第三章-幾何光學(xué)的基本原理

第3章幾何光學(xué)的基本原理光的干涉、衍射現(xiàn)象，說明光是一種電磁波；光的傳播過程就是無(wú)窮次波的相干迭加；光的行為可用其時(shí)空周期性——波長(zhǎng)、振幅和位相來(lái)描述。因此，波動(dòng)光學(xué)從光的本性出發(fā)，精確地描述了光現(xiàn)象。事實(shí)上，在很多情況下，不考慮光的波動(dòng)性，不用光的時(shí)空周期性，而代之以簡(jiǎn)單的幾何方法，就可得到與實(shí)際基本相符的結(jié)論（如光的反射、折射成像等）。

這種撇開光的波動(dòng)本性，而僅以光的直線傳播為基礎(chǔ)，研究光在透明介質(zhì)中有傳播規(guī)律的學(xué)科稱為幾何光學(xué)，也稱為光線光學(xué)。由于光的直線傳播性對(duì)于光的實(shí)際行為只具有近似的意義，僅是波動(dòng)的近似，所以，將它作為基礎(chǔ)的幾何光學(xué)，只能用于有限的范圍和給出近似的結(jié)論。？？？引言在所研究的對(duì)象中，若其幾何的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于所用光波的波長(zhǎng)（如對(duì)一定大小的透鏡或面鏡，研究由它們成像的物距和像距等），則由幾何光學(xué)可以獲得與實(shí)際基本相符的結(jié)果；反之，當(dāng)其幾何尺寸可以跟波長(zhǎng)相比擬，此時(shí)需撇開光的直線傳播的概念，而采用以光的波動(dòng)性質(zhì)為基礎(chǔ)的波動(dòng)光學(xué)來(lái)研究。即：幾何光學(xué)所研究的是波動(dòng)光學(xué)在障礙物尺寸遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)時(shí)的極限情況。第3章幾何光學(xué)的基本原理主要內(nèi)容以光的直線傳播為基礎(chǔ)，用光線、波面的概念和幾何方法來(lái)近似描述光的傳播行為；利用費(fèi)馬原理和新笛卡爾符號(hào)法則，研究光在平面、球面介面上的成像規(guī)律。教學(xué)目的：1.牢固掌握新笛卡爾符號(hào)法則、高斯公式、牛頓公式；2.掌握光具組基點(diǎn)基面的物理意義和作用；3.能正確運(yùn)用物象公式和作圖求象法求解成象問題；4.理解虛物、實(shí)象、虛象概念及其性質(zhì)。

第3章幾何光學(xué)的基本原理§3.1基本概念及基本實(shí)驗(yàn)定律一、光線與波面1.光線：形象表示光的傳播方向的幾何線。說明：①同力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)一樣，光線僅是一種抽象的數(shù)學(xué)模型。它具有光能，有長(zhǎng)度，有起點(diǎn)、終點(diǎn)，但無(wú)粗細(xì)之分，僅代表光的傳播方向。任何想從實(shí)際裝置（如無(wú)限小的孔）中得到“光線”的想法均是徒勞的。②光束：無(wú)數(shù)光線構(gòu)成光束。③光沿光線方向傳播時(shí)，位相不斷改變。2.波面：光傳播中，位相相同的空間點(diǎn)所構(gòu)成的平面或曲面。說明：①波面即等相面，也是一種抽象的數(shù)學(xué)模型。波面為平面的光波稱為平面光波（如平行光束）；為球面的稱為球面光波（如點(diǎn)光源所發(fā)光波）；為柱面的稱為柱面光波（如縫光源所發(fā)光波）3.光線與波面的關(guān)系在各向同性介質(zhì)中，光線總是與波面法線方向重合。即光線與波面總是垂直的。平面波球面波柱面波二、幾何光學(xué)的基本實(shí)驗(yàn)定律1.直線傳播定律：在均勻介質(zhì)中，光總是沿直線傳播的。（小孔成像，物體的影子）即：在均勻介質(zhì)中，光線為一直線。2.介質(zhì)表面時(shí)的反射定律和折射定理：折射定律：①折射線在入射線和法線決定的平面內(nèi)；（三者一面）②折射線、入射線分居法線兩側(cè)；③3.獨(dú)立傳播定律：4.光路可逆原理：自不同方向或不同物體發(fā)出的光線相交時(shí)，對(duì)每一光線的傳播不發(fā)生影響。即各自保持自己原有的特性，沿原方向繼續(xù)傳播，互不影響。在幾何光學(xué)中，任何光路都是可逆的。①反射線在入射線和法線決定的平面內(nèi)；②反射線、入射線分居法線兩側(cè)；③反射定律：由此，我們借助光線的概念，應(yīng)用某些基本的實(shí)驗(yàn)定律及幾何規(guī)律，來(lái)研究光的直線傳播和成像問題§3.2費(fèi)馬原理光在均勻介質(zhì)中總是沿直線傳播的，光在非均勻介質(zhì)中又是怎樣傳播的？費(fèi)馬借助光程的概念，回答了該問題。一、費(fèi)馬原理（1657年提出）1、表述：

光在空間兩定點(diǎn)間傳播時(shí)，實(shí)際光程為一特定的極值。即：光沿光程為最小值、最大值或恒定值的路程傳播。2、表達(dá)式：nBAds3.說明：①意義：費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)的基本原理，用以描繪光在空間兩定點(diǎn)間的傳播規(guī)律。

②用途：A.可以推證反射定律、折射定律等實(shí)驗(yàn)定律。由此反證了費(fèi)馬原理的正確性.

