第七章網(wǎng)絡(luò)定理

第七章網(wǎng)絡(luò)定理本章概述線性網(wǎng)絡(luò)的分析方法概括來說分為兩大類。一類是前面我們已經(jīng)討論過的建立網(wǎng)絡(luò)方程的方法，它是網(wǎng)絡(luò)分析的基本方法，通常稱為網(wǎng)絡(luò)方程法。另一類是根據(jù)線性網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)總結(jié)出來的一些網(wǎng)絡(luò)定理求解網(wǎng)絡(luò)的方法，稱為網(wǎng)絡(luò)定理法。本章將要介紹的網(wǎng)絡(luò)定理主要有疊加定理、替代定理、戴維南定理、諾頓定理、互易定理、對偶定理和特勒根定理等?！?－1疊加定理疊加定理所表達(dá)的是線性網(wǎng)絡(luò)的一種基本性質(zhì)，這種基本性質(zhì)表現(xiàn)為線性網(wǎng)絡(luò)的激勵與響應(yīng)之間存在線性關(guān)系。以下圖（a）所示的電路為例來導(dǎo)出疊加定理。如圖（a）所示電路中有兩個(gè)已知的獨(dú)立源uS和iS（激勵），現(xiàn)在要求解電路中R2所在支路電流i2（響應(yīng)）和R1所在支路電壓u1（響應(yīng)）。根據(jù)KCL和KVL列方程即可求得由上述式子可以看出，i2和u1分別都是uS和iS的線性組合。設(shè)顯然，i2

(1)是電壓源uS單獨(dú)作用時(shí)在R2支路產(chǎn)生的電流，如圖(b)所示。

i2(2)是電流源iS單獨(dú)作用時(shí)在R2支路產(chǎn)生的電流，如圖(c)所示。同樣，u1(1)和u1(2)分別是電壓源us與電流源iS單獨(dú)作用時(shí)在R1支路產(chǎn)生的電壓，其中u1(2)表達(dá)式右邊的負(fù)號表明u1(2)與u1的參考方向相反。由上述分析可見對于含有多個(gè)獨(dú)立源的線性網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)KCL和KVL同樣可以證明出上述結(jié)論，即疊加定理，其表述為：

在任何一個(gè)具有唯一解的含若干個(gè)獨(dú)立源的線性網(wǎng)絡(luò)中，任一支路的電流或者電壓等于網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)，在該支路產(chǎn)生的電流或電壓的代數(shù)和。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中含有受控源時(shí)，疊加定理依然適用。受控源的作用反映在回路電流或節(jié)點(diǎn)電壓方程中的自阻與互阻或自導(dǎo)與互導(dǎo)中，因?yàn)槭芸卦床皇羌睿揖哂须娮栊?。所以含受控源網(wǎng)絡(luò)中任一處的電流和電壓仍舊可以按照各獨(dú)立源單獨(dú)作用在該處產(chǎn)生的電流或電壓的疊加計(jì)算，但應(yīng)把受控源保留在原電路之中。應(yīng)用疊加定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)疊加定理只適用于線性網(wǎng)絡(luò)；(2)某個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)，其它獨(dú)立源取零值。即其他獨(dú)立電壓源兩端短路，獨(dú)立電流源兩端開路；(3)受控源不能單獨(dú)作用，當(dāng)令其他獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)，受控源應(yīng)保留在電路中；(4)疊加定理只適用于計(jì)算電壓、電流，求電阻上的功率不能疊加，必須用合成電流、合成電壓計(jì)算；(5)疊加計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意電流、電壓的參考方向。例7－1在本題圖(a)所示電路中，各電阻和各獨(dú)立源均為已知，試用疊加原理求電阻為4Ω支路的電壓U。解(1)當(dāng)5V電壓源單獨(dú)作用時(shí)，這時(shí)電流源應(yīng)開路，見圖(b)，此時(shí)求出的4Ω上的電壓用U'表示。應(yīng)用(b)圖中1Ω與4Ω的分壓關(guān)系可求得(2)當(dāng)6A電流源單獨(dú)作用時(shí)，此時(shí)電壓源應(yīng)短路。見圖(c)，這時(shí)4Ω上的電壓U"可利用1Ω與4Ω的分流關(guān)系求得，即(3)當(dāng)5V電壓源與6A電流源共同作用時(shí)，則U＝U′+U"＝4+4.8＝8.8V例7－2在本例圖(a)所示的電路中，各電阻和各獨(dú)立源以及受控源均為已知，試用疊加原理求20V電壓源所在支路的電流I。解這是一個(gè)含受控源的電路。應(yīng)用疊加原理分析某一獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)受控源仍應(yīng)保留在電路中，且受控源不能單獨(dú)作用。所以(1)當(dāng)20V電壓源單獨(dú)激勵時(shí)，3A電流源應(yīng)該開路，受控源仍保留，見圖(b)。因控制量是I（即待求支路電流）改用I'表示，所以受控源的電壓相應(yīng)地用2I'表示。由KVL即得（1＋2）I'+2

