雙因素試驗

交叉分組系統(tǒng)分組混合分組多因素試驗的分組法交叉分組時，各因素處于平等地位，因素的各個水平之間都要相遇。2/3/202344試驗設(shè)計－5例

為了考察蒸餾水的PH值和硫酸銅溶液濃度對化驗血清中白蛋白與球蛋白的影響，將蒸餾水的PH值和硫酸銅溶液濃度分成如下幾種情況進(jìn)行試驗。

1234PH值（A）硫酸銅溶液濃度（B）5.40.045.60.085.70.105.8

2/3/202345試驗設(shè)計－5采用交叉分組方法進(jìn)行試驗,試驗結(jié)果(白蛋白與球蛋白之比)如下：

A1A2A3A4B13.52.62.01.49.52.4B22.32.01.50.86.61.7B32.01.91.20.35.41.4

7.86.54.72.521.52.62.21.60.82/3/202346試驗設(shè)計－5試驗結(jié)果的方差分析

設(shè)因素A有p個水平，因素B有q個水平，在AiBj條件下的試驗數(shù)據(jù)是xij,令：2/3/202347試驗設(shè)計－5總平方和

:因素A的平方和

:因素B的平方和：2/3/202348試驗設(shè)計－5試驗誤差

:（可以證明：）2/3/202349試驗設(shè)計－5為了便于計算，類似于單因素試驗，將各平方和公式化簡，并采用下列表達(dá)式：2/3/202350試驗設(shè)計－5從而，

由例中的試驗結(jié)果來計算各項值:2/3/202351試驗設(shè)計－52/3/202352試驗設(shè)計－5各項平方和為:

2/3/202353試驗設(shè)計－5方差分析表

方差來源平方和自由度均方F臨界F值A(chǔ)5.2931.7640.9**F0.01（3，6）=5.1B2.2221.1125.8**F0.01（2，6）=10.9誤差0.2660.043

總和7.7711

2/3/202354試驗設(shè)計－5（2）有交互作用的雙因素試驗

在一些試驗中,不僅因素對試驗結(jié)果有影響，而且因素之間還聯(lián)合起來對指標(biāo)產(chǎn)生作用，這個作用就叫交互作用。下面用兩個實(shí)驗分別對無交互作用和有交互作用的情況作比較。2/3/202355試驗設(shè)計－5實(shí)驗(a)中,從A1→A2或從B1→B2實(shí)驗結(jié)果的變化與另外一個因素取何種水平無關(guān)，這說明因素A與因素B之間不存在交互作用(均增加3個單位)。A1A2B125B2710(a)2/3/202356試驗設(shè)計－5實(shí)驗(b)中,則有所不同,從A1→A2,實(shí)驗結(jié)果與因素B取何種水平有關(guān)。當(dāng)取B1時試驗結(jié)果增加3，當(dāng)取B2時試驗結(jié)果下降4,這說明A與B之間有交互作用。A1A2B125B273(b)2/3/202357試驗設(shè)計－5還可用下面的方法判斷因素之間有無交互作用。

實(shí)驗結(jié)果1050A1A2因素水平從圖上可看出，因素之間無交互作用時，兩線平行。2/3/202358試驗設(shè)計－5有交互作用時兩線交叉。在實(shí)踐中由于試驗誤差的關(guān)系，即使因素間無交互作用，作用線也可能不完全平行，只要大體趨向平行就可判斷因素間不存在交互作用.

1050A1A2因素水平實(shí)驗結(jié)果2/3/202359試驗設(shè)計－5如果從圖上難以判斷時，可用方差分析，但此時要求將試驗重復(fù)一次以上，否則就無法進(jìn)行F檢驗。

（如試驗不重復(fù)，檢驗將無法進(jìn)行）

2/3/202360試驗設(shè)計－5例：

考察合成纖維中對纖維彈性有影響的兩個因素，收縮率A和總拉伸倍數(shù)B。兩因素各取四個水平，整個試驗重復(fù)一次，試驗結(jié)果如下：2/3/202361試驗設(shè)計－5

