第七章線性回歸模型的擴(kuò)展

第七章線性回歸模型的擴(kuò)展第一節(jié)

變量非線性回歸模型第二節(jié)

參數(shù)非線性回歸模型*第三節(jié)

虛擬解釋變量回歸模型第四節(jié)

虛擬被解釋變量回歸模型*2/3/20231山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室前幾章所討論的，都是基于橫截面數(shù)據(jù)的線性回歸模型，涉及的變量均是數(shù)值變量。實(shí)際上，許多經(jīng)濟(jì)變量之間并不存在線性關(guān)系，建模中涉及的許多變量也不直接表現(xiàn)為數(shù)值，而是屬于分類變量的范疇。為了擴(kuò)大計(jì)量經(jīng)濟(jì)建模方法的適用范圍，本章擬將橫截面數(shù)據(jù)的線性回歸建模方法擴(kuò)展到對(duì)非線性關(guān)系的分析，并將計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的變量類型從數(shù)值變量擴(kuò)展到分類變量。2/3/20232山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室

線性回歸分析的前提是作為被解釋變量的經(jīng)濟(jì)變量與作為解釋變量的經(jīng)濟(jì)變量之間存在著線性關(guān)系。這里所說的線性是指解釋變量線性并且參數(shù)線性。但是，在眾多的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，分析經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，根據(jù)某種經(jīng)濟(jì)理論和對(duì)實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題的分析，所建立的經(jīng)濟(jì)模型往往不符合上面的線性要求，即模型是非線性的，稱為非線性模型(Non-linearModel)。非線性模型包括兩種情況：（1）解釋變量非線性，但是參數(shù)線性。（2）參數(shù)非線性。尤其參數(shù)非線性是對(duì)古典假定SLR.1和MLR.1的違背，對(duì)回歸分析影響很大。本節(jié)針對(duì)第一種情況進(jìn)行討論，常用的變量非線性回歸模型包括對(duì)數(shù)函數(shù)模型、雙曲線模型和多項(xiàng)式模型。這類模型有一個(gè)共同特點(diǎn)，可以利用變量轉(zhuǎn)換等處理方法將模型線性化，線性化后的模型即可采用OLS方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。這類非線性模型被稱為內(nèi)蘊(yùn)線性模型，或廣義線性模型。第一節(jié)變量非線性回歸模型2/3/20233山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室一、對(duì)數(shù)函數(shù)模型（一）雙對(duì)數(shù)函數(shù)模型回歸分析經(jīng)常使用的對(duì)數(shù)模型是雙對(duì)數(shù)函數(shù)模型(Double-logModel)，考慮如下形式的需求－收入模型

(7.2)

(7.2）中的參數(shù)是以線性形式出現(xiàn)在模型中的，雖然(7.1)中原變量x和y之間是非線性的，但因變量與自變量的對(duì)數(shù)形式是線性的，因而稱雙對(duì)數(shù)函數(shù)模型。

對(duì)數(shù)函數(shù)模型的自變量和因變量中，至少有一種是原始變量的對(duì)數(shù)形式。具體分為以下兩種類型：兩邊取對(duì)數(shù)，模型可變換為:

(7.1)2/3/20234山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室實(shí)際工作中，雙對(duì)數(shù)模型應(yīng)用非常廣泛，其原因在于，如果忽略誤差項(xiàng),(7.2)是一條直線（y和x都是對(duì)數(shù)形式），所以它的斜率（β1）為一常數(shù),是y相對(duì)于x的彈性系數(shù):所以彈性為一常數(shù)。由于這個(gè)特殊的性質(zhì)，雙對(duì)數(shù)模型又稱為不變(固定)彈性模型。

對(duì)這類模型可作如下代換，令雙對(duì)數(shù)模型可化為標(biāo)準(zhǔn)線性模型在古典假定滿足的情況下，可以使用OLS對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)。2/3/20235山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室對(duì)于多個(gè)解釋變量的情形，（7.2）式可以擴(kuò)展為（7.3）稱為偏彈性系數(shù)。它度量了在其他變量不變的條件下，被解釋變量y對(duì)于解釋變量的彈性系數(shù)。如著名的柯布—道格拉斯（Cobb—Douglas）生產(chǎn)函數(shù)模型，就是這類模型的一個(gè)典型，我們下面舉例說明。例7-1表7-1列出了抽樣調(diào)查得到的某市19個(gè)規(guī)模以上制造業(yè)企業(yè)的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)。試用回歸分析法分析企業(yè)產(chǎn)出中各要素的貢獻(xiàn)及其特點(diǎn)。2/3/20236山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室企業(yè)產(chǎn)值Q（萬元）職工數(shù)L（人）固定資產(chǎn)K（萬元）大華1291.878742051.92麒麟1347.058952151.3雙劍1399.69172250.21衡麓1505.119572370.26六合1578.979532488.97春風(fēng)1652.869662606.61聯(lián)華1784.9110332754.66太岳1994.5710982953.78東海2123.2311753157.15荷佳2269.7711523376.42博世2411.9411543635.99科維2608.8112073918.47梅花2774.9812304223.82綠源2965.312964550.49人和3067.1213344846.77花都3290.313745205.33金鼎3540.5715925615.31謙祥3749.7714156098.25表7－1某市19個(gè)規(guī)模以上制造業(yè)企業(yè)的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)2/3/20237山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室用EViews建立雙對(duì)數(shù)模型，回歸結(jié)果如下：樣本回歸方程為：DependentVariable:LOG(Q)Method:LeastSquaresIncludedobservations:19afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-1.5452110.590710-2.6158550.0187LOG(L)0.3397010.1889871.7974790.0912LOG(K)0.8419100.0951418.8491220.0000

