第三章線性系統(tǒng)的時域分析

第三章線性系統(tǒng)的時域分析法2.1線性系統(tǒng)時間響應性能指標2.2一階系統(tǒng)時域分析2.3二階系統(tǒng)時域分析2.4高階系統(tǒng)的時域分析2.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算2.1線性系統(tǒng)時間響應性能指標典型輸入信號名稱時域表達式頻域表達式單位階躍函數單位斜坡函數單位加速度函數單位脈沖函數正弦函數動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程動態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。由于實際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因，動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。穩(wěn)態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當t趨近于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，表征系統(tǒng)輸入量最終復現(xiàn)輸入量的程度。動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能動態(tài)性能通常在階躍函數作用下測定，其指標一般包括：1.延遲時間，響應曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。2.上升時間，響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時間。上升時間越短，響應速度越快。

3.峰值時間，響應曲線達到第一個峰值所需要的時間。4.調節(jié)時間，響應曲線達到并永遠保持在一個允許誤差范圍內，所需的最短時間。誤差用穩(wěn)態(tài)值的百分數（通常取5%或2%）。5.超調量，指響應的最大偏離量與終值之差的百分比。穩(wěn)態(tài)性能通常在階躍函數、斜坡函數或加速度函數作用下測定。如果時間趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。3.2一階系統(tǒng)的時域分析可以用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)圖(a)所示的RC電路，其微分方程為，其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時間常數當初使條件為零時，其傳遞函數為一階系統(tǒng)的單位階躍響應

單位階躍函數的拉氏變換為系統(tǒng)的傳遞函數為則系統(tǒng)的輸出為對上式取拉氏反變換，得

1.系統(tǒng)階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為零；

2.動態(tài)性能指標：一階系統(tǒng)的單位脈沖響應

單位脈沖函數的拉氏變換為系統(tǒng)的傳遞函數為則系統(tǒng)的輸出為對上式取拉氏反變換，得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應單位斜坡函數的拉氏變換為系統(tǒng)的傳遞函數為則系統(tǒng)的輸出為對上式取拉氏反變換，得一階系統(tǒng)的單位加速度響應

單位加速度函數的拉氏變換為系統(tǒng)的傳遞函數為則系統(tǒng)的輸出為對上式取拉氏反變換，得表3-1一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應輸入信號時域輸入信號頻域輸出響應傳遞函數微分等價關系：系統(tǒng)對輸入信號導數的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分；積分常數由零初始條件確定。

積分3.3二階系統(tǒng)的時域分析

凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱之為二階系統(tǒng)(1)

該系統(tǒng)的任務：控制機械負載的位置,使其與參考位置相協(xié)調。(2)

工作原理：用一對電位計作系統(tǒng)的誤差測量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號，轉換為與位置成正比的電信號。不考慮負載力矩的情況下，控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數增益阻尼系數開環(huán)增益機電時間常數相應的閉環(huán)傳遞函數為了使結果具有普遍意義，將上式表示為標準形式－自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對阻尼系數）二階系統(tǒng)的標準形式傳遞函數自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）阻尼比（相對阻尼系數）二階系統(tǒng)的特征方程二階系統(tǒng)的單位階躍響應

兩個正實部的特征根，發(fā)散虛軸上，瞬態(tài)響應變?yōu)榈确袷幑捕髲透挥谟野隨平面兩個相等的根兩個不相等的根(1)欠阻尼令衰減系數，阻尼振蕩頻率當，

瞬態(tài)分量對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應為穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量為1，表明系統(tǒng)在單位階躍函數作用下，不存在穩(wěn)態(tài)誤差瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項包絡線決定收斂速度(2)無阻尼單位階躍響應這是一條平均值為1的正、余弦形式等幅振蕩，其振蕩頻率為（由系統(tǒng)本身的結構參數確定），稱為無阻尼振蕩頻率(3)臨界阻尼穩(wěn)態(tài)值為1的無超調單調上升過程(4)過阻尼

二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線欠阻尼情況二階系統(tǒng)單位階躍響應的性能指標(1)令在值范圍內，近似有

亦可用(2)

，求得

(3)

對時域表達式求導，并令其為零，求得令整理得(4)超調量在峰值時間發(fā)生，故二階系統(tǒng)超調量與阻尼比的關系(5)采用近似算法當當過阻尼情況單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數輸入信號計算增益分別為10，200，1500時，系統(tǒng)的誤差作業(yè)P.734-24-3二階系統(tǒng)的動態(tài)校正

兩種常用方法：1.比例－微分控制2.測速反饋控制閉環(huán)傳遞函數為比例－微分控制開環(huán)傳遞函數為結論：可通過適當選擇微分時間常數，不改變自然頻率，增大系統(tǒng)的阻尼比；相當于給系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點。當輸入為單位階躍函數時

