第三章測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理

第三章測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理

測(cè)量誤差的概念測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析誤差傳遞原理測(cè)量數(shù)據(jù)處理安全檢測(cè)的質(zhì)量控制第一節(jié)測(cè)量誤差的概念

測(cè)量是一個(gè)變換、選擇、放大、比較、顯示諸功能的綜合作用，又是一個(gè)對(duì)比、示差、平衡、讀數(shù)的比較過(guò)程。作為測(cè)量者的主觀愿望，總是力求測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真實(shí)值盡量接近。但由于客觀與主觀諸多因素影響，使得測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真實(shí)值之間總存在一個(gè)或大或小的差值，稱(chēng)之為測(cè)量真誤差，或簡(jiǎn)稱(chēng)差。第一節(jié)測(cè)量誤差的概念

真實(shí)值與測(cè)得值

真實(shí)值是指某一被測(cè)量在一定條件下客觀存在的、也就是實(shí)際具備的量值。嚴(yán)格講：由于測(cè)量誤差的普遍存在，若想通過(guò)測(cè)量得到某被測(cè)量的真實(shí)值是不可能的。通過(guò)測(cè)量得到的只能是真實(shí)值的近似值。但在實(shí)際工作中可把下面三種量值看作是真實(shí)值。

真實(shí)值第一節(jié)測(cè)量誤差的概念

真實(shí)值與測(cè)得值

（1）真值(A0)

真值也稱(chēng)為理論值、理論真值或定義值，即根據(jù)一定的理論，在嚴(yán)格的條件下，按定義確定的數(shù)值。在實(shí)際測(cè)量中這種值是測(cè)不到的，但這種值又確實(shí)存在。（2）指定值(As)

指定值又稱(chēng)約定真值、相對(duì)真值或代替真值。由于被測(cè)量的真值不能通過(guò)測(cè)量得到。為解決測(cè)量中的真值問(wèn)題，只能用約定的辦法術(shù)來(lái)確定真值。

（3）傳遞值(A)

由于指定值(As)的獲得比較困難，而在實(shí)際測(cè)量中對(duì)測(cè)量結(jié)果的精度要求又不是那樣高，因此在滿足實(shí)際需要的前提下，相對(duì)于實(shí)際測(cè)量所考慮的精度，其測(cè)量誤差可以忽略的測(cè)量結(jié)果，稱(chēng)為傳遞值或稱(chēng)實(shí)際值。

以上三種值，就是在理論研究和科技工作中所能遇到的、可認(rèn)為是被測(cè)量真實(shí)值的數(shù)值。第一節(jié)測(cè)量誤差的概念

真實(shí)值與測(cè)得值

測(cè)得值包括通過(guò)各種實(shí)驗(yàn)所得到的量值，其來(lái)源多是測(cè)量?jī)x器或各種測(cè)量裝置的讀數(shù)和指示值，由于測(cè)量過(guò)程中普遍存在著測(cè)量誤差，所以測(cè)得值都是被測(cè)量真值的近似值。對(duì)一般測(cè)量，可直接把測(cè)得值作為測(cè)量結(jié)果表示出來(lái)。對(duì)于精密測(cè)量，則應(yīng)根據(jù)誤差理論及有關(guān)知識(shí)對(duì)測(cè)得值進(jìn)行加工整理，然后才能給出合理的測(cè)量結(jié)果。只有這樣，才能充分利用所具備的測(cè)量條件，得到比較精確的測(cè)量結(jié)果。測(cè)得值

常用的把測(cè)得值作為測(cè)量結(jié)果的表示方法單次測(cè)得值算術(shù)平均值

真實(shí)值與測(cè)得值

第一節(jié)測(cè)量誤差的概念

加權(quán)平均值

中位值

眾值

幾何平均值方均根平均值測(cè)量誤差主要來(lái)自兩個(gè)方面的原因：(1)在測(cè)量過(guò)程中產(chǎn)生的誤差(2)在處理測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)產(chǎn)生的誤差

