機械振動基礎第三章二自由度系統(tǒng)

§3.1引言第3章二自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)指需要用兩個或兩個以上的獨立坐標才能描述其運動的振動系統(tǒng)。二自由度系統(tǒng)是最簡單的多自由度系統(tǒng)。矩陣知識補充§3.2運動微分方程例3.1圖為典型的二自由度彈簧、阻尼器質(zhì)量系統(tǒng)。用牛頓第二定律建立它的運動微分方程：

1)分別在ml，m2建立坐標系Xl;X2以描述m1，m2的振動。坐標原點O1，O2分別取m1，m2的靜平衡位置。向右為坐標正向。

2)設m1，m2在F1(t),F2(t)作用下沿各自的坐標正向分別移動了x1，x2，分析此時m1，m2的受力情況。列微分方程的第一種方法：根據(jù)牛頓第二定律可以得到：

整理得：在多自由度系統(tǒng)振動理論中，廣泛使用矩陣記號。

記：位移向量

加速度向量

速度向量激勵向量

設

分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

則

記為：

即：這種用矩陣寫出的運動微分方程與單自由度系統(tǒng)的運動微分方程非常相似。

質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣完全決定了系統(tǒng)的性質(zhì)。

從上面的例子可以看出，這三個矩陣均是對稱矩陣，即系統(tǒng)的動能為

系統(tǒng)的彈性勢能為

能量耗散函數(shù)

列微分方程的第二種方法：能量法利用這三個函數(shù)可以分別求出三個矩陣的各個元素

1)求出系統(tǒng)的動能、勢能和能量耗散函數(shù)，2)然后利用式(3.3)求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。3)最終求出系統(tǒng)的運動微分方程。好處：由于系統(tǒng)的動能、勢能和能量耗散函數(shù)是標量，可以不考慮力的方向，免去了許多麻煩。因此：列微分方程有兩種方式：1)牛頓法：隔離體受力分析2)求偏導法：求系統(tǒng)動能\勢能和能量耗散函數(shù)，再求導（推薦方法）列微分方程的第二種方法：能量法基本步驟——彈性元件k2和阻尼元件c2使得系統(tǒng)的兩個質(zhì)量的振動相互影響，并使剛度矩陣和阻尼矩陣不是對角矩陣.一般多自由度系統(tǒng)的運動微分方程中的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣都可能不是對角矩陣，這樣微分方程存在耦合?！绻|(zhì)量矩陣是非對角矩陣，稱方程存在慣性耦合；如果阻尼矩陣是非對角矩陣，稱方程存在阻尼耦合；如果剛度矩陣是非對角矩陣，稱方程存在彈性耦合。耦合問題：——如何消除方程的耦合是求解多自由度系統(tǒng)運動微分方程的關鍵。從數(shù)學上講，就是怎樣使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣在某一坐標系下同時成為對角矩陣。耦合問題：§3.3不同坐標系下的運動微分方程例3.2汽車的二自由度振動模型如圖3—3所示?！嚢寤梢陨喜糠直缓喕蔀橐桓鶆傂詶U，具有質(zhì)量m和繞質(zhì)心的轉動慣量Ic。質(zhì)心位于C點。

——分別在A點和B點與桿相連的彈性元件k1、k2為汽車的前、后板簧。只考慮桿的豎向運動（平動）和繞質(zhì)心的轉動（轉動）。系統(tǒng)的動能和勢能為——這里用到了四個廣義坐標（變量）yA，yB，yC，q，我們需要取定其中兩個，而將其他兩個消去。1.取廣義坐標為yA，θ

則系統(tǒng)的動能為

運動微分方程為系統(tǒng)的勢能為2.取廣義坐標為yC和θ

系統(tǒng)的勢能為在yC，q下系統(tǒng)的動能為運動微分方程為：3.取廣義坐標為yA，yB§3.4無阻尼自由振動方程解耦:

尋找合適的描述系統(tǒng)振動的廣義坐標系，使得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣在這個廣義坐標下為對角矩陣?！葍r于尋找一個變換矩陣u，使得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣按下式變?yōu)閷蔷仃?。運動微分方程為如果存在變換矩陣u使方程解耦。即當x=uy時，在y下的運動微分方程為上式相當于如下兩個彼此獨立的單自由度方程

如果系統(tǒng)初始條件為則方程的解為由此可以得到在x坐標系下方程的解也就是說，初始條件為：系統(tǒng)的自由振動是簡諧振動

思路：{x}坐標系下的微分方程和初始條件{x}坐標系下的微分方程解{y}坐標系下的微分方程和初始條件耦合，不能求解u坐標轉換解耦{y}坐標系下的微分方程解微分方程相互獨立，可求解u-1坐標逆轉換注：紅色路線代表走不通，綠色路線代表可走通例3.3如圖所示系統(tǒng)。設m1＝m2=m。這是個對稱系統(tǒng)，對稱點為k1的中點。取向右為x軸的正方向。

討論幾種特殊的初始條件下的振動。1．把m1，m2向右移動相同的距離x0，然后同時無初速度地放開。2．m1向左，m2向右，均移動x0，然后同時無初速度地放開。3.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，均為x’0

4.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，大小相等，均為x’0

，但方向相反。1．把m1，m2向右移動相同的距離x0，然后同時無初速度地放開。初始條件為：這是一個對稱的初始條件。在整個振動過程中：彈簧k1不變形，m1和m2受到的力大小、方向均相同，二者的質(zhì)量又相同，因此它們的速度和位移也相同。這樣m1和m2之間的距離始終保持不變，二者就如同一個剛體。系統(tǒng)在這種情況下的等效為下圖。這是一個單自由度系統(tǒng)。2．m1向左，m2向右，均移動x0，然后同時無初速度地放開.初始條件為：——在振動過程中，系統(tǒng)的中點即k1的中點沒有運動，就像一個固定點。k1被分成相等的兩半，每一半的彈簧的剛度為2k1。在這種情況下的等效系統(tǒng)如下圖所示。

這是兩個彼此獨立，并且完全一樣的單自由度系統(tǒng).