I'＝20

I'＝4A(2)當(dāng)3A電流源單獨(dú)激勵時(shí)，20V電壓源短路，受控源仍保留，見圖(c)。圖中受控源的電壓為2I

"，因?yàn)榭刂屏楷F(xiàn)為I

"。用節(jié)點(diǎn)法求解，選B為參考點(diǎn)，令聯(lián)立上述方程解得

I"＝－0.6A

負(fù)號表示與I"的實(shí)際方向相反。

式中負(fù)號表示UA的參考方向與此時(shí)受控源支路電流的參考方向相反。(3)當(dāng)兩獨(dú)立源同時(shí)激勵時(shí)，則所求支路電流I為

I＝

I′+

I"＝4－0.6＝3.4A

由于線性電阻元件的伏安關(guān)系為一條通過u－i平面上坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，因此在線性電路中，當(dāng)所有激勵（獨(dú)立電壓源與獨(dú)立電流源）都同時(shí)增加或縮小K(K為實(shí)常數(shù))倍時(shí)，其響應(yīng)（電壓和電流）也將同樣增大或縮小K倍。此結(jié)論稱為線性電路的齊性（或齊次）定理。顯然，當(dāng)電路中只有一個(gè)激勵時(shí)，其產(chǎn)生的響應(yīng)與該激勵成正比。應(yīng)用齊性定理求解T形電路很方便。例7－3在本例圖所示T形電路中，電壓源uＳ＝120V，各電阻均為已知，求此T形電路中各支路電流。解各支路電流編號及參考方向如圖所示?，F(xiàn)設(shè)R5電阻支路電流i5′＝1A，則現(xiàn)給定uS＝120V

相當(dāng)于將激勵uS′增大為3.63倍，即K＝3.63。由齊性定理，各支路電流應(yīng)同時(shí)增大為3.63倍，即§7－2替代定理替代定理具有廣泛的應(yīng)用性，無論是線性網(wǎng)絡(luò)還是非線性網(wǎng)絡(luò)都適用。其內(nèi)容可表述如下：一個(gè)具有唯一解的任意網(wǎng)絡(luò)（電路），若某支路的電壓和電流分別為uk和ik，則無論該支路由什么元件組成，只要此支路與其它支路無耦合關(guān)系，則此支路可以用一個(gè)端電壓等于uk的電壓源（極性與原支路的電壓極性相同）或者用一個(gè)電流等于ik的電流源（極性與原支路的電流方向相同）替代，而不影響原電路的工作狀態(tài)（即替代后電路中所有的電壓和電流均保持原值）。替代定理可以用如下實(shí)例證明。圖（a）是一個(gè)具有唯一解的網(wǎng)絡(luò)。可求得各支路的電流分別為i1=2A，i2=1A，i3=1A，u3=8V。現(xiàn)將該網(wǎng)絡(luò)中通有電流i3的支路3分別用uS＝u3＝8V的電壓源或iS＝i3＝1A的電流源替代，替代后的電路如圖（b）或（c）所示。對于圖（b）、（c）所示電路，很容易求得原電路中未被替代部分的電壓和電流均保持不變，仍然有i1＝2A，i2＝1A，說明原電路的工作狀態(tài)沒有改變。例7－4求本例圖（a）所示電路中電阻R的值。解由電流的分流關(guān)系和KCL可求得將IS＝12A的電流源與4Ω電阻的并聯(lián)組合用相應(yīng)的48V電壓源與4Ω電阻的串聯(lián)組合替代。電流IR＝4A的支路用電流為4A的理想電流源替代。8Ω與12Ω電阻的并聯(lián)等效電阻為4.8Ω，則得替代后的電路如圖（b）所示。由此電路，根據(jù)KVL和VCR即可求得