測(cè)量誤差的來(lái)源第一節(jié)測(cè)量誤差的概念

（1）在測(cè)量過(guò)程中產(chǎn)生的誤差測(cè)量誤差的來(lái)源第一節(jié)測(cè)量誤差的概念

①方法誤差

②裝置誤差

③環(huán)境誤差

④主觀誤差

上述四種測(cè)量誤差的來(lái)源是從參加測(cè)量的四個(gè)環(huán)節(jié)，即人員、設(shè)備、方法和條件概括出來(lái)的。

（2）在處理測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)產(chǎn)生的誤差

測(cè)量誤差的來(lái)源第一節(jié)測(cè)量誤差的概念

①有效數(shù)字的化整誤差

②利用各種數(shù)學(xué)常數(shù)引起的誤差如，＝3．141593…e＝2．71828…

③利用各種近似計(jì)算帶來(lái)的誤差，例如

④利用各種物理常數(shù)產(chǎn)生的誤差

例如，物質(zhì)的密度、粘度、導(dǎo)熱系數(shù)、熱膨脹系數(shù)、特種導(dǎo)體的電阻率、光學(xué)材料的折射率等。

（1）按誤差的表達(dá)式劃分——絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差

①絕對(duì)誤差誤差的分類(lèi)第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

測(cè)試誤差絕對(duì)值的大小，表明了測(cè)試的精確度。誤差的絕對(duì)值越大，則測(cè)試的精度越低；絕對(duì)值越小，精度越高。因此，在測(cè)試過(guò)程中如何設(shè)法盡量使測(cè)試誤差減至最小，是提高涸試精確度主要考慮的問(wèn)題。

②相對(duì)誤差，相對(duì)誤差是絕對(duì)測(cè)量誤差與被測(cè)量真值的比值對(duì)測(cè)試裝置的相對(duì)誤差常用示值誤差與示值范圍(即滿刻度值)的比值來(lái)表示。如某電感式測(cè)微儀，具有四擋，其示值范圍分別為：±100m、±30m、±10m、±3m，如果其示值的絕對(duì)誤差相應(yīng)為±2m、±0.6m、±0.2m、±0.06m，則其相對(duì)示值誤差均為2％。（2）按誤差出現(xiàn)的規(guī)律劃分—系統(tǒng)誤差、漸變誤差、隨機(jī)誤差與粗大誤差

①系統(tǒng)誤差

誤差的分類(lèi)第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

系統(tǒng)誤差是測(cè)量系統(tǒng)本身固有的。是由其構(gòu)造因素所決定的。

②漸變誤差隨著時(shí)間緩慢變化的測(cè)試誤差稱(chēng)為漸變誤差。由于存在漸變誤差，故必須對(duì)各種儀器及傳感器作定期的檢定和校正。

③隨機(jī)誤差

在一定的測(cè)試條件下，對(duì)某一參數(shù)進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，所得各次測(cè)定值的誤差沒(méi)有確定的規(guī)律，其符號(hào)和數(shù)值大小均不定，這種誤差稱(chēng)為隨機(jī)誤差，又稱(chēng)偶然誤差。④粗大誤差

粗大誤差亦稱(chēng)過(guò)失誤差(或反常誤差)，它是由于某種過(guò)失引起的明顯與實(shí)際不符的誤差。（3）按使用條件劃分—基本誤差與附加誤差

①基本誤差

誤差的分類(lèi)第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

儀器或傳感器在標(biāo)準(zhǔn)條件下使用時(shí)所具有的誤差稱(chēng)為基本誤差，它后于系統(tǒng)誤差。其標(biāo)準(zhǔn)條件由國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或企業(yè)標(biāo)準(zhǔn)明確規(guī)定，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)條件(例如：溫度為20℃±0．5℃，電源電壓為220V±50％，相對(duì)濕度小于80％等等)。②附加誤差

當(dāng)使用條件偏離標(biāo)準(zhǔn)條件時(shí)，儀器或傳感器必然在基本誤差的基礎(chǔ)上增加新的系統(tǒng)誤差，稱(chēng)為附加誤差。

（4）按被測(cè)量速度劃分－靜態(tài)誤差與動(dòng)態(tài)誤差①靜態(tài)誤差

誤差的分類(lèi)第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

當(dāng)被測(cè)量穩(wěn)定且不隨時(shí)間變化時(shí)的測(cè)試誤差稱(chēng)為靜態(tài)誤差。②動(dòng)態(tài)誤差

在被測(cè)量隨時(shí)間而變化的過(guò)程中所產(chǎn)生的附加誤差稱(chēng)為動(dòng)態(tài)誤差。

研究誤差的目的①分析誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，并采取相應(yīng)的措施，以便從根源上消除誤差，或?qū)⒄`差減小到最低限度。誤差的分類(lèi)第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

②正確計(jì)算和處理各種測(cè)量數(shù)據(jù)，盡可能提高測(cè)量結(jié)果的精確度。正確表達(dá)測(cè)量結(jié)果以適應(yīng)各方面的需求和交流。