R-squared0.994499

Meandependentvar7.651499

AdjustedR-squared0.993811

S.D.dependentvar0.365836

S.E.ofregression0.028780

Akaikeinfocriterion-4.114328

Sumsquaredresid0.013253

Schwarzcriterion-3.965206

Loglikelihood42.08611

F-statistic1446.223

Durbin-Watsonstat0.432115Prob(F-statistic)0.0000002/3/20238山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室對(duì)樣本回歸方程解釋如下：斜率系數(shù)0.3397表示產(chǎn)出對(duì)勞動(dòng)投入的彈性，即表明在資本投入保持不變的條件下，勞動(dòng)投入每增加一個(gè)百分點(diǎn)，平均產(chǎn)出將增加0.3397個(gè)百分點(diǎn)。同樣地，在勞動(dòng)投入保持不變的條件下，資本投入每增加一個(gè)百分點(diǎn)，產(chǎn)出將平均增加0.8419個(gè)百分點(diǎn)。兩個(gè)彈性系數(shù)相加為規(guī)模報(bào)酬系數(shù)，其數(shù)值大于1，表明該市經(jīng)濟(jì)的特征很可能是規(guī)模報(bào)酬遞增的（如果數(shù)值等于1，屬于規(guī)模報(bào)酬不變；小于1，則屬于規(guī)模報(bào)酬遞減）。2/3/20239山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室根據(jù)單邊檢驗(yàn)的結(jié)果，這兩個(gè)系數(shù)各自均是統(tǒng)計(jì)顯著的（這是用單邊檢驗(yàn)，即，因?yàn)槲覀冾A(yù)期勞動(dòng)力和資本對(duì)產(chǎn)出影響都是正向的），模型的F值也是高度顯著的（因?yàn)閜rob=0.0000），因此能夠拒絕零假設(shè)：勞動(dòng)力與資本對(duì)產(chǎn)出無影響。R2值為0.995，表明勞動(dòng)力和資本（對(duì)數(shù)）的變動(dòng)解釋了大約99.5%的產(chǎn)出（對(duì)數(shù)）的變動(dòng)，說明了模型很好地?cái)M合了樣本數(shù)據(jù)。

2/3/202310山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（二）半對(duì)數(shù)函數(shù)模型線性模型與對(duì)數(shù)函數(shù)模型的混合就是半對(duì)數(shù)模型(Semi-logModels)。因變量是對(duì)數(shù)形式（對(duì)數(shù)－線性模型）：

（7.4）

解釋變量是對(duì)數(shù)形式（線性－對(duì)數(shù)模型）：

（7.5）

這兩個(gè)模型的參數(shù)是以線性形式出現(xiàn)的，雖然原變量之間是非線性的，但被解釋（解釋）變量的對(duì)數(shù)與解釋（被解釋）變量之間是線性關(guān)系，因此，半對(duì)數(shù)函數(shù)模型可以很容易地轉(zhuǎn)換成線性模型，并使用OLS估計(jì)參數(shù)。2/3/202311山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室對(duì)于半對(duì)數(shù)模型（7.4），顯然有可見，表示x每變化一個(gè)相對(duì)單位（變動(dòng)率）對(duì)應(yīng)的y的平均絕對(duì)變動(dòng)量，所以，半對(duì)數(shù)函數(shù)模型又稱增長率模型。（7.4）常用于度量由解釋變量相對(duì)變動(dòng)率導(dǎo)致的被解釋變量平均變動(dòng)的絕對(duì)數(shù)量；（7.5）常用于度量由解釋變量絕對(duì)量變化導(dǎo)致的被解釋變量的平均相對(duì)變動(dòng)率。兩個(gè)模型中的斜率系數(shù)又被稱為半彈性(Semi-elasticity)系數(shù)。2/3/202312山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室二、雙曲線模型形如的模型，稱為雙曲線模型(Double-curveModel)。該模型刻畫了