測速反饋控制

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數

開環(huán)增益閉環(huán)傳遞函數令結論：測速反饋會降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而會加大系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差；測速反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率；可增大系統(tǒng)的阻尼比；測速反饋不形成閉環(huán)零點；可適當增加原系統(tǒng)的開環(huán)增益，以減小穩(wěn)態(tài)誤差。比例—微分控制與測速反饋控制的比較附加阻尼的來源比例—微分控制的阻尼作用產生于系統(tǒng)輸入端誤差信號的速度；測速反饋控制的阻尼作用產生于來源于系統(tǒng)輸出端的響應速度；使用環(huán)境比例—微分控制對噪聲有明顯的放大作用；測速反饋控制對系統(tǒng)輸入端噪聲有濾波作用；對開環(huán)增益和自然頻率的影響比例—微分控制對開環(huán)增益和自然頻率均無影響；測速反饋控制會降低開環(huán)增益；動態(tài)性能比例—微分控制相當于在系統(tǒng)中加入實零點，加快上升時間；測速反饋控制在相同條件下超調量低于比例—微分控制。例3-2圖(a)所示的系統(tǒng)，具有圖(b)所示的響應，求K和T.解：(1)(2)例3-3

控制系統(tǒng)如圖所示，其中輸入，證明當

時，穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)的輸出能無誤差地跟蹤單位斜坡輸入信號。解：閉環(huán)傳遞函數因此只要令就可以實現(xiàn)系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時無誤差地跟蹤單位斜坡輸入。

解：(1)

例3-4

設一隨動系統(tǒng)如圖所示，要求系統(tǒng)的超調量為0.2，峰值時間，求:(1)求增益

和速度反饋系數(2)根據所求的和值，計算該系統(tǒng)的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數

(2)

3.4高階系統(tǒng)的時域響應設高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數的一般形式為將上式的分子與分母進行因式分解，可得：

將式（3-47）用部分分式展開，得

假設響應函數由一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）和二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）組成.輸入信號（控制信號）所對應的拉氏反變換為系統(tǒng)響應的穩(wěn)態(tài)分量。傳遞函數極點所對應的拉氏反變換為系統(tǒng)響應的瞬態(tài)分量。閉環(huán)極點遠離虛軸，則相應的瞬態(tài)分量衰減得快，系統(tǒng)的調整時間也就較短。閉環(huán)零點只影響系統(tǒng)瞬態(tài)分量幅值的大小和符號。如果所有閉環(huán)的極點均具有負實部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。過渡狀態(tài)結束后，系統(tǒng)的輸出量（被控制量）僅與輸入量（控制量）有關。主導極點

如果系統(tǒng)中有一個極點(或一對復數)極點距虛軸最近，且附近沒有閉環(huán)零點；而其它閉環(huán)極點與虛軸的距離都比該極點與虛軸距離大5倍以上，則此系統(tǒng)的響應可近似地視為由這個（或這對）極點所產生。應用主導極點概念，可以導出高階系統(tǒng)相應的近似表達式。

3.5線形系統(tǒng)的穩(wěn)定性設一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當此擾動撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。線形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結構、參數），與系統(tǒng)的輸入信號無關。

系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)的穩(wěn)定與其脈沖響應函數的收斂是一致的系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)如果系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數用部分分式展開

系統(tǒng)的脈沖響應函數為

閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面

系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件思考：一個在零輸入下穩(wěn)定的系統(tǒng)，會不會因某個參考輸入信號的加入而使其穩(wěn)定性受到破壞？分析：單位階躍函數

穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量參考輸入結論：一個在零輸入下的穩(wěn)定系統(tǒng)，在參考輸入信號作用下仍將繼續(xù)保持穩(wěn)定

勞斯穩(wěn)定判據令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：將各項系數，按下面的格式排成勞斯表這樣可求得n+1行系數勞斯穩(wěn)定判據是根據所列勞斯表第一列系數符號的變化，判別特征方程式根在S平面上的具體分布，過程如下：(1)如果勞斯表中第一列的系數均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)如果勞斯表中第一列系數的符號有變化，其變化的次數等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數，相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。例3-5

已知一調速系統(tǒng)的特征方程式為

試用勞斯判據判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表由于該表第一列系數的符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例3-6已知某調速系統(tǒng)的特征方程式為求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：列勞斯表由勞斯判據可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數必須全為正值，可得：勞斯判據特殊情況

勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不等于零或沒有余項解決的辦法：

a.以一個很小的正數來代替為零的這項，據此算出其余的各項，完成勞斯表的排列；

b.用因子(s+a)乘以原特征方程，在對新的特征方程進行判斷，其中a是任意正數。

c.如果零上面的系數與下面的系數符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統(tǒng)屬不穩(wěn)定。2.若勞斯表出現(xiàn)全零的行，這說明存在一些絕對值相同但符號相異的特征根。

解決的辦法：可用全零行上一行的系數構造一個輔助方程，并將輔助方程對復變量s求導，用導數方程的系數代替全零行。例3-7已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表由于表中第一列上面的符號與其下面系數的符號相同，表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。例如3-8一個控制系統(tǒng)的特征方程為