③合理地安排測(cè)量過(guò)程，正確地設(shè)計(jì)或選用計(jì)量器具和測(cè)量方法，以求在滿足測(cè)量精度要求的前提下，提高測(cè)量效率，降低測(cè)量成本。⑴隨機(jī)誤差①對(duì)稱(chēng)性絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。即當(dāng)測(cè)量次數(shù)n相當(dāng)大時(shí)，絕對(duì)值相等符號(hào)相反的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同。

誤差理論分析

第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

②有界性絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率為零。即在一定的條件下，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)某一界限。

③單峰性絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大于絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率。絕對(duì)值小的誤差較絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。

1）隨機(jī)誤差所遵循的統(tǒng)計(jì)特征④抵償性隨著測(cè)量次數(shù)n的增加，隨機(jī)誤差代數(shù)和趨于零。

2）隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律凡是符合隨機(jī)誤差四條特征的隨機(jī)誤差，都服從高斯(正態(tài))分布定律。⑵系統(tǒng)誤差

①不變的系統(tǒng)誤差(恒系差)不變的系統(tǒng)誤差就是指在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的符號(hào)和大小都是固定不變的誤差。

誤差理論分析

第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

②線性變化的系統(tǒng)誤差在測(cè)量過(guò)程中，隨某些影響因素(如測(cè)量次數(shù)或測(cè)量時(shí)間)的變化，誤差值也成比例增大或減小的系統(tǒng)誤差稱(chēng)線性變化的系統(tǒng)誤差，也稱(chēng)累進(jìn)系統(tǒng)誤差。

③周期性變化的系統(tǒng)誤差

在測(cè)量過(guò)程中，隨著測(cè)量值或測(cè)量時(shí)間的變化，以差值呈現(xiàn)周期性變化的系統(tǒng)誤差皆屬周期性變化的系統(tǒng)誤差。

1）系統(tǒng)誤差的性質(zhì)和分類(lèi)

④

復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差除前述三種比較典型的系統(tǒng)誤差變化規(guī)律外，其它都可用復(fù)雜規(guī)律變化來(lái)概括。

①實(shí)驗(yàn)對(duì)比法

實(shí)驗(yàn)對(duì)比法是通過(guò)改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素或條件進(jìn)行不同條件或不同方法的測(cè)量來(lái)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的存在。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的(或稱(chēng)恒定的)系統(tǒng)誤差。它也是發(fā)現(xiàn)恒定系差最根本的方法。

誤差理論分析

第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

②發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法還有：剩余誤差觀察法；剩余誤差效核法等。

2）發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的簡(jiǎn)單方法

①?gòu)漠a(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源上消除系統(tǒng)誤差

誤差理論分析

第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

②利用修正值C消除系統(tǒng)誤差

③幾種消除系統(tǒng)誤差的典型方法

a.置換法(代替法)b.零示法c.抵消法

d.補(bǔ)償法

e.交換法(對(duì)置法)

f.對(duì)稱(chēng)觀察法

g.半周期觀察法

3）消除或削弱系統(tǒng)誤差的方法

⑶誤差合成分項(xiàng)誤差是指在研究測(cè)量誤差對(duì)最后測(cè)量結(jié)果的影響時(shí)，根據(jù)需要與可能而確定的單獨(dú)某一因素或環(huán)節(jié)的影響而產(chǎn)生的測(cè)量誤差。

誤差理論分析

第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

分項(xiàng)誤差是總誤差的一個(gè)分量，而總誤差是受許多因素影響而構(gòu)成的。

誤差的合成，也稱(chēng)誤差的綜合，它是解決如何根據(jù)各分項(xiàng)(單項(xiàng))誤差來(lái)評(píng)定最后測(cè)量結(jié)果的誤差。

2）誤差所遵循分布規(guī)律的確定對(duì)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律的測(cè)量誤差，即隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，只有掌握它所遵循的統(tǒng)計(jì)規(guī)律才能對(duì)它進(jìn)行研究。

誤差理論分析

第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

3）各分項(xiàng)誤差間相關(guān)程度的確定在對(duì)各分項(xiàng)誤差進(jìn)行合成時(shí)，必須考慮各分項(xiàng)誤差之間是否相互獨(dú)立問(wèn)題。4）分項(xiàng)誤差的劃分及項(xiàng)數(shù)的確定從不同的角度或按不同的原則劃分出各分項(xiàng)誤差，得到不同的項(xiàng)數(shù)。

