梁彎曲位移第五章

材料力學(xué)

MechanicsofMaterials

第五章梁彎曲位移

DisplacementsofBendingBeam1、避免變形過大車床主軸齒輪軸

橋式起重機(jī)的橫梁變形過大,則會(huì)使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。2、利用變形車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。（1）校核梁的剛度；（2）求解超靜定梁（變形比較法）。討論范圍：等直梁對(duì)稱彎曲變形， 小變形，材料在線彈性范圍內(nèi)。3、計(jì)算梁變形的目的§5-1梁的位移——撓度及轉(zhuǎn)角

撓曲線：光滑連續(xù)的平面曲線

撓度：ω

梁截面轉(zhuǎn)角：

FxCqC1

yω

變形后梁橫截面變形前梁橫截面坐標(biāo)系：原點(diǎn)——梁左端；x軸——變形前梁的軸線，向右為正；y軸——與x軸重合，向下為正。q1.撓度ω：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移（mm）;

與坐標(biāo)y

同向?yàn)檎?↓)，反之為負(fù)(↑)

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度（rad）；

順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)

3.撓曲線：梁變形后，軸線變成的光滑曲線。其方程為ω

=f(x)——撓曲線（彈性曲線）

方程4.轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系小變形可見確定梁的位移，關(guān)鍵是確定撓曲線方程f(x)?！?-2梁的撓曲線近似微分方程-積分法一、梁的撓曲線近似微分方程撓曲線曲率：由高數(shù)，曲線曲率：純彎曲剪力彎曲(l/h＞10)∵小變形，ω'很小，∴ω'2＜＜1，可忽略不計(jì)，則有：，代入式（1），得到：

（1）yxM>0

yxM<0

圖示坐標(biāo)系中，M與ω''的正負(fù)號(hào)相反，故取“-”，則梁的撓曲線近似微分方程：

對(duì)于等截面直梁，可寫成如下形式：近似：1、略去剪力對(duì)變形的影響；2、略去高階微小量ω'2。 可見通過對(duì)梁的撓曲線近似微分方程兩次積分，可求得梁的轉(zhuǎn)角和撓度。二、積分法求梁的位移近似微分方程：一次積分：二次積分：1、思路2、積分常數(shù)的確定 由邊界條件確定：（1）約束條件：梁支座處已知撓度和轉(zhuǎn)角；（2）連續(xù)條件：各段交界處位移相同。ωC1=ωC2,θC1=θC2F

CAωA=0,θA=0ωA=0,ωB=0AB

①適用于小變形、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲;

②可應(yīng)用于各種載荷的等截面或變截面梁的位移;

③優(yōu)點(diǎn)——使用范圍廣，精確；

缺點(diǎn)——計(jì)算較繁。

①寫出彎矩方程若彎矩不能用一個(gè)函數(shù)給出要分段寫出；

②由撓曲線近似微分方程，積分出轉(zhuǎn)角、撓度函數(shù)；

③利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)；

如果分

n段寫出彎矩方程，則有

2n個(gè)積分常數(shù)

④求出指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度。積分法求梁變形的基本步驟

積分法適用范圍

例1

求下列各梁的撓曲線方程及最大撓度和轉(zhuǎn)角解：(1)彎矩方程約束條件：qlEIx(2)積分(3)求積分常數(shù)(4)求解x=0:解：由對(duì)稱性，只考慮半跨梁ACD，F(xiàn)A=FB=qax1x2FAFBAC段CD段由連續(xù)條件：由邊界條件：由對(duì)稱條件：000(2a)02a梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：1、各段xi都以梁左端為原點(diǎn)；4、梁上有m，在M（x）中，把m項(xiàng)乘以（x-a）0，a為m到原點(diǎn)距離。按照上述規(guī)則，總有：C1=C2=…Cn=EIθ0，D1=D2=…Dn=EIω0，使得計(jì)算簡(jiǎn)化，且只要利用約束條件就可求出積分常數(shù)。2、（xi-ai）項(xiàng)，不要合并同類項(xiàng)，積分時(shí)看作整體；3、梁上有分布荷載時(shí)，延長至右端，在延長段上加等值、反向分布荷載；

積分法注意事項(xiàng)邊界條件、連續(xù)條件應(yīng)用舉例aaqADBEaF彎矩圖3段，共6個(gè)積分常數(shù)分三段，共6個(gè)積分常數(shù)

鉸連接PACD§5-3疊加法求梁的位移一、疊加原理 積分法過于繁瑣，如已知簡(jiǎn)單荷載作用下梁的位移，可以用疊加法求梁的位移。1、前提：（1）梁小變形；（2）材料服從胡克定律。2、原理：所得M(x)是荷載的線性函數(shù)，因而θ(x)、ω(x)也是荷載的線性函數(shù)。梁在多種（多個(gè)）荷載作用下產(chǎn)生的位移，等于每種（每個(gè)）荷載單獨(dú)作用下產(chǎn)生的位移的代數(shù)和。即：

ω=∑ωi，θ=∑θi

疊加

AqPBCaa=

+

PABqAB§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施1.剛度條件

建筑鋼梁的許可撓度：機(jī)械傳動(dòng)軸的許可轉(zhuǎn)角：精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角：7-5根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。

B1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為：

解§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施例5已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角θ=0.5°。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。例6已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角θ=0.5°。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。B2）由剛度條件確定軸的直徑：§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施2.提高梁剛度的措施1）選擇合理的截面形狀2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改變支座形式§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改變載荷類型§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施3）采用超靜定結(jié)構(gòu)§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施3）采用超靜定結(jié)構(gòu)§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施1）選擇合理的截面形狀2）減少彎矩?cái)?shù)值4）采用E大的材料？？§5-6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：未知力數(shù)目大于獨(dú)立平衡方程數(shù)目的梁。多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束超靜定次數(shù)：多余約束或多余約束反力的數(shù)目。2.求解方法：1）解除多余約束，建立基本體系；2）比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件3）由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程4）利用靜力平衡條件求其他約束反力?；倔w系：用多余約束力代替多余