③極值的含義：極小值，極大值，恒定值。一般情況下，實(shí)際光程大多取極小值。費(fèi)馬本人最初提出的也是最短光程。

B.推求理想成象公式。二、費(fèi)馬原理的證明1、直線傳播定律：（在均勻介質(zhì)中）2、折射定律：（在非均勻介質(zhì)中）i2

n2

B‘

C‘’

A’

C‘

CBAn1

O’

OPMi1

XYZ如圖示：Ａ點(diǎn)發(fā)出的光線入射到兩種介質(zhì)的平面分界面上，折射后到達(dá)Ｂ點(diǎn)。①折射線在入射線和法線決定的平面內(nèi)只需證明折射點(diǎn)C點(diǎn)在交線OO’上即可.②折射線、入射線分居法線兩側(cè)i2

n2

B‘

A’

CBAn1

O’

OPMi1

XYZA、B、C點(diǎn)坐標(biāo)如圖示。沿此方向入射，必有③i2

n2

B‘

A’

CBAn1

O’

OPMi1

XYZ由于反射、折射定律是實(shí)驗(yàn)定律，是公認(rèn)的正確的結(jié)論，所以，費(fèi)馬原理是正確的。同理：也可證明反射定律。§3.3單心光束實(shí)像和虛像光線在各種情況下的行進(jìn)方向：成像問題是幾何光學(xué)研究的主要問題之一。光學(xué)元件質(zhì)量的高低是以成像質(zhì)量來(lái)衡量的。為學(xué)習(xí)研究成像規(guī)律，首先介紹幾個(gè)基本概念。一、單心光束、實(shí)像、虛像1、發(fā)光點(diǎn)：只有幾何位置而沒有大小的發(fā)射光束的光源。它也和光線一樣，是一個(gè)抽象概念，一個(gè)理想模型，有助于描述物和像的性質(zhì)。點(diǎn)光源就是一個(gè)發(fā)光點(diǎn)。若光線實(shí)際發(fā)自于某點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為實(shí)發(fā)光點(diǎn)；若某點(diǎn)為諸光線反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，則該點(diǎn)稱為虛發(fā)光點(diǎn)。2、單心光束：有一定關(guān)系的一些光線的集合，稱為光束。只有一個(gè)交點(diǎn)的光束，亦稱同心光束。該唯一的交點(diǎn)稱為光束的頂點(diǎn)。反之稱為像散光束。發(fā)散單心光束會(huì)聚單心光束按照波動(dòng)光學(xué)的觀點(diǎn)，波面的法線即為光線，所以在各向同性的均勻光學(xué)介質(zhì)中，單心光束與球面波相應(yīng)；發(fā)光點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn)的單心光束與平面波相應(yīng)。實(shí)象：有實(shí)際光線會(huì)聚的象點(diǎn)。虛象：無(wú)實(shí)際光線會(huì)聚的象點(diǎn)。（光束反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)）。當(dāng)頂點(diǎn)為光束的發(fā)出點(diǎn)時(shí)，該頂點(diǎn)稱為光源、物點(diǎn)。3、像、物實(shí)物點(diǎn)：發(fā)散的入射單心光束的頂點(diǎn)（P）虛物點(diǎn)：會(huì)聚的入射單心光束的頂點(diǎn)（P）P‘

PP’

P實(shí)像虛像對(duì)能保持單心性的光束，一個(gè)物點(diǎn)能且只能形成一個(gè)像點(diǎn)，即物與像形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)單心光束經(jīng)折射或反射后，仍能找到一個(gè)頂點(diǎn)，稱光束保持了其單心性。即光束的單心性沒有被破話，該頂點(diǎn)便是發(fā)光點(diǎn)的像，稱為象點(diǎn)。

實(shí)象點(diǎn)：會(huì)聚的出射單心光束的頂點(diǎn)（P‘）虛物點(diǎn)：發(fā)散的出射單心光束的頂點(diǎn)（P’）二、實(shí)物、實(shí)像、虛像的聯(lián)系與區(qū)別1、成像于視網(wǎng)膜上的只是光束的頂點(diǎn)而非光束本身。光通過渾濁的空間時(shí)，塵埃微粒作為散射光束的頂點(diǎn)被看到，而不是看到了光束本身；宇航員看到的潔凈的宇宙空間是漆黑的，是由于沒有塵埃作為散射源。2、人眼以剛進(jìn)入瞳孔前的光線方向判斷光束頂點(diǎn)位置單獨(dú)用人眼無(wú)法直接判斷頂點(diǎn)是否有實(shí)際光線通過實(shí)發(fā)光點(diǎn)實(shí)像虛像對(duì)人眼而言，無(wú)論是物點(diǎn)還是像點(diǎn)，是實(shí)像還是虛像，都不過是發(fā)散光束的頂點(diǎn)，二者之間沒有區(qū)別。實(shí)物、實(shí)像、虛像的區(qū)別PP‘