y與x的反向變動(dòng)關(guān)系,其顯著特點(diǎn)是隨著x的無限增大(即1/x接近于零)，

y趨近于。令，原模型可化為線性形式即可用OLS的方法進(jìn)行估計(jì)。菲利普斯曲線（PhillipsCurve）就是這個(gè)模型在經(jīng)濟(jì)分析中應(yīng)用的典型體現(xiàn)。菲利普斯曲線刻畫了通貨膨脹率與失業(yè)率的反向變動(dòng)關(guān)系，如圖7-1。2/3/202313山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室失業(yè)率與通貨膨脹率負(fù)向相關(guān)，同時(shí)通貨膨脹率變化有一個(gè)漸近底限。當(dāng)失業(yè)率x趨于無窮大時(shí)，通貨膨脹率y將取漸近值。0失業(yè)率菲利普斯曲線2/3/202314山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室三、多項(xiàng)式函數(shù)模型

多項(xiàng)式回歸模型（PolynomialRegressionModel）在生產(chǎn)與成本函數(shù)分析中被廣泛地使用。如果用y表示成本，x表示產(chǎn)出，則可以建立以下多項(xiàng)式模型，體現(xiàn)微觀經(jīng)濟(jì)分析中的二者關(guān)系：總成本（TC）：邊際成本（MC）和平均成本（AC）的PRF為：（7.8）即總體回歸函數(shù)（PRF）為：2/3/202315山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室產(chǎn)出x成本y產(chǎn)出x成本yMCTCAC成本曲線如果模型的解釋變量為時(shí)間變量t，多項(xiàng)式函數(shù)模型又稱為曲線回歸模型，常常用于對(duì)非線性長期趨勢(shì)的擬合。有時(shí)為了反映自變量之間的交互影響，也需要用到多項(xiàng)式回歸模型。2/3/202316山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室如以y、x、z分別表示單位面積上的糧食產(chǎn)量、施肥量和灌溉用水量。由于施肥量和灌溉用水量對(duì)糧食產(chǎn)量的效應(yīng)之間存在交互影響，所以，可以建立以下模型：施肥量x對(duì)糧食產(chǎn)量y的總邊際影響是：是施肥量對(duì)糧食產(chǎn)量的直接效應(yīng)（假定灌溉用水量不變），是施肥量對(duì)糧食產(chǎn)量的間接效應(yīng)，隨灌溉用水量的不同而變化，說明肥效的發(fā)揮取決于灌溉用水的多少。同樣，灌溉用水z對(duì)糧食產(chǎn)量y的總邊際影響也可以這樣分解。顯然，該模型比單純的二元回歸模型更符合實(shí)際情況。2/3/202317山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例7-2表7-3給出了某市16個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品產(chǎn)量（x）與單位產(chǎn)品成本（y）的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)。試研究二者的依存關(guān)系。企業(yè)序號(hào)產(chǎn)品產(chǎn)量（噸）x單位產(chǎn)品成本（元/噸）y企業(yè)序號(hào)產(chǎn)品產(chǎn)量（噸）x單位產(chǎn)品成本（元/噸）y143034629602310824103433106193068343232751175630514501315112738300755523108136953068656530761464730347588314615635298186653057167882962企業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量與單位產(chǎn)品成本數(shù)據(jù)2/3/202318山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室根據(jù)規(guī)模經(jīng)濟(jì)的原理，產(chǎn)品產(chǎn)量是單位產(chǎn)品成本變化的原因。為了明確二者的具體關(guān)系類型，使用EViews的Graph功能，繪制散點(diǎn)圖如下：2/3/202319山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室顯然，二者的關(guān)系不是線性關(guān)系?？晒┻x擇的模型有以下兩種：雙曲線模型：半對(duì)數(shù)模型：分別擬合兩種模型，回歸結(jié)果整理如下：模型的估計(jì)值與t檢驗(yàn)值的估計(jì)值與t檢驗(yàn)值R2AICSCt檢驗(yàn)值t檢驗(yàn)值雙曲線半對(duì)數(shù)2489.77247.833.4413.18367183.6-646.28.70-7.510.840.8011.1411.3811.2311.48雙曲線模型和冪函數(shù)模型的系數(shù)均通過了顯著性檢驗(yàn)，但前者無論是R2還是AIC、SC均好于后者，所以，最終的模型應(yīng)為雙曲線模型：2/3/202320山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室該回歸結(jié)果說明，單位產(chǎn)品成本隨產(chǎn)量的上升而下降，當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量趨近于無窮大時(shí)，單位產(chǎn)品成本趨近于2489.7元/噸，這就是單位產(chǎn)品成本的理論最低值（實(shí)際上是可變成本部分）。四、Box-Cox變換在考察被解釋變量y和解釋變量的關(guān)系時(shí)，經(jīng)常用的兩種模型是線性模型和對(duì)數(shù)線性模型事實(shí)上，經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)被解釋變量和解釋變量之間的具體的函數(shù)關(guān)系并不是很清楚的。2/3/202321山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室由博克斯和考克斯（Box，Cox，1964）引進(jìn)的Box-Cox變換對(duì)于利用樣本數(shù)據(jù)確定函數(shù)形式非常有益的。對(duì)一種關(guān)系中的所有變量進(jìn)行某個(gè)變換就會(huì)得到一個(gè)由變換參數(shù)決定的函數(shù)族，線性和對(duì)數(shù)線性關(guān)系是這個(gè)函數(shù)族中的兩個(gè)特例。函數(shù)形式最終由估計(jì)的變換參數(shù)值確定。我們考慮變量z的下列Box-Cox變換：