1）誤差性質(zhì)的確定根據(jù)測(cè)量誤差的性質(zhì)可把誤差分為系統(tǒng)誤差，隨機(jī)誤差和粗大誤差。

隨機(jī)誤差的合成誤差理論分析

第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

①利用誤差傳遞定律合成

利用誤差傳遞定律對(duì)分項(xiàng)隨機(jī)誤差進(jìn)行合成，各分項(xiàng)隨機(jī)誤差應(yīng)滿足：分項(xiàng)誤差所遵循的統(tǒng)計(jì)規(guī)律可用正態(tài)分布規(guī)律來(lái)描述；各環(huán)節(jié)或各種因素構(gòu)成的分項(xiàng)誤差是相互獨(dú)立的，各環(huán)節(jié)或各種因素的取值與最后測(cè)量的函數(shù)關(guān)系為己知，即

②利用隨機(jī)變量方差合成原理合成

對(duì)于要進(jìn)行合成的各分項(xiàng)隨機(jī)誤差，若能用最后測(cè)量結(jié)果的相同單位表示其大?。ㄈ粲貌煌瑔挝粍t用無(wú)單位的相對(duì)值表示，但作為比較標(biāo)準(zhǔn)的固定值，數(shù)值過(guò)小時(shí)應(yīng)慎重對(duì)待），各分項(xiàng)隨機(jī)誤差可按線性求和的關(guān)系考慮時(shí)，則最后合成的綜合誤差可按隨機(jī)變量求和后的方差來(lái)進(jìn)行誤差合成，最后求出其均方根差（即標(biāo)準(zhǔn)誤差）。

系統(tǒng)誤差的合成誤差理論分析

第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

①已定系統(tǒng)誤差的合成無(wú)論是不變的系統(tǒng)誤差還是按線性規(guī)律、周期性規(guī)律和復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差，都應(yīng)出用代數(shù)和的方法計(jì)算其合成誤差。即②未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差系指測(cè)量誤差既具有系統(tǒng)誤差可知的一面，又具有不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)誤差一面。對(duì)未定系統(tǒng)誤差可用下述幾種方法合成。a.絕對(duì)和法b.方和根法c.廣義方和根法⑷誤差合成誤差理論分析

第二節(jié)測(cè)量誤差分類(lèi)和誤差理論分析

把影響最后測(cè)量結(jié)果的所有隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的權(quán)限誤差進(jìn)行合成，就可得到最后測(cè)量結(jié)果的綜合極限誤差，或稱(chēng)最后測(cè)量結(jié)果的綜合不確定度。設(shè)影響最后測(cè)量結(jié)果的有：含有r項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差：m項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差和n項(xiàng)隨機(jī)誤差則最后測(cè)量結(jié)果的綜合極限誤差U可按下式計(jì)算在日常工作中遇到的大量測(cè)量都是間接測(cè)量。即被測(cè)量需通過(guò)許多直接測(cè)量的結(jié)果，經(jīng)過(guò)一定關(guān)系的組合才能得到。如何根據(jù)各直接測(cè)得量的測(cè)量誤差來(lái)評(píng)定組合后的誤差；或總的精度要求為己知，在滿足總要求的前提下，如何解決組合內(nèi)部直接測(cè)得量誤差的合理分配問(wèn)題，都是誤差傳遞理論所要解決的問(wèn)題。誤差傳遞理論實(shí)質(zhì)上就是解決間接測(cè)量結(jié)果的誤差評(píng)定所需的理論。作為間接測(cè)量最后測(cè)量結(jié)果的最佳表達(dá)式也應(yīng)當(dāng)由兩部分組成。即測(cè)量結(jié)果及相應(yīng)的精度參數(shù)兩部分第三節(jié)誤差傳遞原理

通過(guò)各種實(shí)驗(yàn)和測(cè)量得到數(shù)據(jù)，并不是工作的完結(jié)，還需對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

根據(jù)數(shù)字占有的位數(shù)是否有效，可把數(shù)分為兩大類(lèi)：有效位數(shù)為無(wú)限的數(shù)，如1/3，等

第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

有效位數(shù)為有限的數(shù)

23

23.00

不考慮測(cè)量誤差，單從有效數(shù)字來(lái)考慮，在數(shù)學(xué)上23與23.00兩個(gè)數(shù)是相等的。而作為表示測(cè)量結(jié)果的數(shù)值，兩者相差是很懸殊的。用23表示的測(cè)量結(jié)果，其誤差可能為±0.5；而23.00表示的測(cè)量結(jié)果，其誤差可能是±0.005。

有效數(shù)字的概念

由數(shù)字組成的一個(gè)數(shù)，除最末一位數(shù)字是不確切值或可疑值外，其它數(shù)字皆為可靠值或確切值，則組成該數(shù)的所有數(shù)字包括末值數(shù)字稱(chēng)為有效數(shù)字，除有效數(shù)字外其余數(shù)字為多余數(shù)字。