P’‘

A：P與P’、P‘’P各處可見；而由于透鏡大小的限制，P‘和P’‘僅在光束范圍內(nèi)可見。B：P’與P‘’

置一白紙于P’、

P‘’處，由于有實(shí)際光線通過，P’是亮點(diǎn)；由于無(wú)實(shí)際光線通過，P‘’處看不到光點(diǎn)。

光學(xué)系統(tǒng)實(shí)物成虛象光學(xué)系統(tǒng)物空間像空間實(shí)物成實(shí)象光學(xué)系統(tǒng)虛物成實(shí)象a.實(shí)物成實(shí)像

b.實(shí)物成虛像

c.虛物成實(shí)像d.虛物成虛像§3.4光在平面介面上的反射和折射光學(xué)纖維保持物、像在幾何形狀上的相似性，是理想成像的基本要求。保持光束的單心性是保持形狀相似從而實(shí)現(xiàn)理想成像的保證。所以，研究成像問題就歸結(jié)為研究如何保持光束單心性問題。一般情況下，光在介面上反射和折射后，其單心性不再保持。但只要滿足適當(dāng)?shù)臈l件，可以近似地得到保持。接下來(lái)的兩節(jié)，主要研究在不同介面反射、折射時(shí)，光束單心性的保持情況。一、光在平面上的反射DM’

MP‘

PCBA如圖示：點(diǎn)光源P發(fā)出單心光束，經(jīng)平面鏡反射后，形成一束發(fā)散光束，其反向延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)P‘，且與P點(diǎn)對(duì)稱。顯然，反射光束仍為單心光束，說明在此過程中光束保持了其單心性，是一個(gè)理想成像過程——P‘是P的虛像?！嗥矫骁R是一個(gè)不破壞光束單心性、理想成像的完善的光學(xué)系統(tǒng)。并且也是唯一的一個(gè)。二、光在平面分界面上的折射1、光束單心性的破壞xB1

B2

n2

n1

O

y

P2

P1

PP`i1

i2

i1+△i1

i2＋△i2

A1

A2

●●z介質(zhì)n1中的發(fā)光點(diǎn)P發(fā)出單心光束經(jīng)兩面界面XOZ折射后進(jìn)入介質(zhì)n2，現(xiàn)取其中一微元光束（如圖示），在XOY平面內(nèi)，其折射光束的反向延長(zhǎng)線交于P‘點(diǎn)，并與OY軸交于P1、P2兩點(diǎn)。

各點(diǎn)坐標(biāo)如圖示：經(jīng)計(jì)算（見附錄3—1）可得（折射定律和三角關(guān)系可得）xB1

B2

n2

n1

O

y

P2

P1

PP`i1

i2

i1+△i1

i2＋△i2

A1

A2

●●z為此將該圖繞y軸轉(zhuǎn)過一個(gè)小的角度，則頂點(diǎn)為P的三角形△PA1A2展成一個(gè)單心的發(fā)散光束。將PA1、PA2沿OY軸旋轉(zhuǎn)一微小角度成一立體微元，則：P、P1、P2三點(diǎn)不動(dòng)，而交點(diǎn)P’將畫出一小圓?。ń埔暈榇怪庇赬OY平面的一小段直線）。所以，光束內(nèi)任一條光線與Y軸的交點(diǎn)均處在直線P1P2（弧矢焦線）內(nèi)，但不相交；交點(diǎn)P‘也處在直線P’P‘（子午焦線）上，也不相交。即：發(fā)光點(diǎn)經(jīng)折射后，成象為兩條相互垂直的焦線而不是象點(diǎn)，稱為象散。折射后，光束的單心性已被破壞。2、象似深度由任意兩條光線光源P發(fā)出的狹窄的空間光束y物距y=60cm像距y`=40cm水n1=1.5空氣n2=1例：水深度為60cm處有一個(gè)青蛙，在水面上方看到的青蛙上升了多少cm?解：像方折射率物方折射率像距物距上升的高度為H=(1-n2/n1)*(水深度)三、全反射光學(xué)纖維1、全反射：xA3

n2

n1

O

y

Pi1

i2

ic

A1

A2

只有反射而無(wú)折射的現(xiàn)象稱為全折射。玻璃到空氣的臨界角

特殊情況：倏逝波原理：光束在全反射時(shí)折射波的性質(zhì)在入射平面（xoz）內(nèi)，透射的折射波：由折射定律：全反射時(shí)：如果：

所以：

倏逝波光強(qiáng)與界面入射深度

dp

的關(guān)系令：

得：

代表一個(gè)沿z方向傳播但振幅在x方向按指數(shù)衰減的波，這種波稱為倏逝波如P122圖3.22、光學(xué)纖維單根構(gòu)造：內(nèi)層：外層：原理：∴在頂角為2i的園錐體內(nèi)的光線，均能在光纖內(nèi)順利傳播。直徑約為幾微米至幾十微米的單根或多根玻璃(或透明塑料)纖維.（低損耗透明介質(zhì)）光線在光纖內(nèi)發(fā)生全反射時(shí)，入射角滿足的條件全反射的應(yīng)用——利用全反射規(guī)律而是光線沿著彎曲路程傳播的光學(xué)元件。四、棱鏡EDCB1、偏向角、最小偏向角：棱鏡是一種由多個(gè)平面界面組合而成的光學(xué)元件。光通過棱鏡時(shí)，產(chǎn)生兩個(gè)或兩個(gè)以上界面的連續(xù)折射，傳播方向發(fā)生偏折。最常用的棱鏡是三棱鏡（如圖示）。三棱鏡兩折射面的夾角稱三棱鏡頂角A。An2