時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，……。2/3/202322山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室對(duì)某個(gè)特殊的關(guān)系式的所有變量都進(jìn)行Box-Cox變換可得到下列模型時(shí)，這個(gè)模型就是雙對(duì)數(shù)模型（7.13）。時(shí)，可得即它和線性模型（7.12）是等價(jià)的。對(duì)于其它的的值，確定其它的函數(shù)形式。

2/3/202323山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室也可以進(jìn)行更一般的變換，它就是每個(gè)變量的變換參數(shù)不一樣。此時(shí)變換后得到的模型為可能有些變量以線性的形式出現(xiàn)（，有些變量以對(duì)數(shù)的形式出現(xiàn)（，有些變量以倒數(shù)的形式出現(xiàn)（，等等。這樣得到的函數(shù)族更大些，但是它也給我們估計(jì)參數(shù)帶來困難。接下來，我們需要做的事情就是利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)變換參數(shù)或（）以及，得到估計(jì)的函數(shù)形式。一般采用極大似然估計(jì)方法估計(jì)參數(shù)，在此不展開討論。2/3/202324山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室五、小結(jié)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型設(shè)定的重要方面是要使所設(shè)定的變量間函數(shù)形式能夠體現(xiàn)變量間的基本關(guān)系。總體回歸模型是對(duì)總體回歸函數(shù)的描述，總體回歸函數(shù)正是計(jì)量經(jīng)濟(jì)要去估計(jì)的目標(biāo)。但其真實(shí)的函數(shù)形式事先并不知道。所謂模型函數(shù)形式的設(shè)定，是指根據(jù)對(duì)變量間相互關(guān)系的已有認(rèn)識(shí)，把y的條件期望設(shè)定為解釋變量x的某種函數(shù)。總體條件期望函數(shù)，可以設(shè)定為各種具體的函數(shù)形式。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的實(shí)踐中，通常把總體回歸函數(shù)的具體函數(shù)形式設(shè)定為初等函數(shù)，應(yīng)當(dāng)注意的是不同函數(shù)形式中參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義有較大差異。常用的函數(shù)形式見課本P217表7-5(課件略）。2/3/202325山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室大多數(shù)模型中，邊際和彈性系數(shù)為變量，其大小取決于具體樣本點(diǎn)自變量或（和）因變量的取值。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般用代替具體的計(jì)算，得到的是平均的邊際效應(yīng)或彈性系數(shù)。2/3/202326山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室第三節(jié)虛擬變量虛擬變量含義虛擬解釋變量的回歸分類變量表現(xiàn)為多種狀態(tài)2/3/202327山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室迄今為止，本教材涉及的變量都是數(shù)值變量，諸如市場需求量、商品的價(jià)格、收入、產(chǎn)量等；但我們?cè)诮r(shí)還經(jīng)常遇到另外一些“變量”，如職業(yè)、性別、地區(qū)、季節(jié)等等。例如，季節(jié)的變化會(huì)對(duì)某些商品的需求量產(chǎn)生影響；性別或者職業(yè)的不同，其收入水平可能會(huì)有很大的差異。再如，當(dāng)研究某一經(jīng)濟(jì)問題時(shí)還可能有些起暫時(shí)作用的“變量”，諸如在某一時(shí)期出現(xiàn)了戰(zhàn)爭、天災(zāi)、人禍等。諸如此類的“變量”都是分類變量，或稱為“非數(shù)值變量”、“定性變量”或“名義變量”。一、虛擬變量

