c++課件數(shù)組和廣義表

第五章

數(shù)組和廣義表5.1數(shù)組的定義5.2數(shù)組的順序表示和實現(xiàn)5.3矩陣的壓縮存儲

5.3.1特殊矩陣

5.3.2稀疏矩陣

5.4廣義表的定義

5.5廣義表的存儲結(jié)構(gòu)由于數(shù)組中各元素具有統(tǒng)一的類型，并且數(shù)組元素的下標一般具有固定的上界和下界，因此，數(shù)組的處理比其它復雜的結(jié)構(gòu)更為簡單。多維數(shù)組是向量的推廣。例如，二維數(shù)組A：可以看成是由一個行向量組成的向量，也可以看成是一個列向量組成的向量。()()()()()()()()()數(shù)組和廣義表可看成是一種特殊的線性表，其特殊在于，表中的元素本身也是一種線性表。5.1數(shù)組的定義數(shù)組一旦被定義，它的維數(shù)和維界就不再改變。因此，除了結(jié)構(gòu)的初始化和銷毀之外，數(shù)組只有存取元素和修改元素值的操作。在C語言中，一個二維數(shù)組類型可以定義為其分量類型為一維數(shù)組類型的一維數(shù)組類型，也就是說，typedef

elemtypearray2[m][n];等價于：

typedef

elemtypearray1[n];

typedef

array1array2[m];由于計算機的內(nèi)存結(jié)構(gòu)是一維的，因此用一維內(nèi)存來表示多維數(shù)組，就必須按某種次序?qū)?shù)組元素排成一列序列，然后將這個線性序列存放在存儲器中。又由于數(shù)組一旦建立，結(jié)構(gòu)中的元素個數(shù)和元素間的關(guān)系就不再發(fā)生變化。因此，一般都是采用順序存儲的方法來表示數(shù)組。

通常有兩種順序存儲方式：以行序為主序以列序為主序5.2數(shù)組的順序表示和實現(xiàn)

a11a12……..a1n

a21a22……..a2n

am1am2……..amn

….

按行序為主序存放

amn

……..

am2

am1

……….a2n

……..

a22a21a1n

…….a12

a1101n-1m*n-1nLoc(aij)=Loc(a11)+[(i-1)n+(j-1)]*L

按列序為主序存放01m-1m*n-1m

amn

……..

a2n

a1n……….

am2

……..

a22

a12

am1

…….

a21

a11

a11

a12

……..

a1n

a21

a22……..

a2n

am1

am2

……..

amn

….Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)m+(i-1)]*L

[補充：]多維數(shù)組元素地址的計算(以行序為主序)：①三維數(shù)組：a[b1][b2][b3]Loc(a[i][j][k])=Loc(a[0][0][0])+(i*b2*b3+j*b3+k)*l②多維數(shù)組：a[b1][b2]…[bn]Loc[(a[j1][j2]…[jn])=Loc[a[0][0]…[0])+(j1*b2*b3*…*bn+j2*b3*…*bn+j3*b4*…*bn+…+jn-1*bn+jn)*l縮寫為：Loc[(a[j1][j2]…[jn])＝Loc[a[0][0]…[0])＋其中cn=l,ci-1=bi*ci此式稱為n維數(shù)組的映象函數(shù)。一旦確定了數(shù)組的各維長度ci就是常數(shù)。為了節(jié)省存儲空間，我們可以對這類矩陣進行壓縮存儲：即為多個相同的非零元素只分配一個存儲空間；對零元素不分配空間。5.3矩陣的壓縮存儲在科學與工程計算問題中，矩陣是一種常用的數(shù)學對象，在高級語言編制程序時，就是將一個矩陣描述為一個二維數(shù)組。矩陣在這種存儲表示之下，可以對其元素進行隨機存取。但是在矩陣中非零元素呈某種規(guī)律分布或者矩陣中出現(xiàn)大量的零元素的情況下，則占用了許多單元去存儲重復的非零元素或零元素，這對高階矩陣會造成極大的浪費。

5.3.1特殊矩陣

特殊矩陣是指非零元素或零元素的分布有一定規(guī)律的矩陣，下面我們討論幾種特殊矩陣的壓縮存儲。

(1)對稱矩陣(2)三角矩陣(3)對角矩陣

在一個n階方陣A中，若元素滿足下述性質(zhì)：

aij=aji

0≦i,j≦n-1

則稱A為對稱矩陣，如圖5.1。(1)對稱矩陣:

15137a0050800a10a1118926a20a21a2330251………………..70613an-10an-11an-12…an-1n-1

圖5.1對稱矩陣

對稱矩陣中的元素關(guān)于主對角線對稱，故只要存儲矩陣中上三角或下三角中的元素，讓每兩個對稱的元素共享一個存儲空間，這樣，能節(jié)約近一半的存儲空間。不失一般性，我們按“行優(yōu)先順序”存儲主對角線（包括對角線）以下的元素.