UR＝48－(4＋4.8)×4＝12.8V§7－3戴維南定理和諾頓定理一、戴維南定理

戴維南定理指出：任何一個(gè)線性有源二端電阻性網(wǎng)絡(luò)，對外部電路而言，它可以用一個(gè)獨(dú)立電壓源Uoc和一個(gè)電阻Req的串聯(lián)組合來等效代替[見圖(a)、(b)]。這種等效電壓源串聯(lián)電阻支路稱為戴維南等效電路。這兩個(gè)定理是網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的有力工具，其應(yīng)用很廣。下面分別予以介紹。UocReq其中，等效電壓源的電壓等于原網(wǎng)絡(luò)的開路電壓U0[見圖(c)]，串聯(lián)等效電阻等于將原網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有獨(dú)立源置零后相應(yīng)無源二端網(wǎng)絡(luò)的輸入電阻R0[見圖(d)]。這里所說的“獨(dú)立源置零”是指獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源開路(此定理可應(yīng)用替代定理和疊加定理證明)。Uoc=U0Req=R0顯然，求得有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路以后，要計(jì)算負(fù)載中的電流就非常方便了。如圖(b)可知，負(fù)載電阻RL的電流為

式中Uoc為等效電壓源的電壓，Req為戴維南等效電阻，RL為有源二端網(wǎng)絡(luò)外部的負(fù)載電阻。ReqUoc二、諾頓定理諾頓定理可表述如下：任何一個(gè)線性有源二端電阻性網(wǎng)絡(luò)，對外部電路而言，其可以用一個(gè)獨(dú)立電流源Isc和電導(dǎo)Geq的并聯(lián)組合來等效替代[見圖(a)、(b)]，這種等效電流源并聯(lián)電導(dǎo)的電路稱為諾頓等效電路。IscGeq其中，等效電流源的電流ISC等于原網(wǎng)絡(luò)的短路電流I0，即原網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載為短路時(shí)流過兩個(gè)端點(diǎn)的電流[見圖(c)]。等效電導(dǎo)Geq等于原網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有獨(dú)立源置零后相應(yīng)無源二端網(wǎng)絡(luò)從端口看進(jìn)去的等效電導(dǎo)[見圖(d)]。Isc=I0Geq=G0IscGeq顯然，求得一個(gè)有源二端網(wǎng)絡(luò)的諾頓等效電路以后，要計(jì)算其負(fù)載中的電流就非常容易了。如圖(b)可知，負(fù)載電阻RL中的電流通常將戴維南等效電路和諾頓等效電路統(tǒng)稱為一端口網(wǎng)絡(luò)的等效發(fā)電機(jī)，這兩個(gè)定理也稱為等效發(fā)電機(jī)原理。應(yīng)用戴維南定理和諾頓定理時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)戴維南定理和諾頓定理只適用于線性有源二端網(wǎng)絡(luò)（包括含受控源的線性網(wǎng)絡(luò)）；(2)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)N中某一支路電壓（或電流）時(shí)，應(yīng)斷開(或短路)該待求支路，畫出相應(yīng)的電路，并標(biāo)示出開路電壓UO的極性或短路電流IO的方向，見圖(a)、(b)；U0I0(3)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)N的輸入端電阻R0時(shí)，應(yīng)畫出相應(yīng)的無源網(wǎng)絡(luò)，如圖(c)。輸入端電阻R0的求法有多種方法，如串并聯(lián)法、端口加電源法和短路電流法等。所謂短路電流法就是用圖(a)求得開路電壓UO以后，再由