0(A1)4(A2)8(A3)12(A4)460（B1）71,7314473,7514876,7314975,73148589

73.6

520（B2）72,7314576,7415079,7715673,72145596

74.5

580（B3）75,7314878,7715574,7514970,71141593

74.1

640（B4）77,7515274,7414874,7314769,69138585

73.1

58973.660175.160175.157271.5∑=2363

2/3/202362試驗設(shè)計－5Ⅰ、直觀分析

對B的每個水平作出它們的作用線，來考察因素A與B之間是否存在交互作用。2/3/202363試驗設(shè)計－5從上圖可以看出，當(dāng)因素A變動時試驗結(jié)果起伏較大,而當(dāng)因素B變化時,則試驗結(jié)果變化較平穩(wěn)，這種現(xiàn)象說明A因素對纖維的彈性的影響比B因素要大。初次試驗時，最好多取幾個水平，否則將會誤認(rèn)為因素之間不存在交互作用見下圖。2/3/202364試驗設(shè)計－52/3/202365試驗設(shè)計－5從圖上看到，因素B的四條作用線相交叉，說明因素A與B之間存在交互作用。如果試驗的目的主要是為了選擇較好的工藝條件，則可不必對試驗結(jié)果進(jìn)行方差分析，直接從試驗結(jié)果中挑選好的，例如156（A3B2）、155（A2B3）效果最好。2/3/202366試驗設(shè)計－5Ⅱ、方差分析

如果要深入研究因素及它們的交互作用對試驗結(jié)果的影響程度，可使用方差分析。設(shè)因素A有p個水平，B有q個水平，整個試驗重復(fù)r次,在AiBj條件下的第k次試驗結(jié)果記作Xijk，在AiBj條件下作的全部試驗結(jié)果之和為：Xij即2/3/202367試驗設(shè)計－5另設(shè)：可以證明各平方和之間有關(guān)系式

:2/3/202368試驗設(shè)計－5相應(yīng)地,總平方和為

:2/3/202369試驗設(shè)計－5誤差平方和

:其中:2/3/202370試驗設(shè)計－5交互作用的平方自由度:2/3/202371試驗設(shè)計－5為了便于計算，可將各平方和公式化簡，設(shè)定易于使用表格中各項數(shù)據(jù)進(jìn)行計算的表達(dá)式：2/3/202372試驗設(shè)計－5設(shè)

:各項平方和的表達(dá)式改為：ST=W-P,SA=QA-P,SB=QB-PSA×B=R-QA-QB+P,Se=W-R

2/3/202373試驗設(shè)計－5原數(shù)據(jù)表成為：

A1A2A3A4KBjB1Xijk1,33,56,35,329Xij4898B2Xijk2,36,49,73,236Xij510165B3Xijk5,38,74,50,133Xij81591B4Xijk7,54,44,3-1,-125Xij1287-2KAi294141121232/3/202374試驗設(shè)計－5K=123,2/3/202375試驗設(shè)計－52/3/202376試驗設(shè)計－52/3/202377試驗設(shè)計－5方差分析表

方差來源平方和自由度均方F臨界F值A(chǔ)70.594323.53117.5**F0.01（3，16）=5.29B8.59432.8652.1F0.1（3，16）=2.46A×B79.53198.8376.6**F0.01（9，16）=3.78誤差21.5161.344

F0.25（3，16）=1.51總和180.21931

2/3/202378試驗設(shè)計－5

三、正交設(shè)計

正交設(shè)計是一種安排多因素試驗的方法,這種方法簡單、易于應(yīng)用、省時、經(jīng)濟(jì)效果良好。它適用于制定新工藝或改良老工藝等需要大量試驗的情況。2/3/202379試驗設(shè)計－51、基本概念

（1）幾個術(shù)語

a、指標(biāo)：根據(jù)試驗?zāi)康倪x定的用來衡量試驗效果的特性值。b、因素：對試驗指標(biāo)可能有影響的原因。亦稱因子，通常以A，B，C表示。c、因素水平：因素變化的各種狀態(tài)。亦稱位級,通常以A1，A2；B1，B2等表示。2/3/202380試驗設(shè)計－5（2）正交表

列數(shù)(可安排的因素數(shù)量)字碼數(shù)(可安排的因素水平數(shù))行數(shù)（實(shí)驗次數(shù)）正交表代號a、正交表的組成與表示法

2/3/202381試驗設(shè)計－5列號試驗號1231111212232124221正交表的性質(zhì)：（a）每列中各個字碼出現(xiàn)的次數(shù)相同;（b）任意兩列中每個字碼對出現(xiàn)的次數(shù)相等.使正交表具有搭配均勻的屬性即正交性。2/3/202382試驗設(shè)計－5還有一類正交表,表的各列中出現(xiàn)的字碼不相同,這種正交表稱為“混合型正交表”,如：

列數(shù)因素水平試驗次數(shù)正交表代號2/3/202383試驗設(shè)計－5列號試驗號123451111112122223211224222115312126321217412218421122/3/202384試驗設(shè)計－52、正交表設(shè)計的步驟

例：軸承圈熱處理退火試驗

(1)試驗?zāi)康模狠S承圈退火的舊工藝因退火后產(chǎn)品硬度偏高，每爐要有15%左右回爐，希望通過試驗，找到較好的工藝條件，降低硬度。(2)確定試驗因素和水平：通過分析確定有三個因素：上升溫度(A),保溫時間(B)，出爐溫度(C)，因素水平如下：