2/3/202328山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室在計(jì)量經(jīng)濟(jì)建模過程中，有時(shí)候分類變量是不可缺少的。但由于在一般情況它們并不表現(xiàn)為具體的數(shù)值，為了將分類變量引入計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中，需要率先將其數(shù)量化，即轉(zhuǎn)化為所謂的“虛擬變量”（DummyVariable），又被稱為二元變量或二進(jìn)制變量（BinaryVariable），一般用D來表示。

分類變量數(shù)量化的方法是，當(dāng)分類變量起作用時(shí)，賦值“D＝1”；不起作用時(shí)，賦值“D＝0”。通過定義虛擬變量，就可以將分類變量等同于數(shù)值變量，引入回歸模型之中。2/3/202329山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中，虛擬變量可以發(fā)揮多方面的作用：比如，作為屬性因素的代表，如性別、所有制等；可以作為某些非精確計(jì)量的數(shù)量因素的代表，如受教育程度、管理者素質(zhì)等；作為某些偶然因素或政策因素的代表，如戰(zhàn)爭、災(zāi)害、改革前后等；實(shí)現(xiàn)分段回歸，研究斜率、截距的變動(dòng)，或比較兩個(gè)回歸模型的結(jié)構(gòu)差異；作為時(shí)間序列分析中季節(jié)（月份）的代表；等等。2/3/202330山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把包含有虛擬變量的模型稱為虛擬變量模型。常用的虛擬變量模型有三種類型：

1.解釋變量中只包含虛擬變量，作用是在假定其他因素都不變時(shí)，只研究分類變量是否使被解釋變量表現(xiàn)出顯著差異；

2.解釋變量中既含數(shù)值變量，又含虛擬變量，研究數(shù)值變量和虛擬變量同時(shí)對(duì)被解釋變量的影響；3.被解釋變量本身為虛擬變量的模型，即被解釋變量本身取值為0或1的模型，適于對(duì)某社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行“是”與“否”的判斷研究。本節(jié)討論前兩種情形。2/3/202331山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室二、虛擬解釋變量的回歸

在計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中，加入虛擬解釋變量的途徑有兩種基本類型：一是加法類型；二是乘法類型。不同的途徑引入虛擬變量有不同的作用，加法方式引入虛擬變量改變的是模型的截距；乘法方式引入虛擬變量改變的是模型的斜率。（一）用虛擬變量表示不同截距的回歸—加法類型以加法類型引入虛擬解釋變量的模型，虛擬解釋變量與其他解釋變量是相加關(guān)系；從計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的意義看，其作用是改變了設(shè)定模型的截距水平。比如：2/3/202332山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例

：研究性別與收入（yi）的關(guān)系：我們可以定義虛擬變量Di，Di=0時(shí)表示女性，Di=1時(shí)表示男性，即：對(duì)于線性回歸模型(7.18)，若假設(shè)H0：β1=0成立，則說明收入與性別將沒有太大關(guān)系；若假設(shè)H0：β1=0不成立，則說明收入與性別有關(guān)。

以加法類型引入虛擬變量時(shí)，分為兩種情形：解釋變量只有分類變量而無數(shù)值變量；解釋變量既有數(shù)值變量又有分類變量。1.解釋變量只有分類變量而無數(shù)值變量的回歸2/3/202333山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例7-4研究學(xué)歷與收入（yi）的關(guān)系：可以建立如下模型：2/3/202334山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室表7-6為從某城市隨機(jī)獲取的10名職工的學(xué)歷情況與最初參加工作時(shí)的起薪。試建立樣本回歸模型。起薪（元）教育（1=大學(xué)，0=非大學(xué)）起薪（元）教育（1=大學(xué)，0=非大學(xué)）2300150014002100250010011170013009001700220001001表7-6起薪與受教育程度數(shù)據(jù)2/3/202335山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室由結(jié)果可知，對(duì)應(yīng)的t檢驗(yàn)值為2.3，在統(tǒng)計(jì)上顯著，說明學(xué)歷對(duì)收入有著顯著的影響，即說明受教育水平不同的兩類人群的起薪是不同的。由方程可得，大學(xué)畢業(yè)的起薪均值為2080元，而非大學(xué)畢業(yè)的起薪均值為1440元，前者比后者高出640元(的系數(shù))。最小二乘估計(jì)結(jié)果:2/3/202336山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室因?yàn)檫@種案例實(shí)際上是不同組別的均值比較，可以通過方差分析完成，這種情況的模型又被稱為方差分析模型。該例的excel方差分析結(jié)果如表7-7：組觀測(cè)數(shù)求和平均方差非大學(xué)572001440108000大學(xué)5104002080212000方差分析差異源SSdfMSFP-valueFcrit組間1024000110240006.40.0352655.317655組內(nèi)12800008160000總計(jì)23040009