15137a0050800a10a1118926a20a21a2330251………………..70613an-10an-11an-12…an-1n-1

圖5.1對稱矩陣

在這個下三角矩陣中，第i行恰有i+1個元素，元素總數(shù)為：n(n+1)/2

因此，我們可以按從上到下、從左到右將這些元素存放在一個向量sa[0..n(n+1)/2-1]中。為了便于訪問對稱矩陣A中的元素，我們必須在aij和sa[k]之間找一個對應(yīng)關(guān)系。若i≧j，則aij在下三角形中。aij之前的i行（從第0行到第i-1行）一共有1+2+…+i=i(i+1)/2個元素，在第i行上，aij之前恰有j個元素（即ai0,ai1,ai2,…,aij-1），因此有：

k=i*(i+1)/2+j0≦k<n(n+1)/2若i<j，則aij是在上三角矩陣中。因為aij=aji，所以只要交換上述對應(yīng)關(guān)系式中的i和j即可得到：

k=j*(j+1)/2+i0≦k<n(n+1)/2(2)三角矩陣以主對角線劃分，三角矩陣有上三角和下三角兩種。上三角矩陣如圖所示，它的下三角（不包括主對角線）中的元素均為常數(shù)。下三角矩陣正好相反，它的主對角線上方均為常數(shù)，如圖所示。在大多數(shù)情況下，三角矩陣常數(shù)為零。

a00a01…a0n-1a00c…cca11…a1n-1a10a11…c…..……………..cc…an-1n-1an-10an-11…an-1n-1

(a)上三角矩陣(b)下三角矩陣

三角矩陣中的重復元素c可共享一個存儲空間，其余的元素正好有n(n+1)/2個，因此，三角矩陣可壓縮存儲到向量sa[0..n(n+1)/2]中，其中c存放在向量的最后一個分量中.上三角矩陣中，主對角線之上的第i行(0≦i<n)恰有n-i個元素，按行優(yōu)先順序存放上三角矩陣中的元素aij時，aij之前的i行一共有

i(2n-i+1)/2個元素，在第i行上，aij前恰好有j-i個元素：aii,aii+1,…aij-1。因此，sa[k]和aij的對應(yīng)關(guān)系是：

i(2n-i+1)/2+j-i

當i≦j

n(n+1)/2

當i>j(即常數(shù)C的存儲位置)k=下三角矩陣的存儲和對稱矩陣類似，sa[k]和aij對應(yīng)關(guān)系是：

i(i+1)/2+j

i≧j

n(n+1)/2i<jk=

(3)對角矩陣對角矩陣中，所有的非零元素集中在以主對角線為中心的帶狀區(qū)域中，即除了主對角線和主對角線相鄰兩側(cè)的若干條對角線上的元素之外，其余元素皆為零。下圖給出了一個三對角矩陣，

a00a01a10a11a12a21a22a23….…..….圖5.3對角矩陣

an-2n-3an-2n-2an-2n-1an-1n-2an-1n-1非零元素僅出現(xiàn)在主對角(aii,0≦i≦n-1)上，緊鄰主對角線上面的那條對角線上(aii+1,0≦i≦n-2)和緊鄰主對角線下面的那條對角線上(ai+1i,0≦i≦n-2)。顯然，當∣i-j∣>1時，元素aij=0。對角矩陣可按行優(yōu)先順序或?qū)蔷€的順序，將其壓縮存儲到一個向量中，并且也能找到每個非零元素和向量下標的對應(yīng)關(guān)系。由此可知，一個k對角矩陣(k為奇數(shù))A是滿足下述條件的矩陣：若∣i-j∣>(k-1)/2，則元素aij=0。在三對角矩陣里除滿足條件i=0，j=0、1，或i=n-1,j=n-2、n-1或1<i<n-1,j=i-1、i、i+1的元素aij外，其余元素都是零。a00a01

a10a11a12a21

……an-1n-2an-1n-1K=012345……3n-23(n-1)

若按行優(yōu)序為主序來存儲，則除第0行和第n-1行是2個元素外，其余每行的非零元素都要是3個，因此，需存儲的元素個數(shù)為3n-2。

LOC(i,j)=LOC(0,0)+[3*i-1+(j-i+1)]*d=LOC(0,0)+(2i+j)*d

數(shù)組sa中的元素sa[k]與三對角帶狀矩陣中的元素aij存在一一對應(yīng)關(guān)系，在aij之前有i行,共有3*i-1個非零元素，在第i行，aij