2/3/202385試驗設(shè)計－5(3)選擇正交表與表頭設(shè)計:由選定的因素及相應(yīng)的水平來選擇正交表，這時，往往同時有幾種正交表可被利用，在開始做試驗時一般可選實(shí)驗次數(shù)較少的正交表，取得因素的初步資料后，再確定進(jìn)一步試驗的方向。本例選：L4(23)ABC一水平8000C6小時4000C二水平8200C8小時5000C2/3/202386試驗設(shè)計－5表頭設(shè)計：即將各因素安排到各列位置上。表頭設(shè)計的原則是可自由選擇各個因素的位置(因素之間存在交互作用時除外)

列號試驗號1231111212232124221因素ABC列號1232/3/202387試驗設(shè)計－5(4)確定試驗方案：將設(shè)計好的表頭及各因素的水平填寫到正交表中去。

列號試驗號ABC11(8000C)1(6小時)1(4000C)212(8小時)2(5000C)32(8200C)1242212/3/202388試驗設(shè)計－5（5）試驗的隨機(jī)化

其中1號試驗條件為：上升溫度為8000C，保溫時間為6小時，出爐溫度為4000C為了消除某些可能的系統(tǒng)原因的影響，一般不按試驗順序做，而是用隨機(jī)化方法來確定試驗的次序。2/3/202389試驗設(shè)計－53、單指標(biāo)正交試驗結(jié)果的計算和分析

對試驗結(jié)果的分析方法通常有兩種：

Ⅰ、極差分析―簡單直觀Ⅱ、方差分析―計算較復(fù)雜，但精確度高（1）極差分析法例：某五金廠在彈簧生產(chǎn)中發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品因彈性差而斷裂，為提高產(chǎn)品的彈性指標(biāo)，要做回火工藝試驗。2/3/202390試驗設(shè)計－5a、試驗?zāi)康模和ㄟ^回火試驗尋求新的工藝參數(shù)以提高彈簧的彈性指標(biāo)。b、制定因素水平表：經(jīng)分析，認(rèn)為對彈性指標(biāo)可能有影響的因素有三個：回火溫度A，保溫時間B，工件重量C，各取三個水平，具體如下表：A(0C)B(分)C(kg)1440315246041835005212/3/202391試驗設(shè)計－5c、確定試驗方案：根據(jù)因素及其水平，可選用L9(34)

表頭設(shè)計：接著將各因素的各水平按所設(shè)計的表頭填入選定的正交表中，試驗時，應(yīng)嚴(yán)格按照設(shè)計好的方案進(jìn)行。列號1234因素ABC2/3/202392試驗設(shè)計－5d、試驗結(jié)果分析

ABCD彈性1111377

2122391

31333624212350522333062313207313326832130293323182/3/202393試驗設(shè)計－5

ABCD彈性111137721223913133362421235052233306231320731332683213029332318K111301053999T=3076K2100010231059K394610001018377351333333341353315333339R6218202/3/202394試驗設(shè)計－5從已做的9次試驗中看，第二號試驗結(jié)果最好，此時的試驗條件為A1B2C2，但這是否是33=27次試驗中最好的一次呢？現(xiàn)在還不能下結(jié)論，還需通過進(jìn)一步的計算分析來確定。表的下半部分是試驗結(jié)果的計算，其中：K1，K2，K3為每個因素的三個水平各自的三次試驗結(jié)果之和。例：

2/3/202395試驗設(shè)計－5例：

是對應(yīng)于每個K1，K2，K3的平均值。R為極差，是每一個因素三種水平下試驗結(jié)果平均值中最大值與最小值之差。

2/3/202396試驗設(shè)計－5（a）因素—指標(biāo)關(guān)系圖(趨勢圖)畫出因素—指標(biāo)趨勢圖，可看出各因素對指標(biāo)的影響趨勢，從而確定進(jìn)一步試驗的方向。280300320340360380400A1A2A3B1B2B3C1C2C32/3/202397試驗設(shè)計－5（b）因素對試驗的影響分析

表中的極差R反映了試驗結(jié)果的差異，R越大說明該因素取不同水平時對試驗結(jié)果的影響就越大，反之，就對試驗結(jié)果的影響越小。因此，可根據(jù)R的大小來決定各因素對試驗結(jié)果影響的主次順序。主→次：A→C→B2/3/202398試驗設(shè)計－5（c）選擇最佳工藝條件

選擇最佳工藝條件的原則是優(yōu)先考慮主要因素。本例中A為主要因素，根據(jù)對試驗指標(biāo)的要求，可選A1，其次可選C2及B1?？赡艿淖罴压に嚄l件是A1B1C2，為什么說這是“可能的”最佳工藝條件呢？因為考慮到試驗誤差等的影響，還需對這些條件作試驗驗證。2/3/202399試驗設(shè)計－5（d）對“最佳工藝條件”進(jìn)行預(yù)估的經(jīng)驗公式