表7-7excel方差分析輸出結(jié)果2/3/202337山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室2.解釋變量同時(shí)包含常規(guī)數(shù)值變量和虛擬變量的回歸例如，我們認(rèn)為，某個(gè)企業(yè)工人的月工資（y）與工作崗位類型（分為一般崗位和特殊崗位）有關(guān)，也與工作年限（x）有關(guān)?；貧w模型如下：（7.19）其中崗位類型用虛擬變量表示：于是有2/3/202338山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室因而可以看出(7.19)實(shí)際上是兩條截距不同、斜率相同的直線的組合，如圖7-4。這里斜率相同是在模型設(shè)定時(shí)隱含的假定。xy在的假設(shè)下，用t檢驗(yàn)，可以進(jìn)行工作崗位不同狀態(tài)時(shí)月工資是否存在差異的檢驗(yàn)。2/3/202339山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（二）用虛擬變量表示不同斜率的回歸——乘法類型以乘法類型引入虛擬解釋變量，是在所設(shè)定的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中，將虛擬解釋變量與其他解釋變量相乘作為解釋變量，以表示模型中斜率系數(shù)的差異。以乘法類型引入虛擬解釋變量，可以進(jìn)行兩個(gè)回歸模型的比較、進(jìn)行因素間的交互影響分析和提高模型對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的描述精度。1．回歸模型的比較——結(jié)構(gòu)變化檢驗(yàn)以加法類型引入虛擬解釋變量，分類變量僅影響不同類型模型截距項(xiàng)，但是在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，分類變量也可能導(dǎo)致模型的斜率系數(shù)發(fā)生變化。2/3/202340山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例如，隨著可支配收入水平的提高，城鄉(xiāng)居民的消費(fèi)結(jié)構(gòu)將出現(xiàn)較大的差異，這種差異會(huì)表現(xiàn)在分類變量（如城鄉(xiāng)、職業(yè)）對(duì)斜率的影響上。這類問題可歸結(jié)于兩個(gè)回歸模型的比較。例如，在研究城鄉(xiāng)之間儲(chǔ)蓄——收入總量關(guān)系時(shí)，所設(shè)定的模型為：城市：i代表城市居民家庭(7.21)

農(nóng)村：j代表農(nóng)村居民家庭(7.22)

其中，y為儲(chǔ)蓄總額（億元），x為收入總額（億元），

u為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。2/3/202341山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室如果我們分別將式（7.21）和式（7.22）對(duì)不同的人群作回歸，則可能得到以下四種結(jié)果：（1）表明這兩個(gè)回歸模型是相同的，或稱為重合回歸；（2）表明這兩個(gè)回歸模型僅在位置水平上（即截距水平上）存在差異，或稱為平行回歸；（3）表明這兩個(gè)回歸模型具有相同的位置水平（或起點(diǎn)相同）而變化速率不等，或稱為共點(diǎn)回歸；（4）表明這兩個(gè)回歸模型完全不相同，或稱為不同的回歸。2/3/202342山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室以上四種情形可用圖示法描述（見圖7-5）：儲(chǔ)蓄收入11儲(chǔ)蓄收入1（a）重合回歸（b）平行回歸2/3/202343山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室11儲(chǔ)蓄收入

（d）不同的回歸（c）共點(diǎn)回歸11儲(chǔ)蓄收入2/3/202344山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室現(xiàn)在的問題是，當(dāng)我們運(yùn)用樣本數(shù)據(jù)對(duì)模型（7.21）和模型（7.22）進(jìn)行回歸后，如何界定所得結(jié)果在統(tǒng)計(jì)意義上屬于哪一種類型呢？這時(shí)可采用以乘法類型引入虛擬變量的方法，將模型（7.21）和模型（7.22）連接為一個(gè)模型：(7.23)其中，y為儲(chǔ)蓄總額（億元），x為收入總額（億元），

u為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng),D為虛擬變量。顯然在式（7.23）中，以乘法類型引入了虛擬變量所形成的解釋變量為，以加法形式引入虛擬變量所形成的解釋變量是。2/3/202345山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室假如根據(jù)100個(gè)居民家庭調(diào)查數(shù)據(jù)，對(duì)(7.23)式用OLS法估計(jì)得結(jié)果表明，截距和斜率差異系數(shù)、在統(tǒng)計(jì)意義下均為顯著的，說明城鄉(xiāng)之間的儲(chǔ)蓄——收入行為確實(shí)不相同。即農(nóng)村家庭（Di=0):城市家庭（Di=1):即2/3/202346山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室以乘法類型引入虛擬變量作回歸模型的比較和結(jié)構(gòu)變化檢驗(yàn)有一些優(yōu)點(diǎn)：（1）用一個(gè)回歸替代了多個(gè)回歸，簡化了分析過程；（2）可以方便地對(duì)模型結(jié)構(gòu)的差異作各種假設(shè)檢驗(yàn)；（3）合并了的回歸增加了自由度，提高了參數(shù)估計(jì)的精確性。但是，也應(yīng)注意合并后模型的應(yīng)服從基本假定，特別是所比較的方程的方差應(yīng)相同（如城鄉(xiāng)之間），否則會(huì)出現(xiàn)異方差問題，需要用WLS法進(jìn)行校正。