前面有j-i+1個非零元素，這樣，非零元素aij的地址為：

上例中，a34對應(yīng)著sa[10]。

k=2*i+j=2*3+4=10a21對應(yīng)著sa[5]k=2*2+1=5上述的各種特殊矩陣，其非零元素的分布都是有規(guī)律的。因此總能找到一種方法將它們壓縮存儲到一個向量中，并且一般都能找到矩陣中的元素與該向量的對應(yīng)關(guān)系，通過這個關(guān)系，仍能對矩陣的元素進行隨機存取。

5.3.2稀疏矩陣

什么是稀疏矩陣？簡單說，設(shè)矩陣A中有s個非零元素，若s遠遠小于矩陣元素的總數(shù)（即s<<m×n），則稱A為稀疏矩陣。精確地說，設(shè)在矩陣A中，有s個非零元素，令e=s/(m*n)，稱e為矩陣的稀疏因子。通常認為e≦0.05時稱之為稀疏矩陣。這樣，一個三元組(i,j,aij)唯一確定了矩陣A的一個非零元。因此，稀疏矩陣可由表示非零元的三元組及其行列數(shù)唯一確定。在存儲稀疏矩陣時，為了節(jié)省存儲單元，很自然地想到使用壓縮存儲方法。但由于非零元素的分布一般是沒有規(guī)律的，因此在存儲非零元素的同時，還必須同時記下它所在的行和列的位置（i,j)。例如，下列三元組表((1,2,12),(1,3,9),(3,1,-3),(3,6,14),(4,3,24),(5,2,18),(6,1,15),(6,4,-7))加上(6，7，8)這一對行、列值及非零元數(shù)便可作為下列矩陣M的另一種描述。而由上述三元組表的不同表示方法可引出稀疏矩陣不同的壓縮存儲方法。

0129000000-30015000000012000180-3000014090024000024000000000–70180000000140001500–7000000000000000

圖5.4稀疏矩陣M和TM=T=（1）三元組順序表假設(shè)以順序存儲結(jié)構(gòu)來表示三元組表，則可得到稀疏矩陣的一種壓縮存儲方法——三元順序表。

#definemaxsize10000

//定義數(shù)組的大小

typedef

int

datatype;

//定義矩陣中元素的類型

typedef

struct{

inti,j;

//非零元素所在行、列

datatypev;

//非零元素的值

}triplet;

//定義數(shù)組中每一元素的類型是三個域的結(jié)構(gòu)體

typedef

struct{tripletdata[maxsize];

int

mu,nu,tu;//矩陣的行、列、稀疏因子的個數(shù)

}tripletable;//定義三元順序表的類型

tripletableA,M,N,T;

設(shè)A為tripletable型的結(jié)構(gòu)變量。右圖所示為稀疏矩陣的三元順序表的表示。678

121213931-3361443245218611564-7ijvA

012345678

Data域munutu

[例：]矩陣的轉(zhuǎn)置運算一個m×n的矩陣A，它的轉(zhuǎn)置B是一個n×m的矩陣，且a[i][j]=b[j][i]，0≦i≦m，0≦j≦n。將A轉(zhuǎn)置為B，就是將A的三元組表a.data置換為表B的三元組表b.data，如果只是簡單地交換a.data中i和j的內(nèi)容，那么得到的b.data將是一個按列優(yōu)先順序存儲的稀疏矩陣B。由于A的列是B的行，因此，按a.data的列序轉(zhuǎn)置，所得到的轉(zhuǎn)置矩陣B的三元組表b.data必定是按行優(yōu)先存放的。678

121213931-3361443245218611564-7ijv012345678maijv768

13-3161521122518319342446-76314012345678mb?解決思路：只要做到

將矩陣行、列維數(shù)互換將每個三元組中的i和j相互調(diào)換重排三元組次序，使mb中元素以N的行(M的列)為主序。

方法一：按M的列序轉(zhuǎn)置

即按mb中三元組次序依次在ma中找到相應(yīng)的三元組進行轉(zhuǎn)置。

為找到M中每一列所有非零元素，需對其三元組表ma從第一行起掃描一遍。由于ma中以M行序為主序,所以由此得到的恰是mb中應(yīng)有的順序算法描述：P99算法5.1或5-1.txt算法分析：T(n)=O(M的列數(shù)n非零元個數(shù)t)