n1

出射光與入射光之間的夾角稱棱鏡的偏向角。如果保持入射線的方向不變，而將棱鏡繞垂直于圖面的軸線旋轉(zhuǎn)，則偏向角將跟著改變。也就是說，當(dāng)折射棱鏡角給定時(shí)，偏向角隨著入射角的改變而改變。EDCBAn2

n1

說明：只要測(cè)出最小偏向角，就可以確定棱柱型透明物體的折射率。之所以利用最小偏向角而不用任意偏向角，是因?yàn)樗趯?shí)驗(yàn)中最容易精確地被測(cè)定。(2)掠入射法

BCAq

2、應(yīng)用棱鏡光譜：當(dāng)用白光入射時(shí)，由于折射率的不同，出射光將展開成彩帶即光譜。所以，三棱鏡也是一種分光裝置。全反射棱鏡：改變光路如右圖示450

450

若光線自光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)，入射角大于折射角．當(dāng)光線以90角入射(掠射)時(shí)仍有光線進(jìn)入光密介質(zhì)，此時(shí)的折射角亦為臨界角．除掠入射光線1外，其它光線如光線2在AB面上的入射角均小于90，因此經(jīng)三棱鏡折射，最后從AC面折射進(jìn)入空氣時(shí)，都在光線的左側(cè)．由于入射角i不可能比90大，因而在三棱鏡內(nèi)不可能出現(xiàn)比臨界角大的光線，即AC

面上出射的光線中，沒有比φ角小的折射光線，故稱φ為極限角．當(dāng)用望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)AC

面觀察時(shí)，視場(chǎng)中將看到明暗兩部分，其分界線就是i=90的掠入射引起的極限角方向．熱光源

線光源

棱鏡的色分辨本領(lǐng)：

第四章2003年12月21日下午18時(shí)許，烏魯木齊市東南方向地平線處的空中，隱約“飄浮”著幾幢建筑物，大約25分鐘后又消失在人們的視線中

。海市蜃樓分析

經(jīng)常要用!試證雙鏡兩次反射定理：光線被交角等于q的兩鏡面反射時(shí)，反射光線和入射光線的交角等于兩個(gè)鏡面交角q

的兩倍。

例:解：根據(jù)幾何學(xué)外角公式，由圖可知而：故：i2

i1

兩鏡面間的成像個(gè)數(shù)：

§3.5光在球面介面上的反射和折射一、球面的幾個(gè)概念符號(hào)法則

球面頂點(diǎn)：O球面曲率中心：C球面曲率半徑：r球面主軸：連接O、C而得的直線。主截面：通過主軸的平面。

2、符號(hào)法則：為使計(jì)算結(jié)果普遍適用，對(duì)線段和角度正負(fù)取法的規(guī)定。1、基本概念：線段長(zhǎng)度均從頂點(diǎn)算起：

A、凡光線與主軸交點(diǎn)在頂點(diǎn)右方者線段長(zhǎng)度數(shù)值為正；凡光線與主軸交點(diǎn)在頂點(diǎn)左方者線段長(zhǎng)度數(shù)值為負(fù)；

B、物點(diǎn)或像點(diǎn)至主軸的距離在主軸上方為正，下方為負(fù)。②光線的傾角均從主軸或球面法線算起，并取小于900的角度；由主軸（或法線）轉(zhuǎn)向有關(guān)光線時(shí)：

A、順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角度為正；B、逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角度為負(fù)。（注意：角度的正負(fù)與構(gòu)成它的線段的正負(fù)無(wú)關(guān)）沿軸線段垂軸線段新笛卡爾法則r

C

O主軸研究光在球面的反射和折射，是研究一般光學(xué)系統(tǒng)成像的基礎(chǔ)。③圖中出現(xiàn)的長(zhǎng)度和角度只用正值。例：球面反射成像各量的正負(fù)。yQ無(wú)論光線從左至右還是從右至左，無(wú)論是球面反射還是折射，以上符號(hào)法則均適用。以下的討論假設(shè)光線從左至右進(jìn)行。二、球面反射對(duì)單心性的破壞

P

ACOP’

-s’

-r

-s-u

i-i`-u’從主軸上P點(diǎn)發(fā)出單心光束，其中一條光線在球面上A點(diǎn)反射，反射光與主軸交于P’點(diǎn)。即P’為P的像。按符號(hào)法則，各有關(guān)線段和角度的正負(fù)如圖所示。s—物距s’—象距