3.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，均為x’0.初始條件為:這也是一個對稱的初始條件.系統(tǒng)等效為：2m系統(tǒng)的響應：——系統(tǒng)兩個自由度以w1為頻率做簡諧振動。同時達到極值，同時為零。它們之間的相位差為零。4.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，大小相等，均為x’0

，但方向相反。又是一個反對稱的初始條件。系統(tǒng)等效為：系統(tǒng)的響應：——系統(tǒng)兩個自由度以w2為頻率做簡諧振動。同時達到極值，同時為零。它們之間的相位差為p。小結：對于任意的初始條件

可以分解為如下的四種初始條件之和：1)2)3)4)根據(jù)疊加原理，圖3—4(a)所示系統(tǒng)在任意初始條件下的自由振動響應為:由例3.3可以看到，二自由度無阻尼系統(tǒng)在某些特定的初始條件下的自由振動是簡諧振動?！駝拥奶攸c:系統(tǒng)的兩個自由度以相同的頻率振動，它們之間的相位差為零或p，它們的坐標之比是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關而與時間無關的常數(shù)。1)這種振動稱為系統(tǒng)的固有振動。

2)這種坐標之比稱為固有振型，簡稱振型。

3)固有振動時的頻率稱為系統(tǒng)的固有頻率，振型與固有頻率是一一對應的。——二自由度系統(tǒng)存在兩種頻率的固有振動，因此有兩個固有頻率，兩個固有振型。二自由度系統(tǒng)在任意初始條件下無阻尼自由振動是這兩個固有振動的線性組合?！脠D形直觀顯示固有振動時各個坐標之間的相互位置關系，稱為振型圖。

例3.3的振型圖如圖所示直接從系統(tǒng)的微分方程出發(fā)求出系統(tǒng)的固有頻率和振型。

圖示系統(tǒng)自由振動的運動微分方程為:設系統(tǒng)的固有振動時的解為代入得：關于Al，A2的線性齊次代數(shù)方程組。如果有非零解，則需滿足：二階行列式展開得解之得1)將w1代入方程式得到令{u1}就是與w1對應的第一階振型

因此得到u11，u21的比值：則即{u1}，{u2}乘上任一個非零的常數(shù)仍然滿足式。所以：可把響應{x(t)}看為向量空間中隨時間變化的向量，振型{u}給出了空間中的不隨時間改變的一個方向，振型的大小需要人為給定。固有頻率和它所對應的振型完全由質(zhì)量矩陣和剛度矩陣決定，與外部激勵無關，是系統(tǒng)固有的性質(zhì)。由知：得到了wl，{u1}和w2，{u2}后，可以解方程系統(tǒng)的解：設：如果初始條件為則有解出A1，A2和初始相位j1，j2

通解兩個解的線性組合A1{u1}g1(t)+A2{u2}g2(t)令即：因此用矩陣描述：將A1、A2、j1、j2和[u]代入式(3.14)，即可得到任意二自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的解。求得bij后由下式計算各個自由度的振幅A1，A2和初始相位j1，j2

歸納：二自由度無阻尼系統(tǒng)的求解方法1、確定坐標系，并根據(jù)振動系統(tǒng)的動能、勢能函數(shù)確定質(zhì)量、剛度矩陣系統(tǒng)的運動微分方程2、獲得系統(tǒng)特征方程：，求得各階固有頻率；3、將固有頻率代回，確定振型；4、由振型得到變換矩陣[u];5、例3.4耦合擺兩個完全一樣的單擺以彈簧相聯(lián)。單擺長L，質(zhì)量為m。解：取單擺與垂線的夾角q1，q2為描述系統(tǒng)運動的廣義坐標。系統(tǒng)的動能和勢能分別為特征方程為展開得到1)將w1代入廣義特征值問題得：得到：2)將w2代入廣義特征值問題得：u11=u21=1解得：u12=-1，u22=1并有考慮如下的初始條件即初始時只有一個桿有初始位移由式(3.17)可得到由式(3.18)得由式(3.14)得解為這時系統(tǒng)的動能和勢能為:其中：第一階固有振動為：它的動能和勢能為：第二階固有振動為：它的動能和勢能為：因此有系統(tǒng)的動能和勢能分別是各階固有振動的動能和勢能之和。振動能量可以按振型分解，在振動中系統(tǒng)的各階固有振動是相互獨立的，彼此沒有能量交換。令由三角和差化積公式得如果彈簧的剛度很小，則而由于k很小，這樣Dw遠小于w0，可以把cosDwt和sinDwt看成隨時間變化的振幅，它們的變化周期為：顯然這時的響應如圖：從圖中可以看出：

1)t=0時，左擺振幅為q0，右擺振幅為0(不動)