第6章電路頻率特性的測(cè)量技術(shù)1

傅里葉變換的故事要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來(lái)太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來(lái)就懵圈并從此對(duì)它深?lèi)和唇^。老實(shí)說(shuō)，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程。本文用有意思的方式來(lái)解釋傅里葉分析，讓高中生都能看懂的那種。并且將體會(huì)到通過(guò)傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。本文無(wú)論是cos還是sin，都統(tǒng)一用“正弦波”（SineWave）一詞來(lái)代表簡(jiǎn)諧波。時(shí)域從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人的身高、汽車(chē)的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱(chēng)其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái)。頻域用另一種方法來(lái)觀察世界的話(huà)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。你眼中看似落葉紛飛變化無(wú)常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂(lè)章。在你的理解中，一段音樂(lè)是什么呢？這是我們對(duì)音樂(lè)最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。對(duì)于音樂(lè)家們來(lái)說(shuō)，音樂(lè)是這樣子的上圖是音樂(lè)在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂(lè)在頻域的樣子。所以頻域這一概念對(duì)大家都從不陌生，只是從來(lái)沒(méi)意識(shí)到而已。傅里葉分析任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說(shuō)的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（FourierSerie）和傅里葉變換(FourierTransformation)傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)(FourierSeries)的頻譜正弦曲線(xiàn)波疊加出一個(gè)帶90度角的矩形波第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波cos（x）第二幅圖是2個(gè)賣(mài)萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)第三幅圖是4個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加第四幅圖是10個(gè)便秘的正弦波的疊加隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線(xiàn)不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€(xiàn)。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無(wú)窮多個(gè)。不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。這是沒(méi)有接觸過(guò)傅里葉分析的人在直覺(jué)上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開(kāi)始有意思起來(lái)了。在這幾幅圖中，最前面黑色的線(xiàn)就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開(kāi)來(lái)，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線(xiàn)，那并不是分割線(xiàn)，而是振幅為0的正弦波！也就是說(shuō)，為了組成特殊的曲線(xiàn)，有些正弦波成分是不需要的。這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。對(duì)于我們最常見(jiàn)的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。時(shí)域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為ω的正弦波cos(ωt)看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是ω。有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成頻域世界，那么頻域的“0”是什么呢？Cos(0t)就是一個(gè)周期無(wú)限長(zhǎng)的正弦波，也就是一條直線(xiàn)！所以在頻域，0頻率也被稱(chēng)為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。初中時(shí)，老師是這樣定義正弦波的：正弦波就是一個(gè)做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)在一條直線(xiàn)上的投影。正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線(xiàn)上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓。這是正弦波疊加成矩形波的動(dòng)圖。這是正弦波疊加成三角波的動(dòng)圖矩形波的頻譜圖可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線(xiàn)。振幅為0的正弦波通過(guò)時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜，但是這個(gè)頻譜并沒(méi)有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒(méi)有提到相位。基礎(chǔ)的正弦波A.sin(ωt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對(duì)于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個(gè)波疊加的圖。傅里葉級(jí)數(shù)（FourierSeries）的相位譜鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個(gè)用來(lái)標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來(lái)表示。當(dāng)然，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作2π或者360度的話(huà)，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例再乘2π，就得到了相位差。矩形波時(shí)域譜頻域譜和相位譜全家福傅里葉分析究竟是干什么用的先在紙上畫(huà)一個(gè)sin(x)，不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。好，接下去畫(huà)一個(gè)sin(3x)+sin(5x)的圖形。別說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線(xiàn)什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫(huà)的對(duì)吧？好，畫(huà)不出來(lái)不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線(xiàn)給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線(xiàn)的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。但是在頻域呢？則簡(jiǎn)單的很，無(wú)非就是幾條豎線(xiàn)而已。所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線(xiàn)中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱(chēng)為濾波，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。傅里葉變換

（FourierTransformation）

傅里葉級(jí)數(shù)的本質(zhì)是將一個(gè)周期的信號(hào)分解成無(wú)限多分開(kāi)的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。是否有一種數(shù)學(xué)工具將連續(xù)非周期信號(hào)變換為周期離散信號(hào)呢？抱歉，真沒(méi)有。傅里葉變換，則是將一個(gè)時(shí)域非周期的連續(xù)信號(hào)，轉(zhuǎn)換為一個(gè)在頻域非周期的連續(xù)信號(hào)。換一個(gè)角度理解：傅里葉變換實(shí)際上是對(duì)一個(gè)周期無(wú)限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換。傅里葉級(jí)數(shù)的立體頻譜圖傅里葉變換的立體頻譜圖從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換：離散譜變成了連續(xù)譜離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積。計(jì)算上也從求和符號(hào)變成了積分符號(hào)。第6章

電路頻率特性的測(cè)量技術(shù)頻率特性電路頻率特性的測(cè)量，是電路動(dòng)態(tài)特性分析的重要內(nèi)容。本章的重點(diǎn)是頻率特性測(cè)試儀的工作原理和使用方法也要了解頻譜分析儀的工作原理，技術(shù)指標(biāo)，會(huì)使用頻譜分析儀對(duì)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量和頻譜分析。信號(hào)的時(shí)域測(cè)量與分析示波器以時(shí)間t為水平軸對(duì)信號(hào)波形進(jìn)行測(cè)量與分析，在時(shí)間域內(nèi)觀察與分析信號(hào)。信號(hào)的頻域測(cè)量與頻譜分析以頻率f為水平軸對(duì)信號(hào)波形進(jìn)行測(cè)量與分析，在頻率域內(nèi)觀察與分析信號(hào)。廣義上信號(hào)頻譜是組成信號(hào)的全部頻率分量的總集狹義上將隨頻率變化的幅度稱(chēng)為頻譜。頻譜測(cè)量是指在頻域內(nèi)測(cè)量信號(hào)的各頻率分量，獲得信號(hào)的多種參數(shù)。測(cè)量的基礎(chǔ)是傅里葉變換。頻譜的兩種類(lèi)型離散型頻譜（線(xiàn)狀譜），各條譜線(xiàn)分別代表某個(gè)頻率分量的幅度。譜線(xiàn)的間隔相等。周期性信號(hào)的頻譜都是離散的。連續(xù)頻譜，可以看做譜線(xiàn)間隔無(wú)窮小，非周期信號(hào)和各種隨機(jī)噪聲的信號(hào)都是連續(xù)的。頻域測(cè)量和頻譜分析的用處時(shí)域測(cè)量和頻域測(cè)量從時(shí)間和頻率兩個(gè)側(cè)面分析信號(hào)，所得到的信息不同，相互補(bǔ)充，可以得到全面的信息。所以它們各有用武之地。觀察同一信號(hào)，時(shí)域分析和頻域分析的圖形不同，但兩者之間有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即傅里葉變換的關(guān)系，從圖6-1看到：信號(hào)的基波與它的二次、三次、四次諧波相加，組成信號(hào)A(t,f)，A在幅度-時(shí)間-頻率三坐標(biāo)中，是一條空間曲線(xiàn)。同一條曲線(xiàn)，在示波器和頻譜儀的圖形不同。A(t)是電信號(hào)隨時(shí)間變化的圖形，用來(lái)做時(shí)域分析。A(f)是隨頻率變化的線(xiàn)狀頻譜，用來(lái)分析各頻率分量的大小，屬于頻域分析。時(shí)域分析與