P

ACOP`

-s`

-r

-s-u

i-i`-u`對(duì)給定的物點(diǎn)，不同的入射點(diǎn)，對(duì)應(yīng)著不同的入射線和反射線，對(duì)應(yīng)著不同的。對(duì)一定的球面和發(fā)光點(diǎn)P（S一定），不同的入射點(diǎn)對(duì)應(yīng)有不同的S‘。即：同一個(gè)物點(diǎn)所發(fā)出的不同光線經(jīng)球面反射后不再交于一點(diǎn)。由P點(diǎn)所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面反射后，單心性被破壞三、近軸光線條件下球面反射的物像公式1、近軸光線條件即：對(duì)一定的反射球面（r一定），Ｓ‘和Ｓ一一對(duì)應(yīng)，而與入射點(diǎn)無(wú)關(guān)?！嘤蒔點(diǎn)所發(fā)出的單心光束，經(jīng)球面反射后將交于一點(diǎn)P‘，光束的單心性得以保持。一個(gè)物點(diǎn)將有一個(gè)確定像點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。光學(xué)上稱：很小的區(qū)域?yàn)榻S（或傍軸）區(qū)域，此區(qū)域內(nèi)的光線為近軸光線在近軸光線條件下：像點(diǎn)稱為高斯像點(diǎn)；研究物像關(guān)系的內(nèi)容為高斯光學(xué)。2、物像公式焦點(diǎn)：沿主軸方向的平行光束經(jīng)球面反射后將會(huì)聚于主軸上一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為反射球面的焦點(diǎn)(F’)。

ACOP`

-s`

-r

-sF`焦距：焦點(diǎn)到球面頂點(diǎn)的距離（）。它同樣遵守符號(hào)法則。

說明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近軸條件下成立；2、式中各量必須嚴(yán)格遵從符號(hào)法則；3、對(duì)凸球面反射同樣適用；4、當(dāng)光線從右至左時(shí)同樣適用。例題：3-1P129[例3-3]一個(gè)點(diǎn)狀物放在凹面鏡前0.05m處，凹面鏡的曲率半徑為0.20m，試確定像的位置和性質(zhì).COP`

s`-r

-sP[解]：設(shè)光線從左至右最后像是處于鏡后0.1米處的虛像。當(dāng)光線從右至左時(shí)，可得到相同結(jié)論。說明符號(hào)法則均適用四、球面折射對(duì)光束單心性的破壞

Pn

-u-i1

A

-i2

n`

u`CP`

O

r

-s

s`設(shè)n<n’

從主軸上P點(diǎn)發(fā)出單心光束，其中一條光線在球面上A點(diǎn)折射，折射光與主軸交于P`點(diǎn)。即P`為P的像。

Pn

-u-i1

A

-i2

n`

u`CP`

O

r

-s

s`對(duì)給定的物點(diǎn)，不同的入射點(diǎn)，對(duì)應(yīng)著不同的入射線和折射線，對(duì)應(yīng)著不同的。對(duì)一定的球面和發(fā)光點(diǎn)P（S一定），不同的入射點(diǎn)對(duì)應(yīng)有不同的S‘。即：同一個(gè)物點(diǎn)所發(fā)出的不同光線經(jīng)球面折射后不再交于一點(diǎn)。由P點(diǎn)所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面折射后，單心性被破壞五、近軸光線下球面折射的物像公式1、物像公式:2、討論：當(dāng)介質(zhì)和球面一定時(shí)（n,n’,r

一定），S‘與S一一對(duì)應(yīng)，即：在近軸光線條件下光束單心性得到保持。②當(dāng)介質(zhì)和球面一定時(shí)（n,n’,r

一定），計(jì)算時(shí)r取米為單位③物像公式對(duì)凹球面折射同樣適用。物像共軛：P‘為P的像點(diǎn)，反之，當(dāng)物點(diǎn)為P‘時(shí)，像點(diǎn)必在P點(diǎn)；這種物像可易性稱為物像共軛。它是光路可逆原理的必然結(jié)果。其中：P、P’稱為共軛點(diǎn)，光線PA、AP‘稱為共軛光線。⑤物空間與像空間：規(guī)定：入射線在其中進(jìn)行的空間——物空間；折射線（或折射線）在其中進(jìn)行的空間——像空間。

Pnn`P`

O

-s

s`n`

-s`

PnP`

O

-s物空間像空間物空間像空間S‘>0:實(shí)像S‘<0:虛像虛像在物空間,但實(shí)際存在的是像空間的發(fā)散光束,故像方折射率仍為n’.