在對可能的最佳工藝條件作試驗驗證前，可先用經(jīng)驗公式對試驗結(jié)果做預(yù)估。經(jīng)驗公式為：某條件下的指標(biāo)估計值=該條件下各因素所選水平對應(yīng)的指標(biāo)平均值之和－(因素數(shù)－1)×總平均

2/3/2023100試驗設(shè)計－5A1B1C2下的指標(biāo)預(yù)估值=(377+351+353)-(3-1)×3076/9=397

2/3/2023101試驗設(shè)計－5(2)方差分析法仍沿用上面的例子：令表示每次試驗結(jié)果，設(shè):各因素的偏差平方和為

:2/3/2023102試驗設(shè)計－5其中：rA—A因素每個水平的試驗重復(fù)數(shù)；

p—為A因素的水平數(shù)。其中：rB—B因素每個水平的試驗重復(fù)數(shù)，

q—為B因素的水平數(shù)2/3/2023103試驗設(shè)計－5其中:rc—C因素每個水平的試驗重復(fù)數(shù);m—為C因素的水平數(shù)

總平方和為

:可以證明：

所以

:2/3/2023104試驗設(shè)計－5為了計算方便，可將上述平方和簡化，設(shè)定有關(guān)的表達(dá)式

:2/3/2023105試驗設(shè)計－52/3/2023106試驗設(shè)計－5對上例進(jìn)行計算得：

2/3/2023107試驗設(shè)計－52/3/2023108試驗設(shè)計－52/3/2023109試驗設(shè)計－52/3/2023110試驗設(shè)計－5一般情況下，可直接在表上計算，而不必另列算式。

2/3/2023111試驗設(shè)計－5ABCD誤差彈性1111137721222391313333624212335052231330623123207313232683213302933213182/3/2023112試驗設(shè)計－5K1113010539991025K=3076P=1051308K21000102310591037K3946100010181014Qi1057272105177910519351051396Si5964471627882/3/2023113試驗設(shè)計－5從上表可總結(jié)兩點(diǎn)：

a、總平方和等于各列平方和。在正交表的第4列沒有安排因素,如仿照各因素計算平方和的辦法，可發(fā)現(xiàn)S4=Se，fe=f4，這不算是太特殊的情況?？梢宰C明：一般情況下，未安排因素的空列的平方和恰好等于誤差平方和(有交互作用與試驗有重復(fù)時除外)。2/3/2023114試驗設(shè)計－5b、對試驗結(jié)果作方差分析的目的主要是要深入了解各因素對試驗指標(biāo)的影響程度。至于因素影響指標(biāo)的主次順序，可通過平方和的大小來判別（混合型正交表與擬水平法除外），平方和大的因素，說明其對指標(biāo)影響大，反之，則小。2/3/2023115試驗設(shè)計－5在本例中因素的主次順序為：A→C→B，它與直觀分析的結(jié)果是一致的。至于最佳工藝條件的選擇，其標(biāo)準(zhǔn)與直觀分析相同，先選主要因素，后選較次要的因素，本例中為A1C2B1，與直觀分析也一致。所以，如果只是想通過試驗在現(xiàn)有因素中獲得最佳工藝條件，就不必作方差分析。這樣可省去較多的計算工作量。2/3/2023116試驗設(shè)計－5方差分析表

方差來源平方和自由度均方F臨界F值A(chǔ)59642298267.77*F0.01=99B4712235.55.35[*]F0.05=19C6272313.57.13[*]F0.10=9誤差88244

F0.25=3總和71508

2/3/2023117試驗設(shè)計－5（3）正交試驗的幾何說明

前面介紹了正交表的正交性—均勻搭配性，正是由于正交表的這個特點(diǎn)，使得正交試驗?zāi)苁∪ゴ罅坎槐匾脑囼?，迅速找到最好?或最接近最好的)試驗條件。為了能更清楚、直觀地了解正交表的這一特點(diǎn)，下面我們用幾何方法來解釋。以剛才的實(shí)驗為例。在立方體上有27個交點(diǎn)，代表了一個三因素三水平的27次試驗（33=27）。下面我們分析一下正交表上所列9次試驗的分布特點(diǎn)。2/3/2023118試驗設(shè)計－5的幾何含義B3A1A2A3B2B1⑧④③②①⑥⑤⑦⑨C1C2C32/3/2023119試驗設(shè)計－5a、6個平面上都有三個試驗點(diǎn)。b、每個平面上的每行每列都有一個試驗點(diǎn)，亦即每個因素的每個水平在試驗中相遇的機(jī)會均等。這種既不遺漏，也不重復(fù)的安排方式，決定了正交試驗相對于試驗次數(shù)相同的其他試驗來說，效率是最高的。c、另外一個規(guī)律是：全面試驗中的最好點(diǎn)M離9次試驗中的最好點(diǎn)不遠(yuǎn)，且主要因素的水平基本一致。在該試驗中較好的是①號A1B1C1與②號A1B2C2，全面試驗最好點(diǎn)M：A1B1C2就在附近，且主要因素A的水平是一致的。