2/3/202347山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室2．交互效應(yīng)分析

當(dāng)分析解釋變量對(duì)被解釋變量的影響時(shí)，不僅要分析解釋變量自身變動(dòng)對(duì)被解釋變量的影響作用，而且還要深入分析解釋變量間的相互作用對(duì)被解釋變量的影響。在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，兩個(gè)分類變量對(duì)被解釋變量的影響可能存在一定的交互作用，即一個(gè)解釋變量的邊際效應(yīng)有時(shí)可能要依賴于另一個(gè)解釋變量。為描述這種交互作用，可以把兩個(gè)虛擬變量的乘積以加法形式引入模型。2/3/202348山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室考慮下列模型：（7.24）其中，為農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益；為農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)投入；為代表油菜籽生產(chǎn)虛擬變量；為代表養(yǎng)蜂生產(chǎn)虛擬變量。

顯然（7.24）式描述了是否發(fā)展油菜籽生產(chǎn)與是否發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)的差異對(duì)農(nóng)副產(chǎn)品總收益的影響。虛擬解釋變量和是以加法類型引入的，那么暗含著假設(shè)：油菜籽生產(chǎn)和養(yǎng)蜂生產(chǎn)是分別獨(dú)立地影響農(nóng)副品生產(chǎn)總收益。2/3/202349山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室在發(fā)展油菜籽生產(chǎn)時(shí)，同時(shí)也發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)，所取得的農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益，可能會(huì)高于不發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)的情況。即在是否發(fā)展油菜籽生產(chǎn)與養(yǎng)蜂生產(chǎn)的虛擬變量和間，很可能存在著一定的交互作用，且這種交互影響對(duì)被解釋變量農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)收益會(huì)有影響。為了描述交互作用對(duì)被解釋變量的效應(yīng)，在（7.24）式中以加法形式引入兩個(gè)虛擬解釋變量的乘積，即（7.25）（7.25）式中各變量的含義與（7.24）式相同。2/3/202350山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室基礎(chǔ)類型：為不發(fā)展油菜籽生產(chǎn)，也不發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)時(shí)農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)的平均總收益

(7.26)對(duì)比類型：為同時(shí)發(fā)展油菜籽生產(chǎn)和養(yǎng)蜂生產(chǎn)時(shí)，農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)的平均總收益（7.27）這里的截距水平由四項(xiàng)組成，其中：為是否發(fā)展油菜籽生產(chǎn)對(duì)農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益的截距差異系數(shù)；為是否發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)對(duì)農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益的截距差異系數(shù)；為同時(shí)發(fā)展油菜籽生產(chǎn)和養(yǎng)蜂生產(chǎn)時(shí)對(duì)農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益的交互效應(yīng)系數(shù)。2/3/202351山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室關(guān)于交互效應(yīng)是否存在，可借助于交互效應(yīng)虛擬解釋變量系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)來加以判斷。如果t檢驗(yàn)表明交互效應(yīng)虛擬變量在統(tǒng)計(jì)意義上是顯著的，則說明交互效應(yīng)對(duì)存在顯著影響。3．分段線性回歸

有的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變動(dòng)，會(huì)在解釋變量達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)發(fā)生突變，為了區(qū)分不同階段的截距和斜率可利用虛擬變量進(jìn)行分段回歸。例如，某公司為了激勵(lì)公司銷售人員，按其銷售額的一定比例計(jì)提獎(jiǎng)勵(lì)，但是銷售額在某一目標(biāo)水平以下和以上時(shí)計(jì)提獎(jiǎng)勵(lì)的方法不同。2/3/202352山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室當(dāng)銷售額高于時(shí)，計(jì)提獎(jiǎng)勵(lì)額與銷售額的比例要高于銷售額低于時(shí)的比例，也就是高于時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)額與銷售額的線性關(guān)系更為陡峭（如圖7-6所示）。為了確切地描述獎(jiǎng)勵(lì)額度(y)與銷售額(x)間的關(guān)系，需要分兩段進(jìn)行回歸。這種分段回歸可以用虛擬變量來實(shí)現(xiàn)。ⅠⅡ0圖7-6獎(jiǎng)勵(lì)額與銷售額的關(guān)系2/3/202353山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室設(shè)虛擬變量D為:則獎(jiǎng)勵(lì)額度()和銷售額()間的關(guān)系式可以統(tǒng)一地表示為：（7.28）為獎(jiǎng)勵(lì)額，為銷售額，為已知的銷售目標(biāo)臨界水平。利用統(tǒng)計(jì)資料估計(jì)（7.28）式的參數(shù)，就可以得到不同斜率和截距的回歸方程：銷售額低于時(shí)：銷售額不低于:2/3/202354山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室是圖7-6中第Ⅰ段回歸直線的斜率，而則是第Ⅱ段回歸直線的斜率。只要檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)顯著性，就可以判斷在所設(shè)定的臨界水平處是否存在著“突變”。應(yīng)當(dāng)注意，在分段回歸中，第一、二段回歸不僅截距不同，而且斜率也不同。在分為兩段回歸時(shí)，使用了一個(gè)虛擬變量，容易推廣，分為k段回歸時(shí)，可用