POP`

-s`

-s物空間像空間P’

Ps’

-s物空間像空間S‘<0:實(shí)像S‘>0:虛像⑥焦點(diǎn)、焦距F`

f`A、像方焦點(diǎn)F’、像方焦距B、物方焦點(diǎn)F、物方焦距nn`

O

-ss’

nn`

O

-ss’

F

-fC、∵“—”號(hào)表示永遠(yuǎn)異號(hào)，物、像方焦點(diǎn)一定位于球面兩側(cè)。⑦球面反射從數(shù)學(xué)處理上可視為球面折射的特例∵在球面反射中，物像空間重合，且入射光線與反射光線行進(jìn)方向相反∴在數(shù)學(xué)處理方法上，可假設(shè)：物理上無(wú)意義六、理想成象的兩個(gè)普適公式

1、高斯公式：高斯公式對(duì)任何理想成像過程均適用2、牛頓公式：

Pnn`CP`

O

r

-s

s`若將取值原點(diǎn)由頂點(diǎn)O改為物、像方焦點(diǎn)F、F‘，則有如下關(guān)系（如右圖示）3、說明：①高斯公式、牛頓公式是近軸條件下理想成像的普適公式。只是在不同情況下，焦距的形式不同而已。牛頓公式

對(duì)任何理想成像過程均適用P133[例3.4]一個(gè)折射率為1.6的玻璃啞鈴，長(zhǎng)20cm，兩端的曲率半徑為

2cm。若在離啞鈴左端5cm處的軸上有一物點(diǎn),試求像的位置和性質(zhì)。

O2

s1’

nn`

-s1

n

O1

-s2

-s2’

P1‘

P2‘

P[解]：兩次折射成像問題。1、P為物對(duì)球面O1折射成像P1’

2、P1‘為物對(duì)球面O2折射成像也可用高斯公式、牛頓公式求解！§3.6光連續(xù)在幾個(gè)球面上的折射虛物實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)大多由兩個(gè)或兩個(gè)以上的球面所構(gòu)成。研究多個(gè)球面上的折射成像更具實(shí)際意義。一、共軸光具組1、定義：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的球面所構(gòu)成的，其曲率中心處在同一條直線上的光學(xué)系統(tǒng)，稱為共軸光具組。該直線為共軸光具組的光軸。反之，稱為非共軸光具組。2、共軸光具組的特點(diǎn)：①光在連續(xù)折射時(shí)，前一球面的像就是后一球面的物；通過前一球面的光束必須能全部或部分通過次一個(gè)球面，才能保證整個(gè)系統(tǒng)最后能夠成像?！饩€是近軸的。二、逐個(gè)球面成像法1、定義：依球面的順序，應(yīng)用成像公式逐個(gè)對(duì)球面求像，最后得到整個(gè)共軸光具組的像。2、方法特點(diǎn)及注意事項(xiàng)①必須在近軸光線條件下使用，才能得到最后像。②前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空間是次一球面的物空間；前一球面的折射線是后一球面的入射線。（如上圖所示）③必須針對(duì)每一個(gè)球面使用符號(hào)法則。對(duì)哪個(gè)球面成像就只能以它的頂點(diǎn)為取值原點(diǎn)，不能混淆。④計(jì)算次一個(gè)球面物距時(shí)要考慮兩個(gè)球面間的距離。（如上圖所示）三、虛物1、定義：會(huì)聚的入射光束的頂點(diǎn)，稱為虛物。如上圖中P4

發(fā)散的入射光束的頂點(diǎn)，稱為實(shí)物。如上圖中P1、P2和P3。2、說明：①實(shí)物、虛物的判斷依據(jù)A、入射光束：發(fā)散——實(shí)物；會(huì)聚——虛物B、物所處空間：物空間——實(shí)物；像空間——虛物②虛物處永遠(yuǎn)沒有光線通過。（實(shí)物不一定，如P1、P2有，P3

無(wú)）④虛物仍遵從符號(hào)法則。（如上圖中S4>0）③虛物處像空間，但對(duì)應(yīng)的卻是物空間的會(huì)聚光束，故折射率就取物方折射率。（與虛像類似。如上圖中P4：物方折射率為n4

§3.7薄透鏡一、透鏡1、定義：用玻璃或其它透明介質(zhì)研磨拋光為兩個(gè)球面或一個(gè)球面一個(gè)平面所形成的薄片。通常做成園形。2、分類：按表面形狀分①凸透鏡：中間部分比邊緣厚的透鏡。②凹透鏡：中間部分比邊緣薄的透鏡。彎凸平凸雙凸雙凹平凹彎凹3、有關(guān)透鏡的幾個(gè)概念：主軸：兩球面曲率中心的連線。——主截面：包含主軸的任一平面。有無(wú)窮個(gè)。注意：由于透鏡為園形，主軸為其對(duì)稱軸，所以各主截面內(nèi)光線分布均相同，只需研究一個(gè)面內(nèi)的成像就行了?？讖剑捍怪庇谥鬏S方向透鏡的直徑。厚度：兩球面在主軸上的間距?！?dāng)透鏡厚度與其曲率半徑相比可以忽略不計(jì)時(shí)，稱為薄透鏡；當(dāng)透鏡厚度與其曲率半徑相比不可忽略不計(jì)時(shí)，稱為厚透鏡。二、近軸條件下薄透鏡的物像公式第一個(gè)球面：在近軸光線條件下，對(duì)透鏡兩面的折射過程分別應(yīng)用球面折射成象公式（逐個(gè)球面成像法）：1、物像公式第二個(gè)球面面：對(duì)薄透鏡，，略去后，兩式相加得：薄透鏡物像公式2、討論：對(duì)薄透鏡重合為一點(diǎn)，稱為光心，它是薄透鏡中所有長(zhǎng)度量的取值原點(diǎn)。