2/3/2023120試驗設(shè)計－54、因素間有交互作用時的正交試驗

當(dāng)因素間有交互作用時，表頭設(shè)計有所不同。首先，要根據(jù)因素及因素間交互作用的數(shù)量及水平的情況來選擇正交表，然后，利用與該正交表相對應(yīng)的“交互作用的正交表”來安排因素及它們之間交互作用的位置。

（1）交互作用正交表

在現(xiàn)有的正交表中有一部分有對應(yīng)的“交互作用正交表”，沒有交互作用正交表的說明不能安排有交互作用的因素的試驗。下面舉例說明“交互作用正交表”的用法。

2/3/2023121試驗設(shè)計－5正交表對應(yīng)的交互作用正交表為：列號12345671(1)3254762(2)167453(3)76544(4)1235(5)326(6)17(7)2/3/2023122試驗設(shè)計－5框內(nèi)的數(shù)字都是列號。設(shè)有A、B、C三個因素，且都是二水平。如考慮它們之間的交互作用：A×B、B×C、A×C，如何進(jìn)行表頭設(shè)計呢？a、先安排A，B，C中的任意兩個，此時這兩個因素可安放在任意位置上，如將A、B放在1、2兩列位置上。AB12345672/3/2023123試驗設(shè)計－5b、由交互作用正交表找到A與B的交互作用A×B的位置為第3列，

ABA×BC1234567ABA×B1234567c、將因素C安排在除第1，2，3列之外的任意位置上,如排在第5列

2/3/2023124試驗設(shè)計－5d、由交互作用正交表找到B×C，A×C的位置分別為第4列和第7列,即

ABA×BA×CCB×C1234567至此，表頭設(shè)計完成。

2/3/2023125試驗設(shè)計－5（2）因素間有交互作用時，正交試驗結(jié)果的計算與分析

例：在梳棉機(jī)上紡粘棉混紡紗，為了提高質(zhì)量，減少棉結(jié)粒數(shù)，選了三個因素，每個因素有二個水平，三個因素之間可能有交互作用。水平因素表為：

因素水平12金屬針布（A）日本的青島的產(chǎn)量水平（B）6公斤10公斤錫林速度（C）238轉(zhuǎn)/分320轉(zhuǎn)/分2/3/2023126試驗設(shè)計－5方案設(shè)計及試驗結(jié)果為:

ABA×BCA×CB×C

棉結(jié)粒數(shù)xiX’i=100×(xi-0.30)1234567111111110.300211122220.355312211220.20-10412222110.30052121212050207221122104010K1-5100-4020-5

2.35-5K20-15-535-250

R525575455

2/3/2023127試驗設(shè)計－5a、極差分析

（a）確定因素及它們之間的交互作用的主次順序由表中的極差可知各因素及它們的交互作用對試驗的影響次序為主→次：C，A×C，B，A，A×B，B×C，A×C（b）

確定最佳工藝條件2/3/2023128試驗設(shè)計－5原則：1、優(yōu)先考慮主要因素；2、若因素的交互作用的影響很顯著時，不管因素本身的影響顯著與否，都從交互作用的角度去選擇工藝條件。按上面兩條原則，我們先來選A與C的工藝條件，A×C共有四種搭配，A1C1，A1C2，A2C1，A2C2，而且每種搭配都做了兩次試驗,將各種搭配的試驗結(jié)果之和列于下表：

2/3/2023129試驗設(shè)計－5B因素由表中的K值知，B2較B1好。

A1A2C1-10-30C2

530從左表中知搭配A2C1為最好所以，最佳工藝條件為A2C1B2，它恰好是表中第⑦號試驗，是8次試驗中最好的結(jié)果之一。另外，第⑤號試驗的結(jié)果與第⑦號一樣好。觀察試驗條件，其中A2C1與第⑦號一樣，而B為B1與⑦號試驗不同，這也可推斷，B因素處于相對次要的位置。2/3/2023130試驗設(shè)計－5b、方差分析

ABA×BCA×CB×C誤差試驗結(jié)果11111111021112222531221122-1041222211052121212-15621221212072211221-1582212112102/3/2023131試驗設(shè)計－5K1K2-5010-150-5-403520-25-505-10∑-5QiSi6.253.12581.2578.1256.253.125706.25703.125256.25253.1256.253.12531.2528.125平方和Si的計算與以前定義一樣，對于二水平的情況可用下面的簡化公式。