第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

整數(shù)前面的“0”無(wú)意義，是多余數(shù)字。對(duì)純小數(shù)，在小數(shù)點(diǎn)后，數(shù)字前的“0”因只起定位，決定數(shù)量級(jí)的作用(相當(dāng)于所取的測(cè)量單位不同)，所以，也是多余數(shù)字。處于數(shù)中間位置的“0”是有效數(shù)字。處于數(shù)后面位置的“0”是否算有效數(shù)字可分三種情況：數(shù)后面的“0”，若把多余數(shù)字的“0”用10的乘冪來(lái)表示，使其與有效數(shù)字分開(kāi)。這樣在10的乘冪前面所有數(shù)字包括”0“皆為有效數(shù)字。作為測(cè)量結(jié)果并注明誤差值，其表示的數(shù)值等于或大于誤差值的所有數(shù)子，包括“0”皆為有效數(shù)字。有效數(shù)字的概念

一個(gè)數(shù)，有效數(shù)字占有的位數(shù)，即有效數(shù)字的個(gè)數(shù)，為該數(shù)的有效位數(shù)。

第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

00713，0.0715，703，7.03×103，這四個(gè)數(shù)的有效位數(shù)皆為3，有效數(shù)字都是3個(gè)。

⑴對(duì)不需要標(biāo)明誤差的數(shù)據(jù)，其有效位數(shù)應(yīng)取到最末一位數(shù)字為可疑數(shù)字(也稱(chēng)不確切或參考數(shù)字)。⑵對(duì)需要標(biāo)明誤差的數(shù)據(jù)，其有效位數(shù)應(yīng)取到與誤差同一數(shù)量級(jí)。有效位數(shù)的判定準(zhǔn)則

第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

⑶

測(cè)量誤差的有效位數(shù)應(yīng)按以下四條準(zhǔn)則判定：

①

一般情況下，只取一位有效數(shù)字；②

對(duì)重要的或是比較精密的測(cè)量；處于中間計(jì)算過(guò)程的誤差；為避免化整誤差過(guò)大，表示誤差的第一個(gè)數(shù)字為l或2時(shí)，應(yīng)取三位有效數(shù)字；③

在進(jìn)行誤差計(jì)算過(guò)程中，為使最后計(jì)算結(jié)果可靠最多取三位方效數(shù)字；④

根據(jù)需要有時(shí)應(yīng)計(jì)算誤差的誤差，則誤差的誤差皆取一位有效數(shù)字，而誤差的有效位數(shù)應(yīng)取到誤差的誤差相同數(shù)量級(jí)。

有效位數(shù)的判定準(zhǔn)則

第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

⑷

算術(shù)平均值的有效位效應(yīng)取到與所標(biāo)注的誤差同一數(shù)量級(jí)；用算術(shù)平均值計(jì)算出的剩余誤差大部分具有二位，對(duì)特別精密測(cè)量可有三位有效數(shù)字；因計(jì)算和化整所引起的誤差，不應(yīng)超過(guò)最后一位有效數(shù)字的一個(gè)單位。

有效位數(shù)的判定準(zhǔn)則

第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

⑸

在各種運(yùn)算中，數(shù)據(jù)的有效位數(shù)判定準(zhǔn)則是：①

對(duì)多項(xiàng)數(shù)值的加、減運(yùn)算，應(yīng)以數(shù)據(jù)中有效數(shù)字末位數(shù)值最大者為準(zhǔn)，其余各數(shù)均向后多取一位，項(xiàng)數(shù)過(guò)多可項(xiàng)后向后多取二位有效數(shù)字。②在幾個(gè)數(shù)進(jìn)行乘、除運(yùn)算時(shí)，應(yīng)取數(shù)據(jù)中有效數(shù)字個(gè)數(shù)最少者為準(zhǔn)，其余各數(shù)和所得的積或商皆多取一位有效數(shù)字。③

在對(duì)一個(gè)數(shù)進(jìn)行開(kāi)方或乘方運(yùn)算時(shí)，所得結(jié)果可比原數(shù)多取一位有效數(shù)字。④

在進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)，所取對(duì)數(shù)的位數(shù)應(yīng)與真數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)相等。

有效位數(shù)的判定準(zhǔn)則

第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

⑹

常用數(shù)表的有效位數(shù)判定準(zhǔn)則是：用對(duì)數(shù)表進(jìn)行運(yùn)算,n位有效數(shù)字?jǐn)?shù)值應(yīng)該用n位對(duì)數(shù)據(jù)計(jì)算。