②當(dāng)光線從左至右時(shí)：當(dāng)光線從右至左時(shí)，成像公式同樣成立：③薄透鏡的會(huì)聚和發(fā)散，不僅與其形狀有關(guān)，還與兩側(cè)的介質(zhì)有關(guān)：空氣中的薄透鏡④高斯公式⑥薄透鏡簡(jiǎn)化模型⑤牛頓公式仍成立。凸透鏡凹透鏡1、定義：在近軸光線和近軸物的條件下，像的橫向大小與物的橫向大小之比。三、橫向放大率2、說明：對(duì)處于同種介質(zhì)中的薄透鏡，像的性質(zhì)判斷：四、薄透鏡作圖求像法1、主軸外的近軸物點(diǎn)作圖求象法是利用透鏡光心、焦點(diǎn)、焦平面的性質(zhì)，通過作圖來(lái)確定象的位置或光的傳播方向。在近軸條件下適用。

方法：利用如圖所示的三條特殊光線中的兩條，其折射后的交點(diǎn)即為所求像點(diǎn)。①②①②●③●③2、主軸上的物點(diǎn)物方焦平面：在近軸條件，過物方焦點(diǎn)F且與主軸垂直的平面。像方焦平面：在近軸條件，過像方焦點(diǎn)F‘且與主軸垂直的平面。付軸：焦平面上任一點(diǎn)與光心O的連線。有無(wú)窮條。焦平面的性質(zhì)：OF`P`OP`F`OPFOPF物方焦平面像方焦平面利用物方焦平面第一條第二條付軸：P’

OPFP‘

BA利用像方焦平面OPF’P’

BAOPFP‘

BAOPFBA§3.8近軸物點(diǎn)近軸光線成像條件前幾節(jié)研究了在近軸光線條件下，主軸上的發(fā)光物點(diǎn)的反射和折射成像規(guī)律。實(shí)際的物體總有一定的大小，它可以看成由無(wú)數(shù)個(gè)發(fā)光物點(diǎn)構(gòu)成。這些發(fā)光物點(diǎn)有的在主軸上，有的在主軸外。因此，研究具有一定大小的物體的成像，就歸結(jié)為研究主軸外的發(fā)光物點(diǎn)的反射、折射成像。一、費(fèi)馬原理的推論P(yáng)Q

y-xAOh

P`Q`-y`費(fèi)馬原理：光在空間兩定點(diǎn)間傳播時(shí)，光程總是取極值。兩點(diǎn)一定，其極值為一個(gè)確定值。無(wú)論這兩點(diǎn)間有多少條實(shí)際光路，每條光路（即光線）的光程都必須且只能等于這個(gè)確定值。要使物體上的任一點(diǎn)Q（定點(diǎn)）理想成像于Q‘（另一定點(diǎn)），即從Q點(diǎn)發(fā)出的所有光線經(jīng)反射或折射后均會(huì)聚于Q’，必須滿足：從Q點(diǎn)發(fā)出的所有光線到達(dá)Q‘時(shí)，光程均相等?！M(fèi)馬原理的推論等光程成像原理，適用于所有理想成像過程二、近軸物近軸光線球面反射成像PQ

y-xAOh

P`Q`-y`A’

1、物像公式由近軸物點(diǎn)Q發(fā)出的光線，一條在球面頂點(diǎn)O處反射，另一條在球面任意位置A點(diǎn)處反射，兩反射光交于Q`點(diǎn)。

由圖可求得從Q點(diǎn)到Q`點(diǎn)的光程為：當(dāng)反射點(diǎn)A的位置不同時(shí)，h值將不同，因而會(huì)得到不同的光程值。若要使Q點(diǎn)理想成像于Q‘點(diǎn)，由費(fèi)馬原理的推論，光程必須為唯一定值，即其光程與h無(wú)關(guān)。為此令上式中所有含h的項(xiàng)的系數(shù)為0，有：2、說明⑴上述①式實(shí)為，即主軸外任一物點(diǎn)經(jīng)球面反射的成像公式，由于Q點(diǎn)的任意性，垂直于主軸的近軸物體亦滿足此公式。⑵此公式是一般公式，對(duì)主軸外、主軸上的物點(diǎn)均適用。⑶當(dāng)軸上物點(diǎn)P和近軸物點(diǎn)Q具有同一物距s值時(shí)，軸上象點(diǎn)P`和近軸象點(diǎn)Q`必有同一象距s`值，物和象具有幾何相似性，即近軸光條件下近軸物可實(shí)現(xiàn)理想成象。

⑷上述②式反映了物與像的大小關(guān)系，可由圖中幾何關(guān)系直接得到。⑸從公式推導(dǎo)中可看出：主軸外物點(diǎn)要理想成像，必須滿足近軸條件：