，其中n—試驗總次數(shù)

2/3/2023132試驗設(shè)計－5方差分析

方差來源平方和自由度均方F值臨界值B78.125178.1258.3*F0.05(1,4)=7.7C703.1251703.12575**F0.01(1,4)=21.2A×C253.1251253.12527**

A3.1251

A×B3.125149.375

B×C3.1251

誤差28.1251

總和1071.8757=8-1

見下頁說明2/3/2023133試驗設(shè)計－5這三項的均方與誤差相比是很小的，可認(rèn)為這三項平方和是由試驗誤差引起的，所以，作方差分析時，可將這些平方和歸并到誤差項中去。決定因素的主次順序時，可根據(jù)平方和Si（自由度不同時除外）的大小來決定，最佳工藝條件的選擇與直觀分析時相同。

2/3/2023134試驗設(shè)計－5c、正交表的選擇正交試驗的優(yōu)點(diǎn)是可減少試驗次數(shù)，但如果因素間的交互作用較多時，正交試驗的優(yōu)越性就會減弱，因為每個交互作用都要占據(jù)一列，當(dāng)有三個因素時，要考慮的交互作用就有C32=3個，當(dāng)有4個因素時，交互作用有C42=6個，試驗次數(shù)將要增加。解決這個矛盾的辦法是：2/3/2023135試驗設(shè)計－5（a）如果試驗?zāi)康闹饕窃诂F(xiàn)有的因素水平中尋找較好的工藝條件，可以選擇較小的正交表，而不必考慮因素之間是否存在交互作用；（b）當(dāng)試驗的主要目的是尋找事物內(nèi)部的規(guī)律時，應(yīng)選擇盡量大的正交表。如果選擇較小的正交表，不可避免地會產(chǎn)生許多混雜現(xiàn)象。2/3/2023136試驗設(shè)計－55、因素的水平數(shù)不同時的正交試驗

當(dāng)因素的水平不等時，常用兩種方法來設(shè)計正交試驗:（1）利用混合型正交表;（2）擬水平法。下面分別介紹之。（1）利用混合型正交表安排水平數(shù)不同的因素的正交試驗例：為了探索某膠壓板的制造工藝，選擇如下的因素及水平進(jìn)行試驗。2/3/2023137試驗設(shè)計－5試驗結(jié)果按產(chǎn)品質(zhì)量的好壞分別用6、5、4、3、2、1打分，6分最好，1分最差。為了減少試驗誤差的干擾，整個試驗重復(fù)了四次。水平因素1234壓力（A）8公斤10公斤11公斤

12公斤溫度（B）950C900C時間（C）9分12分2/3/2023138試驗設(shè)計－5a、選用正交表與表頭設(shè)計根據(jù)確定的因素水平情況，選用正交表L8(4×24),表頭設(shè)計為：

列號12345因素ABCb、試驗結(jié)果的計算與分析（a）極差分析2/3/2023139試驗設(shè)計－5ABC45xi1xi2xi3xi4Xi111111666422212222654419321122432211422211443213531212211156321214442147412214321108421126342172/3/2023140試驗設(shè)計－5K1414864∑Xi=K=111K2246347K319

K427

20.512161215.7511.759.5

13.5

R113.754.25R’75.3256.0352/3/2023141試驗設(shè)計－5因素水平不等時，其極差的計算有所不同，因一般情況下，因素水平數(shù)多，其極差也大，為了消除因素水平不同對極差的影響，現(xiàn)將原有極差R折算成R’，其折算公式,其中：R—因素的極差,K—因素每個水平的試驗重復(fù)數(shù),d—折算系數(shù)。

2/3/2023142試驗設(shè)計－5折算系數(shù)d

水平數(shù)2345678910d0.710.520.450.40.370.350.340.320.31

2/3/2023143試驗設(shè)計－5(b)方差分析

ABC45xi1xi2xi3xi4Xi111111666422212222654419321122432211422211443213531212211156321214442147412214321108421126342172/3/2023144試驗設(shè)計－5Xi=K=111K22463475452K319

K427

Qi418.375392.062394.0625385.3125385.5625Si33.34377.031259.031250.281251.53125其中Qi的計算因本試驗有重復(fù)而與前面介紹的稍有不同：

2/3/2023145試驗設(shè)計－5其中：qi——i因素的水平試驗重復(fù)數(shù)；r——每號試驗的重復(fù)數(shù)；pi——i因素的水平數(shù)