有效位數(shù)的判定準(zhǔn)則

第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

⑴

在整數(shù)后面經(jīng)判定有多余數(shù)字，則舍棄多余數(shù)字用“0”來(lái)代替，而這些“0”用10的乘冪來(lái)表示。若為帶小數(shù)的數(shù)或小數(shù)，則只舍棄多余數(shù)字。⑵若判定應(yīng)舍棄數(shù)字的第一位數(shù)字小于“5”則舍棄(即4舍)。⑶若判定應(yīng)舍棄數(shù)字的第一位數(shù)字大于“5”則進(jìn)l，即把保留的末位數(shù)字加1(即6入)。⑷若判定應(yīng)舍棄的第一位數(shù)字正好是“5。則要分情況區(qū)別對(duì)待：①若“5”后面的數(shù)字不是“0”，則把“5”舍棄應(yīng)進(jìn)1。②若“5‘后面的數(shù)字是“0”，則要看保留的有效數(shù)字是奇數(shù)還是偶數(shù)；若為奇數(shù)則舍棄“5”進(jìn)1，使有效數(shù)字末位成偶數(shù)；若為偶數(shù)則舍“5”不進(jìn)1，使有效數(shù)字本位仍為偶數(shù)。也就是說(shuō)，應(yīng)舍棄數(shù)字的第一個(gè)數(shù)完全處于臨界，則采取湊偶原則。③若在“5”后面沒(méi)有數(shù)字，則按湊偶原則處理。⑸在某些特殊情況下，所處理的數(shù)據(jù)多余數(shù)字的第一個(gè)數(shù)字是“5”的數(shù)值過(guò)多，可不按湊偶原則來(lái)處理。而采用一半的數(shù)值進(jìn)1，另一半只舍不進(jìn)的辦法。這樣可避免造成舍入誤差(或稱(chēng)湊整誤差)，即因數(shù)值化整而造成的誤差過(guò)大。

有效數(shù)字的化整原則

第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

數(shù)字化整誤差的計(jì)算公式

設(shè)將數(shù)值A(chǔ)經(jīng)化整得一個(gè)由n個(gè)有效數(shù)字k1k2kn組成的近似值a。則a為化整后的極限誤差例如，有效數(shù)為39.78。則m=1，n=4，所以此有效數(shù)的舍入誤差的絕對(duì)根據(jù)相對(duì)誤差的定義，舍入誤差的相對(duì)誤差為數(shù)值化整后的誤差第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

含有粗大誤差的測(cè)得值稱(chēng)可疑值(亦稱(chēng)壞值)。因?yàn)樵跍y(cè)量中若產(chǎn)生粗大誤差，就會(huì)嚴(yán)重影響和歪曲測(cè)得值，使測(cè)得值失去可靠性和使用價(jià)值。所以，對(duì)粗大誤差的處理問(wèn)題。也就是設(shè)法從測(cè)量數(shù)據(jù)中剔除可疑值的問(wèn)題。若不設(shè)法消除可疑值，就會(huì)影響測(cè)量結(jié)果的正確性，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)贸鲥e(cuò)誤的結(jié)論?？梢蓴?shù)據(jù)的剔除第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

（1）在測(cè)量過(guò)程中剔除可疑值

在進(jìn)行測(cè)量中若發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，能作到隨時(shí)發(fā)現(xiàn)、及時(shí)處理，是剔除可疑值的最理想辦法。

①

進(jìn)行補(bǔ)充測(cè)量處理在測(cè)量過(guò)程個(gè)由于疏忽和失誤，在測(cè)量?jī)x器的操作、讀值、記錄和計(jì)算等環(huán)節(jié)造成差錯(cuò)，而造成疏失誤差。這樣在測(cè)量過(guò)程中發(fā)現(xiàn)異常測(cè)得值，應(yīng)及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充測(cè)量。根據(jù)補(bǔ)充測(cè)量的結(jié)果能夠判定是疏失誤差造成的可疑值時(shí)，則可把可疑值及時(shí)剔除。②利用校核性測(cè)量處理對(duì)于在測(cè)量過(guò)程中因疏失原因造成的疏失誤差或因瞬變系差(如電源電壓的波動(dòng)，機(jī)械性的沖擊或振動(dòng))造成的疏失誤差，很容易用補(bǔ)充測(cè)量法確認(rèn)疏失誤差的存在(也可能在進(jìn)行補(bǔ)充測(cè)量時(shí)干擾已消除)。③