解：列勞斯表由上表可知，第一列的系數均為正值，表明該方程在S右半平面上沒有特征根。令F(s)=0，求得兩對大小相等、符號相反的根，顯然這個系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。勞斯判據的應用勞斯穩(wěn)定判據只回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數據。也即也不能保證系統(tǒng)具備滿意的動態(tài)性能。換句話說，勞斯判據不能表明系統(tǒng)特征根在S平面上相對于虛軸的距離。希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。設該距離為變量的特征方程式，然后用勞斯判據去判別該方程中是否有根位于垂線右側。由此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側的根距離虛軸有多遠，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。例3-8用勞斯判據檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線的右方。解：列勞斯表

第一列全為正，證明所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。令代入原特征方程化簡后得列勞斯表的第一列的系數符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線的右方。例3-9已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試回答時閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？解:(1)當時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

第一列均為正值，S全部位于左半平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)當時，開環(huán)傳遞函數閉環(huán)特征方程為排勞斯表

排勞斯表

欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數必須全為正值

作業(yè)P.734-4(1)，(2)4-54-63.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)穩(wěn)定是前提穩(wěn)態(tài)誤差的不可避免1.摩擦，不靈敏區(qū)，零位輸出等非線性因素2.輸入函數的形式不同(階躍、斜坡、或加速度)

無差系統(tǒng)：在階躍函數作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)。有差系統(tǒng)：在階躍函數作用下具有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)。本節(jié)主要討論系統(tǒng)結構輸入作用方式穩(wěn)態(tài)誤差的定義

輸出的實際值輸出的希望值(真值很難得到)

誤差傳遞函數二階系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的響應的誤差曲線二階系統(tǒng)在階躍輸入作用下的響應的誤差曲線公式條件：的極點均位于S左半平面（包括坐標原點）輸入形式結構形式利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)類型系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數注：系統(tǒng)類型與系統(tǒng)的階數的區(qū)別令

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算通式則可表示為階躍信號輸入

令

因此要求對于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統(tǒng)。式中斜坡信號輸入

靜態(tài)速度誤差系數

令式中因此加速度信號輸入

靜態(tài)加速度誤差系數

令式中因此靜態(tài)位置誤差系數

靜態(tài)加速度誤差系數

誤差系數類型0型K00Ⅰ型∞K0Ⅱ型∞∞K靜態(tài)速度誤差系數

輸入類型0型∞∞Ⅰ型0∞Ⅱ型00例3-10一單位反饋控制系統(tǒng)，若要求：⑴跟蹤單位斜坡輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2;⑵設該系統(tǒng)為三階，其中一對復數閉環(huán)極點為,求滿足上述要求的開環(huán)傳遞函數。解：根據⑴和⑵的要求，可知系統(tǒng)是Ⅰ型三階系統(tǒng)，因而令其開環(huán)傳遞函數為因為按定義

相應閉環(huán)傳遞函數

所求開環(huán)傳遞函數為擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差擾動不可避免負載力矩的變化、放大器的零點漂移、電網電壓波動和環(huán)境溫度的變化等，這些都會引起穩(wěn)態(tài)誤差。它的大小反映了系統(tǒng)抗干擾能力的強弱。控制對象

控制器輸出對擾動的傳遞函數

由擾動產生的輸出

輸出對擾動的傳遞函數系統(tǒng)的理想輸出為零，而擾動產生輸出端誤差信號由終值定理得令圖3中的

則開環(huán)傳遞函數為

下面討論V=0，1和2時系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差V=0

，0型系統(tǒng)當擾動為一階躍信號，即由于

注：參考輸入雖然都是I型系統(tǒng)，但抗擾動的能力不同，產生的穩(wěn)態(tài)誤差相同。

階躍信號

V=1

，I型系統(tǒng)斜坡信號

階躍信號

斜坡信號結論:擾動穩(wěn)態(tài)誤差只與作用點前的結構和參數有關。如中的時，相應系統(tǒng)的階躍擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零；斜坡穩(wěn)態(tài)誤差只與中的增益成反比。至于擾動作用點后的,其增益的大小和是否有積分環(huán)節(jié)，它們均對減小或消除擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差沒有什么作用。

結論:第一種組合的系統(tǒng)具有II型系統(tǒng)的功能，即對于階躍和斜坡擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差均為零;

第二種組合的系統(tǒng)具有I型系統(tǒng)的功能，即由階躍擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零，斜坡產生的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)的第三種組合具有0型系統(tǒng)的功能，其階躍擾動產生的穩(wěn)態(tài)誤差為，斜坡擾動引起的誤差為。

。

V=2

，II型系統(tǒng)減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施

措施：1.增大系統(tǒng)的開環(huán)增益或繞動作用點之前系統(tǒng)的前向通道增益；2.在系統(tǒng)前向通道或主反饋通道設置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)；3.采用復合控制方法梅遜公式

對擾動進行補償？對應的信號流圖分析：引入前饋后，系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式沒有發(fā)生任何變化，即不會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于分母的s階次一般比分子的s階次高，故該條件在工程實踐中只能近似地得到滿足。

為了補償擾動對系統(tǒng)輸出的影響對擾動進行全補償的條件：

令2.按輸入進行補償圖3-28按輸入補償的復合控制系統(tǒng)？

為了按