。如：2/3/2023146試驗設(shè)計－5Se的計算如下

:Se=

Se’+Se”其中：Se’——各條件下試驗誤差之和Se”——各水平下試驗誤差之和①其中:2/3/2023147試驗設(shè)計－5為了計算方便，將Se’化簡為Se’=W-R，其中:

其中:②S4,S5的平方和較大時，說明因素間有交互作用存在，這時應(yīng)先對它們作F檢驗，如檢驗顯著，就應(yīng)考慮因素間的交互作用。

2/3/2023148試驗設(shè)計－5方差分析表

方差來源平方和自由度均方F值臨界值A(chǔ)33.34375311.11469.46**F0.01(3,26)=4.64B7.0312517.031255.98*F0.01(1,26)=7.72C9.0312519.031257.68*F0.05(1,26)=4.23Se”1.81252

1.17551+1=2Se’28.752432-8=24總和79.96875314X8-1＝32-1＝31262/3/2023149試驗設(shè)計－5(2)擬水平法

在正交試驗中，有些水平數(shù)不同的試驗，選不到合適的正交表或所選正交表的試驗次數(shù)太多，這時可用“擬水平法”，所謂“擬水平法”，即將水平數(shù)較少的因素虛擬一些水平，使整個試驗?zāi)茉诂F(xiàn)有的合適的正交表上安排.例：為了提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇四個試驗因素：反應(yīng)溫度(A),反應(yīng)時間(B),用堿量(C),攪拌速度(D),各自選取的水平如下：2/3/2023150試驗設(shè)計－5如用混合型正交表來安排上述試驗，則可用L18(2×37)，如想減少試驗次數(shù)則可將因素D擬成3水平，用L9(34)來安排?！皵M水平”一般可從現(xiàn)有的水平中挑，選需要重點(diǎn)考察的那個水平。因素水平溫度（A）時間（B）用堿量（C）攪拌速度（D）1800C90分5%快速2850C120分6%慢速3900C150分7%快速(擬水平)2/3/2023151試驗設(shè)計－5試驗結(jié)果的計算與分析

a、極差分析ABCD轉(zhuǎn)化率(%)11111(快)3121222(慢)5431333(快)384212353522314962312427313257832136293321642/3/2023152試驗設(shè)計－5K1123141135297水平1、3之和K2144165171153K3183144144

41474549.548555751614848

R208121.52/3/2023153試驗設(shè)計－5b、方差分析

的計算與前面的方法相同。

SD的計算方法如下：

Se可由求得。2/3/2023154試驗設(shè)計－5ABCD轉(zhuǎn)化率（%）11111(塊)3121222(慢)5431333(快)384212353522314962312427313257832136293321642/3/2023155試驗設(shè)計－5K1123141135297K=450P=22500K2144165171153K3183144144

Qi23118226142273422504.5Si6181142344.5試驗次數(shù)2/3/2023156試驗設(shè)計－5方差分析表

方差來源平方和自由度均方F值臨界值A(chǔ)618230934.33**F0.01(2,2)=99B1142576.33[*]F0.05(2,2)=19C234211713.00(*)F0.1(2,2)=9D4.519F0.25(2,2)=3誤差13.51總和98489-1=81822/3/2023157試驗設(shè)計－56、正交表的改造在生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)實(shí)驗中，所遇到的問題錯綜復(fù)雜，在正交試驗時，現(xiàn)有的正交表往往不能滿足所有場合的需要，因此，對現(xiàn)有正交表進(jìn)行改造，產(chǎn)生許多新的正交表以滿足各種需要就顯得十分必要。下面介紹幾種常用的改造正交表的方法。（1）

并列法這是由相同水平正交表構(gòu)造成水平數(shù)不同正交表的方法。

2/3/2023158試驗設(shè)計－5例某試驗有四個因素A（4水平），B（2水平），C（2水平），D（2水平），因素自由度之和為:fT=fA+fB+fC+fD=3+1×3＝6，總試驗次數(shù)至少為:n＝fT+1=7，可選L8(27)表進(jìn)行改造，因素A的自由度為3，而L8(27)上每列的自由度為1，所以它應(yīng)占3列，一般情況是任取兩列再加上它們的交互作用列，構(gòu)成一個新的四水平列，構(gòu)成規(guī)則如下(2水平→4水平)2/3/2023159試驗設(shè)計－5a、(1,1)→1,(1,2)→2,(2,1)→3,(2,2)→4b、劃去它們的交互作用列現(xiàn)對第1，2列改造，它們的交互作用列是第3列，改造后的情形如下圖中所示：可以看出，改造后的L8(27)成為L8(4×24),它仍具備正交表的正交性的兩個特點(diǎn)。

2/3/2023160試驗設(shè)計－5列號試驗號11’2345671111111112111122223122211224122222115231212126231221217242112218242121122/3/2023161試驗設(shè)計－5擬因素法