對(duì)粗大誤差的處理在測(cè)量過(guò)程中雖然經(jīng)過(guò)補(bǔ)充測(cè)量和校核測(cè)量，仍然找不到判定可疑值的依據(jù)時(shí)，也就是在現(xiàn)有的測(cè)量條件下找不出確切的原因時(shí)，則對(duì)異常測(cè)量值(比一般數(shù)據(jù)偏大或偏小)不能輕易的剔除。在這種情況下，就認(rèn)為是粗大誤差對(duì)測(cè)得值影響的結(jié)果。

可疑數(shù)據(jù)的剔除第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

（2）粗大誤差判別準(zhǔn)則

對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)由于各種原因若提不出任何剔除可疑值的依據(jù)時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)中的異常值只有利用粗大誤差判別準(zhǔn)則來(lái)判斷剔除與否。粗大誤差判別準(zhǔn)則，就是依據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理，在—些人為的假設(shè)條件下，確立的一些標(biāo)淮，來(lái)作為對(duì)異常值的取舍判斷原則。顯然，利用粗大誤差判別準(zhǔn)則對(duì)異常值做出的取合判斷，其可靠性不會(huì)超出數(shù)理統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)所能達(dá)到的水平，它只能是一個(gè)比較科學(xué)的對(duì)可疑值進(jìn)行取舍的依據(jù)，不是絕對(duì)可靠十全十美的。因此建議：根據(jù)粗大誤差判別準(zhǔn)則剔除的可疑值，應(yīng)當(dāng)在數(shù)據(jù)記錄的備注中加以注明，以備今后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究時(shí)查對(duì)和參考?？梢蓴?shù)據(jù)的剔除第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

可疑數(shù)據(jù)檢驗(yàn)是基于一個(gè)基本假設(shè)：被檢驗(yàn)的一組數(shù)據(jù)來(lái)自同一個(gè)正態(tài)分布的總體，給定一個(gè)置信水平（1-α），根據(jù)（1-α）和樣本容量確定一個(gè)合理的誤差限度，即統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的臨界值，如有（1-α）以上的置信度認(rèn)為該數(shù)據(jù)不屬于隨機(jī)誤差的范圍，應(yīng)舍去，否則應(yīng)保留。（教材P197-202）①狄克遜（Dixon）檢驗(yàn)法②格魯勃斯（Grubbs）檢驗(yàn)法③t值檢驗(yàn)法可疑數(shù)據(jù)可靠性檢驗(yàn)第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

測(cè)量數(shù)據(jù)處理采用的方法有表格法、圖示法和經(jīng)驗(yàn)公式法。1表格法用表格來(lái)表示函數(shù)的方法，稱(chēng)為表格法。2圖表法所謂圖示法是指用圖形來(lái)表示函數(shù)之間的關(guān)系。3經(jīng)驗(yàn)公式法測(cè)量數(shù)據(jù)不僅可用圖形表示出函數(shù)之間的關(guān)系，而且可用與圖形對(duì)應(yīng)的公式來(lái)表示所有的測(cè)量數(shù)據(jù)，當(dāng)然這個(gè)公式不能完全準(zhǔn)確地表達(dá)全部數(shù)據(jù)。所以，常把與曲線對(duì)立的公式稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)公式。應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)公式可以研究各自變量與函數(shù)之間的關(guān)系。建立經(jīng)驗(yàn)公式可以按下列步驟進(jìn)行：(1)描繪曲線，將數(shù)據(jù)以自變量為橫坐標(biāo)，以函數(shù)為縱坐標(biāo)，將數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪成曲線。(2)對(duì)所描繪的曲線進(jìn)行分析，確定公式的基本形式。(3)曲線化直。如果測(cè)量數(shù)據(jù)描繪的曲線被確定為某種類(lèi)型曲線，可將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。(4)確定公式中的常量。代表測(cè)量數(shù)據(jù)的直線方程或曲線化直后的直線方程表達(dá)式為y＝a0+a1x，可根據(jù)一系列測(cè)量數(shù)據(jù)確定方程中的常量a0和a1，其方法有圖解法、端值法、平均法和最小二乘法等。(5)檢驗(yàn)所確定的公式的準(zhǔn)確性，用測(cè)量數(shù)據(jù)中自變量值代入公式計(jì)算出函數(shù)值，檢查它與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值是否一致，若差別很大，則應(yīng)重新建立公式。