(b)求得短路電流IO，則網(wǎng)絡(luò)a、b端的輸入電阻；U0I0例7－5在本例圖所示的電路中，電流源IS1＝1A，電壓源US2＝10V，R1＝R2＝2Ω，負(fù)載電阻RL＝20Ω。試用戴維南定理求負(fù)載電流IL。解為便于求解，可以將負(fù)載RL分離后的有源二端網(wǎng)絡(luò)改畫成圖(b)，圖(a)和(b)是完全一樣的電路。由戴維南定理，可得圖(c)。接著用圖(d)可求得二端網(wǎng)絡(luò)的等效電壓源為Uoc＝Uo＝US2+IS1R2＝10+1×2＝12VReqUocUoc由圖(e)可求得等效電壓源的串聯(lián)電阻為

Req＝R0＝R2＝2Ω由圖(c)可求得負(fù)載電流為UocUocReq例7－6試用諾頓定理求圖(a)所示電路的負(fù)載電流IL。解為便于求解，依然將負(fù)載RL分離后的有源二端網(wǎng)絡(luò)改畫成右圖(a)。由諾頓定理可得等效電路圖(b)。接著由圖(c)可求得等效電流源的ISC為注意：ISC是電流，其方向指向節(jié)點(diǎn)a。ISCGeq接著由圖(d)可求得等效電導(dǎo)為由圖(b)可求得ISCGeq例7－7求本例圖所示一端口網(wǎng)絡(luò)的等效發(fā)電機(jī)。解此題由諾頓定理求解非常容易。將圖(a)中的1－1′短路，則得等效電流源的電流為負(fù)號表示iSC

的實(shí)際方向與參考方向相反。將此一端口線性網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有獨(dú)立源置零后，可求得諾頓等效電路的電導(dǎo)Geq,它等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)三個(gè)電導(dǎo)之和，即則相應(yīng)的等效電阻為于是可得諾頓等效電路如例7－7圖(b)所示。例7－8在本例圖所示的含源一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部，有一電流控制電流源ic＝0.75i1,試求該一端口網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路和諾頓等效電路。對網(wǎng)孔1列KVL方程，得5×103×i1＋20×103×i2＝40解（1）先求開路電壓uoc。當(dāng)端口1－1′開路時(shí)見圖(a)，由KCL有代入i2=1.75

i1，可求得

i1＝1.0mAi2＝1.75mA則開路電壓uoc＝20×103×i2＝35V(2)求短路電流當(dāng)端口1－1′短路時(shí)見圖(b)。此時(shí)由KCL，且注意到20KΩ電阻支路兩端亦為短路，可求得短路電流為

isc＝i1+ic＝1.75i1＝1.75×8＝14mA則戴維南等效電路電阻為于是得戴維南等效電路和諾頓等效電路分別如圖(c)和(d)所示。§7－4互易定理互易定理概括地說，是指線性無任何電源（獨(dú)立源和受控源）的網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)只有一個(gè)激勵源對其作用時(shí)，該激勵與其在另一支路中引起的響應(yīng)可以等值地相互易換位置。此結(jié)論稱之為互易定理，也稱為互易性。它說明了線性無源網(wǎng)絡(luò)傳輸信號的雙向性或可逆性，即從甲方向乙方傳輸?shù)男Ч?，與從乙方向甲方傳輸?shù)男Ч耆嗤?。互易定理有三種基本形式?；ヒ锥ɡ?在圖(a)所示的線性無任何電源的電阻性網(wǎng)絡(luò)N的輸入端之間接入電壓源uS(t)，并測出輸出端之間短路導(dǎo)線中產(chǎn)生的電流響應(yīng)i2(t)。然后把相同的電壓源uS(t)易換位置接入輸出端口之間，用表示，并測出其在之間短路導(dǎo)線中產(chǎn)生的電流響應(yīng)，見圖(b)?？梢宰C明，不管該網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)如何，總有如下關(guān)系成立，即 ，因11′11′22′22′2′2′則互易定理2在圖(a)所示的線性無任何電源的電阻性網(wǎng)絡(luò)N的輸入端之間接入電流源iS(t)，并測出輸出端之間開路電壓響應(yīng)u2(t)。然后把相同的電流源iS(t)易換位置接入輸出端口之間，用表示，并測出其在之間產(chǎn)生的開路電壓響應(yīng)，見圖(b)?？梢宰C明，不管該網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)如何，總有如下關(guān)系成立，即，因，則11′11′22′22′2′2′互易定理3在圖(a)所示的線性無任何電源的電阻性網(wǎng)絡(luò)N的輸入端之間接入電流源iS（t），并測出輸出端短路導(dǎo)線中的電流響i2（t）。應(yīng)然后在之間接入電壓源uS（t），并測出之間的開路電壓響應(yīng)，見圖(b)?？梢宰C明，不管該網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)如何，總有成立。如果和在數(shù)值上相等，即則在數(shù)值上也必然相等，即11′22′11′22′2′2′

