機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)第三章二自由度系統(tǒng)

§3.1引言第3章二自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)指需要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的獨(dú)立坐標(biāo)才能描述其運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)。二自由度系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的多自由度系統(tǒng)。矩陣知識(shí)補(bǔ)充§3.2運(yùn)動(dòng)微分方程例3.1圖為典型的二自由度彈簧、阻尼器質(zhì)量系統(tǒng)。用牛頓第二定律建立它的運(yùn)動(dòng)微分方程：

1)分別在ml，m2建立坐標(biāo)系Xl;X2以描述m1，m2的振動(dòng)。坐標(biāo)原點(diǎn)O1，O2分別取m1，m2的靜平衡位置。向右為坐標(biāo)正向。

2)設(shè)m1，m2在F1(t),F2(t)作用下沿各自的坐標(biāo)正向分別移動(dòng)了x1，x2，分析此時(shí)m1，m2的受力情況。列微分方程的第一種方法：根據(jù)牛頓第二定律可以得到：

整理得：在多自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論中，廣泛使用矩陣記號(hào)。

記：位移向量

加速度向量

速度向量激勵(lì)向量

設(shè)

分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

則

記為：

即：這種用矩陣寫(xiě)出的運(yùn)動(dòng)微分方程與單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程非常相似。

質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣完全決定了系統(tǒng)的性質(zhì)。

從上面的例子可以看出，這三個(gè)矩陣均是對(duì)稱(chēng)矩陣，即系統(tǒng)的動(dòng)能為

系統(tǒng)的彈性勢(shì)能為

能量耗散函數(shù)

列微分方程的第二種方法：能量法利用這三個(gè)函數(shù)可以分別求出三個(gè)矩陣的各個(gè)元素

1)求出系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)，2)然后利用式(3.3)求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。3)最終求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。好處：由于系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)是標(biāo)量，可以不考慮力的方向，免去了許多麻煩。因此：列微分方程有兩種方式：1)牛頓法：隔離體受力分析2)求偏導(dǎo)法：求系統(tǒng)動(dòng)能\勢(shì)能和能量耗散函數(shù)，再求導(dǎo)（推薦方法）列微分方程的第二種方法：能量法基本步驟——彈性元件k2和阻尼元件c2使得系統(tǒng)的兩個(gè)質(zhì)量的振動(dòng)相互影響，并使剛度矩陣和阻尼矩陣不是對(duì)角矩陣.一般多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣都可能不是對(duì)角矩陣，這樣微分方程存在耦合?！绻|(zhì)量矩陣是非對(duì)角矩陣，稱(chēng)方程存在慣性耦合；如果阻尼矩陣是非對(duì)角矩陣，稱(chēng)方程存在阻尼耦合；如果剛度矩陣是非對(duì)角矩陣，稱(chēng)方程存在彈性耦合。耦合問(wèn)題：——如何消除方程的耦合是求解多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的關(guān)鍵。從數(shù)學(xué)上講，就是怎樣使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣在某一坐標(biāo)系下同時(shí)成為對(duì)角矩陣。耦合問(wèn)題：§3.3不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程例3.2汽車(chē)的二自由度振動(dòng)模型如圖3—3所示?！?chē)板簧以上部分被簡(jiǎn)化成為一根剛性桿，具有質(zhì)量m和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic。質(zhì)心位于C點(diǎn)。

——分別在A點(diǎn)和B點(diǎn)與桿相連的彈性元件k1、k2為汽車(chē)的前、后板簧。只考慮桿的豎向運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)）和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）。系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能為——這里用到了四個(gè)廣義坐標(biāo)（變量）yA，yB，yC，q，我們需要取定其中兩個(gè)，而將其他兩個(gè)消去。1.取廣義坐標(biāo)為yA，θ

則系統(tǒng)的動(dòng)能為

運(yùn)動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的勢(shì)能為2.取廣義坐標(biāo)為yC和θ

系統(tǒng)的勢(shì)能為在yC，q下系統(tǒng)的動(dòng)能為運(yùn)動(dòng)微分方程為：3.取廣義坐標(biāo)為yA，yB§3.4無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程解耦:

尋找合適的描述系統(tǒng)振動(dòng)的廣義坐標(biāo)系，使得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣在這個(gè)廣義坐標(biāo)下為對(duì)角矩陣?！葍r(jià)于尋找一個(gè)變換矩陣u，使得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣按下式變?yōu)閷?duì)角矩陣。運(yùn)動(dòng)微分方程為如果存在變換矩陣u使方程解耦。即當(dāng)x=uy時(shí)，在y下的運(yùn)動(dòng)微分方程為上式相當(dāng)于如下兩個(gè)彼此獨(dú)立的單自由度方程

如果系統(tǒng)初始條件為則方程的解為由此可以得到在x坐標(biāo)系下方程的解也就是說(shuō)，初始條件為：系統(tǒng)的自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)

思路：{x}坐標(biāo)系下的微分方程和初始條件{x}坐標(biāo)系下的微分方程解{y}坐標(biāo)系下的微分方程和初始條件耦合，不能求解u坐標(biāo)轉(zhuǎn)換解耦{y}坐標(biāo)系下的微分方程解微分方程相互獨(dú)立，可求解u-1坐標(biāo)逆轉(zhuǎn)換注：紅色路線代表走不通，綠色路線代表可走通例3.3如圖所示系統(tǒng)。設(shè)m1＝m2=m。這是個(gè)對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為k1的中點(diǎn)。取向右為x軸的正方向。

討論幾種特殊的初始條件下的振動(dòng)。1．把m1，m2向右移動(dòng)相同的距離x0，然后同時(shí)無(wú)初速度地放開(kāi)。2．m1向左，m2向右，均移動(dòng)x0，然后同時(shí)無(wú)初速度地放開(kāi)。3.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，均為x’0

4.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，大小相等，均為x’0

，但方向相反。1．把m1，m2向右移動(dòng)相同的距離x0，然后同時(shí)無(wú)初速度地放開(kāi)。初始條件為：這是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的初始條件。在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中：彈簧k1不變形，m1和m2受到的力大小、方向均相同，二者的質(zhì)量又相同，因此它們的速度和位移也相同。這樣m1和m2之間的距離始終保持不變，二者就如同一個(gè)剛體。系統(tǒng)在這種情況下的等效為下圖。這是一個(gè)單自由度系統(tǒng)。2．m1向左，m2向右，均移動(dòng)x0，然后同時(shí)無(wú)初速度地放開(kāi).初始條件為：——在振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的中點(diǎn)即k1的中點(diǎn)沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，就像一個(gè)固定點(diǎn)。k1被分成相等的兩半，每一半的彈簧的剛度為2k1。在這種情況下的等效系統(tǒng)如下圖所示。

這是兩個(gè)彼此獨(dú)立，并且完全一樣的單自由度系統(tǒng).

3.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，均為x’0.初始條件為:這也是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的初始條件.系統(tǒng)等效為：2m系統(tǒng)的響應(yīng)：——系統(tǒng)兩個(gè)自由度以w1為頻率做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。同時(shí)達(dá)到極值，同時(shí)為零。它們之間的相位差為零。4.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，大小相等，均為x’0

，但方向相反。又是一個(gè)反對(duì)稱(chēng)的初始條件。系統(tǒng)等效為：系統(tǒng)的響應(yīng)：——系統(tǒng)兩個(gè)自由度以w2為頻率做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。同時(shí)達(dá)到極值，同時(shí)為零。它們之間的相位差為p。小結(jié)：對(duì)于任意的初始條件

可以分解為如下的四種初始條件之和：1)2)3)4)根據(jù)疊加原理，圖3—4(a)所示系統(tǒng)在任意初始條件下的自由振動(dòng)響應(yīng)為:由例3.3可以看到，二自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)在某些特定的初始條件下的自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)?！駝?dòng)的特點(diǎn):系統(tǒng)的兩個(gè)自由度以相同的頻率振動(dòng)，它們之間的相位差為零或p，它們的坐標(biāo)之比是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)而與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。1)這種振動(dòng)稱(chēng)為系統(tǒng)的固有振動(dòng)。