A、光線必須是近軸的；B、物點(diǎn)必須是近軸的。三、近軸物近軸光線球面折射成像1、物像公式

PQ

yOA

h+x

-s

s`P`Q`-y`

n

n`近軸物點(diǎn)Q發(fā)出的兩條光線分別在球面的O點(diǎn)和A點(diǎn)發(fā)生折射，折射光交于Q`點(diǎn)。在近軸光線和近軸物點(diǎn)條件下，用二項(xiàng)式定理展開并略去高次項(xiàng)得：當(dāng)折射點(diǎn)A的位置不同時(shí)，h值將不同，因而會(huì)得到不同的光程值。若要使Q點(diǎn)理想成像于Q‘點(diǎn)，由費(fèi)馬原理的推論，光程必須為唯一定值，即其光程與h無(wú)關(guān)。為此令上式中所有含h的項(xiàng)的系數(shù)為0，有：2、說明：⑴上述②式實(shí)為，即主軸外任一物點(diǎn)經(jīng)球面折射的成像公式，由于Q點(diǎn)的任意性，垂直于主軸的近軸物體亦滿足此公式。所以，它是一般公式，對(duì)主軸外、主軸上的物點(diǎn)均適用。

⑵由上述公式可知：若近軸線狀物垂直于主軸，則其像為線狀也垂直于主軸，滿足理想成像條件。⑶上述①式反映了物與像的大小關(guān)系：例題3-3用一個(gè)焦距為20cm的凸透鏡與一個(gè)平面鏡組成共軸光具組，平面鏡位于透鏡右邊10cm處，今置高為1cm的物體于透鏡左方10cm處（系統(tǒng)處于空氣中），（1）求最后成像的大小和性質(zhì)；（2）作出準(zhǔn)確的光路圖。[解]：此題屬三次成像問題。如圖示。y1

y3

y2

y

F1

O1

F1'

O2

（1）物y對(duì)凸透鏡s1=-10cmf1'=20cm∴由高斯公式有：

β1=s1'/s1=(-20)/(-10)=2y1=β1y=2×1=2cm（2）y1對(duì)平面鏡s2=-10-20=-30cm∴s2'=-s2=30cmβ2=1y2=2cm（3）y2對(duì)凸透鏡s3=30+10=40cmf3'=-20cm∴有β3=s3'/s3=(-40)/40=-1y3=β3y2=(-1)×2=-2cm∴最后成像在凸透鏡左方40cm處，為放大、倒立的實(shí)像。光路圖如下：y

y1

y3

y2

F1

O1

F1'

O2

§3.9理想光具組的基點(diǎn)基面對(duì)由多個(gè)球面組成的共軸光具組，在近軸條件下，可采用逐個(gè)球面成像法，應(yīng)用單個(gè)球面的成像公式依次求解，得到最后像。事實(shí)上，實(shí)際共軸光具組由眾多的球面所構(gòu)成且球面與球面間相對(duì)位置關(guān)系并不知道，逐個(gè)球面成像法用起來(lái)并非簡(jiǎn)單、有效。能有更簡(jiǎn)單有效的處理方法嗎？由薄透鏡成像的計(jì)算法和作圖法可知：只要知道了其幾個(gè)基本位置（取值原點(diǎn)—光心、焦點(diǎn)），就可相當(dāng)簡(jiǎn)單地求出像的位置和性質(zhì)。這為求解多球面的共軸光具組問題，給予了啟示。將復(fù)雜共軸光具組簡(jiǎn)單化，找出其類似于薄透鏡光心和焦點(diǎn)的基本位置，用類似于薄透鏡求像的方法，在根本不考慮光一其內(nèi)部實(shí)際的傳播路徑的情況下，解決復(fù)雜共軸光具組求像問題。這是以下幾節(jié)在解決的問題。為解決這一問題高斯提出了理想光具組的模型，建立了光具組的一般理論。一、理想光具組1、定義：能保持光束單心性，保持像和物在幾何上的相似性的光具組，即能理想成像的光具組。2、說明：在高斯理想光具組中，物方的任一點(diǎn)、線、面，在像方均存在與其共軛的點(diǎn)、線、面。高斯理想光具組理論就是建立點(diǎn)與點(diǎn)、直線與直線、平面與平面之間的共軛關(guān)系的純幾何理論。理想光具組的近軸成像理論稱為高斯光學(xué)；幾何光學(xué)原理稱為高斯光學(xué)原理。3、共軸光具組與理想光具組：在近軸區(qū)域內(nèi)，實(shí)際光具組可看成理想光具組。在高斯理論中，除滿足近軸條件外，并不要求光具組是“薄”的。研究光具組的成像問題，只需建立一系列的基點(diǎn)和基面（如主點(diǎn)、焦點(diǎn)、主平面和焦平面），利用它們就可描述光具組的主要光學(xué)特性，而不用去考慮光具組中的實(shí)際光路，使問題大大簡(jiǎn)化。由兩個(gè)球面所構(gòu)成的厚透鏡是最簡(jiǎn)單的共軸光具組。由構(gòu)成它的單球面的基點(diǎn)可求出整個(gè)光具組的基點(diǎn)基面位置。同樣，采用逐個(gè)球面成像的思想，可求出任意多個(gè)球面所構(gòu)成的共軸光具組的基點(diǎn)位置。二、空氣中的厚透鏡如圖示，F(xiàn)、F’為厚透鏡的焦點(diǎn)，Q‘為Q經(jīng)厚透鏡所成的像。在近軸條件下使用逐個(gè)球面成像法求解。研究發(fā)現(xiàn)，只要選擇適當(dāng)