k

-1個(gè)虛擬變量。2/3/202355山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室三、分類變量表現(xiàn)為多種狀態(tài)上面討論的定性（分類）變量其表現(xiàn)的狀態(tài)僅有兩種情況，如性別僅表現(xiàn)為男性和女性，學(xué)歷僅區(qū)分為“大學(xué)”和“非大學(xué)”。

但有時(shí)分類變量可表現(xiàn)為多種狀態(tài)，如文化程度可區(qū)分為大學(xué)、中學(xué)、小學(xué)、文盲四種狀態(tài)，省份分為東部、中部和西部三種狀態(tài)，等等。

含此類分類變量模型的建立，應(yīng)避免犯以下兩類錯(cuò)誤：第一，設(shè)置一個(gè)虛擬變量，分別用0，1，2，3，…表示其不同的狀態(tài)。此方法缺陷在于，它在設(shè)定模型時(shí)，假定各種狀態(tài)均值之間差量為固定值，這顯然與事實(shí)不符。2/3/202356山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室第二，設(shè)立與狀態(tài)數(shù)相同個(gè)數(shù)的虛擬變量，分別表示各個(gè)不同狀態(tài)。例如文化程度區(qū)分為大學(xué)、中學(xué)、小學(xué)、文盲四種狀態(tài)，如果設(shè)置四個(gè)虛擬變量，即為：

此方法缺陷在于，由于D1+D2+D3+D4=1，如果模型存在常數(shù)項(xiàng)，這會(huì)使得多元回歸模型的自變量觀測(cè)值矩陣X不滿秩，產(chǎn)生完全的多重共線性。這類問題稱為“虛擬變量陷阱”（TrapofDummyVariable）。正確的虛擬變量設(shè)置方法是：如分類變量有k種表現(xiàn)狀態(tài)，可引入(k-1)個(gè)虛擬變量。

2/3/202357山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例7-5科學(xué)家認(rèn)為某種藥用樹種中的藥用成分PDM含量可能隨著植物生長時(shí)間（樹齡）而增加，而且其基礎(chǔ)含量與種植地的地理環(huán)境有關(guān)，但其變化速度與地理環(huán)境無關(guān)。某縣地理單元分為平原、山區(qū)和海島三種。隨機(jī)抽取20棵植株進(jìn)行化驗(yàn)，結(jié)果如表7-8所示。據(jù)此驗(yàn)證上述假說。2/3/202358山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室植株序號(hào)PDM含量（y）樹齡（x）地理單元D1D2D3119.98510平原100232.83912海島001320.5778平原100435.42521山區(qū)010532.83920山區(qū)010631.0005海島001732.94915山區(qū)010836.99816海島001937.10220海島0011024.09230平原1001130.6355海島0011228.60211山區(qū)0101337.77918海島0011435.13522山區(qū)0101520.7363平原1001631.6095海島0011738.05918海島0011838.73029山區(qū)0101922.58819平原1002020.83016平原100表7-8樣本調(diào)查數(shù)據(jù)表2/3/202359山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室以代表樹齡，代表PDM含量，各地理單元植株中PDM含量隨樹齡增長率()相同，但基礎(chǔ)含量()不同。如果設(shè)置三個(gè)地理單元的虛擬變量如下科學(xué)家的假定實(shí)際上可以表述為：平原種植山區(qū)種植海島種植2/3/202360山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室引入地理單元虛擬變量建立如下模型：（7.29)此模型中只引入了代表平原和山區(qū)兩個(gè)地理單元的虛擬變量，分別為和

，代表海島的虛擬變量沒有引進(jìn)。因此有下面的關(guān)系式：即和分別是種植在平原和山區(qū)植株的PDM含量基礎(chǔ)數(shù)值與海島植株相差的數(shù)額。2/3/202361山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室上述模型的估計(jì)結(jié)果如表7