2)這種坐標(biāo)之比稱(chēng)為固有振型，簡(jiǎn)稱(chēng)振型。

3)固有振動(dòng)時(shí)的頻率稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率，振型與固有頻率是一一對(duì)應(yīng)的?！杂啥认到y(tǒng)存在兩種頻率的固有振動(dòng)，因此有兩個(gè)固有頻率，兩個(gè)固有振型。二自由度系統(tǒng)在任意初始條件下無(wú)阻尼自由振動(dòng)是這兩個(gè)固有振動(dòng)的線性組合?！脠D形直觀顯示固有振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)之間的相互位置關(guān)系，稱(chēng)為振型圖。

例3.3的振型圖如圖所示直接從系統(tǒng)的微分方程出發(fā)求出系統(tǒng)的固有頻率和振型。

圖示系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:設(shè)系統(tǒng)的固有振動(dòng)時(shí)的解為代入得：關(guān)于Al，A2的線性齊次代數(shù)方程組。如果有非零解，則需滿(mǎn)足：二階行列式展開(kāi)得解之得1)將w1代入方程式得到令{u1}就是與w1對(duì)應(yīng)的第一階振型

因此得到u11，u21的比值：則即{u1}，{u2}乘上任一個(gè)非零的常數(shù)仍然滿(mǎn)足式。所以：可把響應(yīng){x(t)}看為向量空間中隨時(shí)間變化的向量，振型{u}給出了空間中的不隨時(shí)間改變的一個(gè)方向，振型的大小需要人為給定。固有頻率和它所對(duì)應(yīng)的振型完全由質(zhì)量矩陣和剛度矩陣決定，與外部激勵(lì)無(wú)關(guān)，是系統(tǒng)固有的性質(zhì)。由知：得到了wl，{u1}和w2，{u2}后，可以解方程系統(tǒng)的解：設(shè)：如果初始條件為則有解出A1，A2和初始相位j1，j2

通解兩個(gè)解的線性組合A1{u1}g1(t)+A2{u2}g2(t)令即：因此用矩陣描述：將A1、A2、j1、j2和[u]代入式(3.14)，即可得到任意二自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的解。求得bij后由下式計(jì)算各個(gè)自由度的振幅A1，A2和初始相位j1，j2

歸納：二自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的求解方法1、確定坐標(biāo)系，并根據(jù)振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能函數(shù)確定質(zhì)量、剛度矩陣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程2、獲得系統(tǒng)特征方程：，求得各階固有頻率；3、將固有頻率代回，確定振型；4、由振型得到變換矩陣[u];5、例3.4耦合擺兩個(gè)完全一樣的單擺以彈簧相聯(lián)。單擺長(zhǎng)L，質(zhì)量為m。解：取單擺與垂線的夾角q1，q2為描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為特征方程為展開(kāi)得到1)將w1代入廣義特征值問(wèn)題得：得到：2)將w2代入廣義特征值問(wèn)題得：u11=u21=1解得：u12=-1，u22=1并有考慮如下的初始條件即初始時(shí)只有一個(gè)桿有初始位移由式(3.17)可得到由式(3.18)得由式(3.14)得解為這時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能為:其中：第一階固有振動(dòng)為：它的動(dòng)能和勢(shì)能為：第二階固有振動(dòng)為：它的動(dòng)能和勢(shì)能為：因此有系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別是各階固有振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能之和。振動(dòng)能量可以按振型分解，在振動(dòng)中系統(tǒng)的各階固有振動(dòng)是相互獨(dú)立的，彼此沒(méi)有能量交換。令由三角和差化積公式得如果彈簧的剛度很小，則而由于k很小，這樣Dw遠(yuǎn)小于w0，可以把cosDwt和sinDwt看成隨時(shí)間變化的振幅，它們的變化周期為：顯然這時(shí)的響應(yīng)如圖：從圖中可以看出：

1)t=0時(shí)，左擺振幅為q0，右擺振幅為0(不動(dòng))