互易定理的應(yīng)用是有條件的，即要求網(wǎng)絡(luò)的回路電流方程組（或節(jié)點(diǎn)電壓方程組）中的系數(shù)行列式為對稱行列式。此條件決定于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，稱為互易條件，滿足互易定理的網(wǎng)絡(luò)稱為互易網(wǎng)絡(luò)（或雙向網(wǎng)絡(luò)）。應(yīng)用互易定理求解電路時(shí)，首先應(yīng)分析電路是否滿足互易條件。直接應(yīng)用互易定理求解電路的方法，僅限于只有一個(gè)獨(dú)立源激勵的情況。并且要注意網(wǎng)絡(luò)的激勵與響應(yīng)位置互換時(shí)，兩者的方向關(guān)系。例7－9在本例圖(a)所示的電路中，試求標(biāo)定的支路電流I。解此題電路為互易網(wǎng)絡(luò)，由互易定理1，可將36V的激勵電壓源移至待求電流I的支路中，即把電流I支路的導(dǎo)線剪斷形成一個(gè)端口接入36V的激勵電壓源，它在其原支路兩端產(chǎn)生的短路電流為I',如圖(b)。由互易定理1可知I＝I'?，F(xiàn)在對圖(b)求短路電流I’。應(yīng)用電阻串并聯(lián)關(guān)系和電流分流原理可求得由KCL可知

I'＝I2－I3＝1A

I＝I'＝1A§7－5對偶原理如圖(a)為n個(gè)電阻的串聯(lián)電路，圖(b)為n個(gè)電導(dǎo)的并聯(lián)電路。對圖(a)有對圖(b)有在上述兩組關(guān)系式中，若將對應(yīng)的參數(shù)、變量和相應(yīng)的電路結(jié)構(gòu)進(jìn)行互換，即R與G互換，u與i互換，串聯(lián)與并聯(lián)互換，則上述兩組關(guān)系式可以彼此互換。即在兩組關(guān)系式中，其數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式完全相同，所不同的僅僅是式中的文字和符號，并且兩組關(guān)系中的各元素都屬于電路系統(tǒng)。這樣兩個(gè)通過對應(yīng)元素互換能夠彼此轉(zhuǎn)換的關(guān)系式稱為對偶關(guān)系式。關(guān)系式中能互換的對應(yīng)元素稱為對偶元素。符合對偶關(guān)系式的兩個(gè)電路相互稱為對偶電路。由此可歸納出電路的對偶原理，其表述為：

如果將一個(gè)網(wǎng)絡(luò)N的關(guān)系式中各元素用它的對偶元素對應(yīng)地置換后，所得到的新關(guān)系式一定滿足與該網(wǎng)絡(luò)相對偶的網(wǎng)絡(luò),或者說，若兩個(gè)電路對偶且對偶元件參數(shù)的數(shù)值相等，則兩者對偶變量的關(guān)系式（方程）及對偶變量的值（響應(yīng)）一定完全相同。如圖(a)和(b)所示的兩個(gè)平面電路N和。根據(jù)元件和電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以看出，兩電路為對偶電路。對網(wǎng)路N，標(biāo)定各網(wǎng)孔電流為順時(shí)針方向，則其網(wǎng)孔電流方程為若將上述方程中的各元素變成與其對偶的相應(yīng)元素后，即得下面一組方程式顯然，此方程組恰好是對偶網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電壓方程式。這說明對偶原理的正確性。對偶原理的內(nèi)容十分豐富。其應(yīng)用價(jià)值在于，若已知原網(wǎng)絡(luò)的電路方程及其解答，則可根據(jù)對偶關(guān)系直接寫出其對偶網(wǎng)絡(luò)的電路方程及其解