數(shù)據(jù)處理方法第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

如果兩個(gè)變量x和y之間存在一定關(guān)系，并通過(guò)測(cè)量獲得x和y的一系列數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)處理的方法得出這兩個(gè)變量之間的關(guān)系式，這就是工程上所說(shuō)的擬合問(wèn)題，也是回歸分析的內(nèi)容之一。所得關(guān)系式稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)公式，也稱(chēng)擬合方程。

如果兩個(gè)變量之間的關(guān)系是線性關(guān)系，就稱(chēng)為直線擬合，也稱(chēng)一元線性回歸。如果變量之間的關(guān)系是非線性關(guān)系，則稱(chēng)為曲線擬合或稱(chēng)為一元非線性回歸。對(duì)于典型的曲線方程可通過(guò)曲線化直法轉(zhuǎn)換為直線方程，即直線擬合問(wèn)題。一元線性與非線性回歸第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

1.直線擬合——元線性回歸設(shè)兩變量x和y之間的關(guān)系為y＝f(x)，并有一系列測(cè)量數(shù)據(jù)為

一元線性與非線性回歸第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

如果上列測(cè)量數(shù)據(jù)相互間基本上是線性關(guān)系，則可用一個(gè)線性方程來(lái)表示，即y=a0+a1x稱(chēng)為測(cè)量數(shù)據(jù)的擬合方程(直線擬合)。擬合方法通常有下列三種：

端值法平均法最小二乘法（1）端值法

將上述測(cè)量數(shù)據(jù)中起點(diǎn)和終點(diǎn)測(cè)量值(x1,y1)和(xn,yn)代入式y(tǒng)=a0+a1x

，求常數(shù)a0和a1，即用兩個(gè)端點(diǎn)連成的直線來(lái)代表所有測(cè)量數(shù)據(jù)，代入后得

一元線性與非線性回歸第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

將a0和a1代入y=a0+a1x即得到用端值法擬合線性方程。

解上式聯(lián)立方程得（2）平均法

將全部測(cè)量數(shù)據(jù)分別代入式y(tǒng)=a0+a1x

，得

一元線性與非線性回歸第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

將a0和a1代入y=a0+a1x即得到用平均法擬合線性方程。

令則解之有（3）最小二乘法

最小二乘法是數(shù)據(jù)處理和誤差分析中有力的數(shù)學(xué)工具。因此，它成為數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用最廣泛的方法之一。最小二乘法在誤差理論中的基本定義是：在等精度的多次測(cè)量中，當(dāng)各測(cè)量值和殘差平方和為最小時(shí)所求得的值，是最可靠的值。設(shè)某物理置A無(wú)系差、等精度、重復(fù)測(cè)量值分別為

一元線性與非線性回歸第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

表明測(cè)量列的最佳估計(jì)值是其算術(shù)平均值。

則該物理量的最佳估計(jì)值a應(yīng)滿足這就是最小二乘法原理。式中vi是Ai的剩余誤差，所以，簡(jiǎn)單地講最小乘法原理就是“剩余誤差的平方和為最小”。

令可得

2.曲線擬合――元非線性回歸

在實(shí)際測(cè)量中，兩個(gè)變量之間的關(guān)系除一般常見(jiàn)的線性關(guān)系外，有時(shí)也呈現(xiàn)非線性關(guān)系即兩變量之間是某種曲線關(guān)系。對(duì)這種非線性的回歸曲線的擬合問(wèn)題，可根據(jù)前面討論的原則來(lái)處理，其處理的方法和步驟：

一元線性與非線性回歸第四節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)處理

(1)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)(xi,yi)繪制圖形；(2)由繪制的曲線圖形分析確定其屬于何種函數(shù)類(lèi)型；(3)根據(jù)已確定的函數(shù)類(lèi)型確定坐標(biāo)。將曲線方程變?yōu)橹本€方程，即曲線化直；(4)根據(jù)變換的直線方程，采取某種擬合方法確定直線方程中的未知量；(5)求出直線方程的未知量后，將該直線方程反變換為原來(lái)的曲線方程，即為最后所得的與曲線圖形對(duì)應(yīng)的曲線方程式。

質(zhì)量控制是以統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理和方法來(lái)揭示實(shí)驗(yàn)分析過(guò)程中所產(chǎn)生誤差的科學(xué)。質(zhì)量控制的目的是把檢測(cè)結(jié)果的誤差控制在允許的范圍內(nèi)，它所采用的手段是制作質(zhì)量控制圖。質(zhì)量控制應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：①采樣質(zhì)量控制；②實(shí)驗(yàn)室質(zhì)量控制；③質(zhì)量管理程序控制。采樣質(zhì)量控制包括采樣點(diǎn)、采樣方法、采樣時(shí)機(jī)的選擇