第七版D6-2幾何應用

第六章利用元素法解決:定積分在幾何上的應用定積分在物理上的應用定積分的應用第一節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束定積分的元素法一、什么問題可以用定積分解決?二、如何應用定積分解決問題?第六章定積分概念的出現(xiàn)和發(fā)展都是由實際問題引起和推動的。因此定積分的應用也非常廣泛。本書主要介紹幾何上，物理上實際問題的應用，例如：計算平面圖形面積，曲線弧長，旋轉體體積，引力，做功等?；仡櫱吿菪蚊娣eA轉化為定積分的計算過程：把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,有總量A對于[a,b]具有區(qū)間可加性,計算Ai的近似值得A的近似值(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求極限.n個部分量Ai的和.ab0xyy=f(x)即A可以分割成

把上述步驟略去下標，改寫為：計算A的近似值得A的近似值得(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求極限.把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，任取其中一個小區(qū)間[x,x+dx]（區(qū)間微元），用A表示[x,x+dx]上的小曲邊梯形的面積，于是xx+dx這種方法通常叫元素法.面積微元若總量U在[a,b]上有可加性且部分量Uif(i)xi時,求U可分兩部進行:(1)求元素局部近似得dU=f(x)dx(2)求全量元素積分得應用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等．例1.寫出長為l的非均勻細直棒質量的積分表達式任一點的線密度是長度的函數(shù)。解:建立坐標如圖,oxlxx+dx則任意點x的密度為step1.

step2.step3.本章用微元法討論定積分在幾何，物理中的一些應用。微元法(ElementMethod)表示為一、什么問題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)

有關的2)U

對區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過“大化小,常代變,近似和,取極限”定積分定義機動目錄上頁下頁返回結束一個整體量;二、如何應用定積分解決問題?第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達式第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的積分表達式這種分析方法成為元素法

(或微元分析法)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束四、旋轉體的側面積(補充)三、平面曲線的弧長

第二節(jié)一、平面圖形的面積二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積機動目錄上頁下頁返回結束定積分在幾何學上的應用第六章一、平面圖形的面積1.直角坐標情形設曲線與直線及

x

軸所圍曲則機動目錄上頁下頁返回結束邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為例1.

計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解I:

由得交點機動目錄上頁下頁返回結束解II:

例2.

計算拋物線與直線的面積.解:

由得交點所圍圖形為簡便計算,選取

y

作積分變量,則有機動目錄上頁下頁返回結束例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應用定積分換元法得當a=b

時得圓面積公式機動目錄上頁下頁返回結束一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值則曲邊梯形面積機動目錄上頁下頁返回結束補充例*.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:機動目錄上頁下頁返回結束2.極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機動目錄上頁下頁返回結束對應

從0變例4.計算阿基米德螺線解:點擊圖片任意處播放開始或暫停機動目錄上頁下頁返回結束到2

所圍圖形面積.例5.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)心形線目錄上頁下頁返回結束心形線(外擺線的一種)即點擊圖中任意點動畫開始或暫停

尖點:

面積:

弧長:參數(shù)的幾何意義補充例*.

計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積機動目錄上頁下頁返回結束補充例*.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.機動目錄上頁下頁返回結束答案:(二)體積1．旋轉體的體積2．平行截面面積已知的立體體積

旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺1、旋轉體的體積xyo旋轉體的體積為解直線方程為及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體．旋轉體(旋轉橢球體)的體積．體積元素為于是所求旋轉橢球體的體積為abxyOdV

y2dx

，例7

計算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉而成的解這個旋轉橢球體也可以看作是由半個橢圓V

y2dx

(a2x2)dx[a2x

x3

a

b2．ab解補充利用這個公式，可知上例中2、平行截面面積為已知的立體的體積如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積旋轉體的體積平行截面面積為已知的立體的體積繞軸旋轉一周繞軸旋轉一周柱殼法3、小結三、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內接折線,當折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)機動目錄上頁下頁返回結束則稱(1)曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長(P168)機動目錄上頁下頁返回結束(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長機動目錄上頁下頁返回結束(3)曲線弧由極坐標方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):(自己驗證)機動目錄上頁下頁返回結束解所求弧長為例12.

計算擺線一拱的弧長.解:機動目錄上頁下頁返回結束例13.

求阿基米德螺線相應于0≤≤2一段的弧長.解:(P349公式39)小結目錄上頁下頁返回結束內容小結1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標方程2.平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程