它也是一種由水平數(shù)相同的正交表構(gòu)成水平數(shù)不同正交表的方法。如將2水平列改造成3水平列，其改造規(guī)則是：a、(1,1)→1，(2,2)→2，(1,2)→2，(2,1)→3；b、讓交互作用列空閑.2/3/2023162試驗設(shè)計－5例：參加某一試驗的因素有A（3水平）B（3水平）C（3水平）D（3水平）E（2水平），因自由度

:總試驗次數(shù)至少為:

可選L16(215)進(jìn)行改造。

2/3/2023163試驗設(shè)計－5

12

34

5678

91011121314

15111111111111111111112111111111222222222231111222221111122222411112222222222111115122211122111221122261222111222221122111712222221111122221118122222211222111122292122122121221212122102122122122312121231112122231211221221231122122231212312112122132231122211222112231142231122212311221122152231231121222121122162231231122311212231空閑2/3/2023164試驗設(shè)計－5用擬因素法與擬水平法設(shè)計的正交試驗，其正交表已不具有正交表的原來的兩個性質(zhì)，但它們具有局部均衡搭配性，仍能起到省時、經(jīng)濟(jì)、高效的作用。2/3/2023165試驗設(shè)計－5（3）裂區(qū)法

用正交表安排試驗時，每個因素的各水平都要重復(fù)若干次，正交表越大，重復(fù)的次數(shù)就越多，但在實(shí)際試驗中各因素重復(fù)的難易程度是不一樣的，如果將它們一視同仁，往往會導(dǎo)致試驗時間拖得很長，用裂區(qū)法來安排試驗，可使重復(fù)困難的因素少重復(fù)，從而提高試驗的效率。

2/3/2023166試驗設(shè)計－5裂區(qū)法主要是使用正交表的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如在表L8(27)中，雖然各字碼在每列中的重復(fù)數(shù)是一樣的，但它們的分布是不一樣的，第1列的字碼“1”從第①-④號試驗中重復(fù)4次，而第②③列從第①—④號試驗，字碼“1”只重復(fù)2次，包括在第①②號試驗中，同是第①②號試驗，第4、5、6、7列中，字碼“1”只重復(fù)1次，根據(jù)這個規(guī)律，可將L8(27)劃分成一些區(qū)域，如下圖所示。2/3/2023167試驗設(shè)計－5列號試驗號123456712345678111111111111222222112222221122221212121221212112212121121232/3/2023168試驗設(shè)計－5設(shè)計試驗時，把重復(fù)難度高的先排，自左至右由難到易。例：鋼制零件表面氰化處理試驗，它是將零件表面經(jīng)清洗處理后，放入氰化爐內(nèi)，通入適量的甲苯、氨氣，在一定氰化溫度下，保溫一段時間，然后出爐冷卻，由于表面同時滲入碳和氮，零件表面的硬度、耐磨性和疲勞強(qiáng)度都提高了。所考慮的因素水平為：2/3/2023169試驗設(shè)計－5因素水平ABCDEF甲苯量氨氣量氰化溫度(0C)保溫時間(h)冷卻方式預(yù)處理方式1少多低7油冷酸洗2多少中5保溫箱冷砂若不考慮因素間的交互作用，可選用L8(27)表安排試驗。

2/3/2023170試驗設(shè)計－5諸因素中因素C耗時最長一爐要達(dá)10小時，另外因素A，B也較費(fèi)工時，所以在安排試驗時可先安排因素C，將其排在第1列，A，B因素排在第2，3列，D，E，F(xiàn)分別排在第4，5，6列。

列號1234567因素CABDEF2/3/2023171試驗設(shè)計－5作試驗時，可將要試驗的8個零件（如試樣無重復(fù)）分成4組，每組2個零件。一爐可同時放入2個零件，這樣相當(dāng)于把8次試驗減為4次。這4爐分別是①②,③④,⑤⑥,⑦⑧,下面以①②為例來說明試驗過程：①號試驗的條件為C1A1B1D1E1F1②號為C1A1B1D2E2F2，先將2零件分別按F1與F2處理，放入爐中，按C1A1B1操作，保溫時間達(dá)到5h（D2），取出一零件按E2操作，保溫時間達(dá)到7h（D1），再取出另外一個零件，按E1操作。缺點(diǎn):試驗的隨機(jī)化程度降低.2/3/2023172試驗設(shè)計－5列號CABDEF試驗號1234567(1)1111111121112222(2)3122112241222211(3)5212121262122121(4)72211221822121122/3/2023173試驗設(shè)計－5（4）直積法

在冶金、化工、建筑等工業(yè)部門中，常將參加試驗的因素分為二類：a、配方因素—如原材料、配料比例等。b、工藝因素—如