若t與mn同數(shù)量級，則678

121213931-3361443245218611564-7ijv012345678M76

8

13-3161521122518319342446-76314ijv012345678Tqppppppppqqqqppppppppcol=1col=26,7,8分別表示mu,nu和tu域矩陣轉(zhuǎn)置算法StatusTranspose(tripletableM，tripletable

&T){

T.mu=M.nu;T.nu=M.mu;T.tu=M.tu;if(T.tu){q=1;//q為轉(zhuǎn)置以后T的行號//for(col＝1;col<=M.nu;++col)

for(p＝1;p<=M.tu;++p)

if(M.data[p].j==col){T.data[q].i=M.data[p].j;

T.data[q].j=M.data[p].i;

T.data[q].v=M.data[p].v；

++q;}

}returnok}方法二：快速轉(zhuǎn)置即按ma中三元組次序轉(zhuǎn)置，轉(zhuǎn)置結(jié)果放入mb中恰當位置。

此法關(guān)鍵是要預先確定M中每一列第一個非零元在mb中位置。

為確定這些位置，轉(zhuǎn)置前應(yīng)先求得M的每一列中非零元個數(shù)。實現(xiàn)：設(shè)兩個數(shù)組num[col]：表示矩陣M中第col列中非零元個數(shù)cpot[col]：指示M中第col列第一個非零元在mb中位置，顯然有：cpot[1]=1;cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1];(2colma[0].j)1357889colnum[col]cpot[col]12223241506170246算法分析：T(n)=O(M的列數(shù)n+非零元個數(shù)t)

若t與mn同數(shù)量級，則T(n)=O(mn)算法描述：P100算法5.2或5-2.txt6

7

8

121213931-3361443245218611564-7ijv012345678maijv012345678mbcolnum[col]cpot[col]1122323524715806817907

6

8

13-3161521122518319342446-76314pppppppp4629753（2）鏈式存儲結(jié)構(gòu)第一種鏈式：帶行指針向量的單鏈表表示*每行的非零元用一個單鏈表存放*設(shè)置一個行指針數(shù)組，指向本行第一個非零元結(jié)點；若本行無非零元，則指針為空*表頭結(jié)點與單鏈表結(jié)點類型定義typedef

structnode{int

col;

int

val;

structnode*link;}JD;typedef

structnode*TD;^13573-11-12-242^^^^需存儲單元個數(shù)為3t+m

valcollink第二種鏈式：十字鏈表*設(shè)行指針數(shù)組和列指針數(shù)組，分別指向每行、列第一個非零元*結(jié)點定義tpedef

structnode{int

row,col,val;

structnode*down,*right;}JD;

row

col

valdownright113418225234^^^^^^^

5.4廣義表的定義

廣義表（Lists，又稱列表）是線性表的推廣。在第2章中，我們把線性表定義為n>=0個元素a1,a2,a3,…,an的有限序列。線性表的元素僅限于原子項，原子是作為結(jié)構(gòu)上不可分割的成分，它可以是一個數(shù)或一個結(jié)構(gòu)，若放松對表元素的這種限制，容許它們具有其自身結(jié)構(gòu)，這樣就產(chǎn)生了廣義表的概念。廣義表是n(n>=0)個元素a1,a2,a3,…,an的有限序列，其中ai或者是原子項，或者是一個廣義表。通常記作LS=（a1,a2,a3,…,an)。LS是廣義表的名字，n為它的長度。若ai是廣義表，則稱它為LS的子表。廣義表的結(jié)構(gòu)特點:1)廣義表中的數(shù)據(jù)元素有相對次序;2)廣義表的長度定義為最外層包含的元素個數(shù);3)廣義表的深度定義為所含括弧的重數(shù);

注意:“原子”的深度為“0”;

“空表”的深度為14)表頭可以是原子或列表;表尾必定是列表。5)廣義表可以是一個遞歸的表;

遞歸表的深度是無窮值，長度是有限值。A=()

//A是一個空表,它的長度為零B=(e)//列表B只有一個原子e,B的長度為1.C=(a,(b,c,d))//

列表C的長度為2,兩個元素分別為原子a和子表(b,c,d)D=(A,B,C)//列表D的長度為3,三個元素都是列表,顯然,

將子表的值代入后,則有D=((),(e),(a,(b,c,d)))E=(a,E)//

這是一個遞歸的表,它的長度為2,E相當于一個無限的列表E=(a,(a,(a,...)))[注：]一般用大寫字母表示廣義表，小寫字母表示原子項廣義表是一個多層次的線性結(jié)構(gòu)。例如:有A、B、C、D、E五個廣義表的描述如下：

[定義：]

任何一個非空廣義表

LS=(1,2,…,n)均可分解為兩部分

表頭

Head[LS]=Head[(1,2,…,n)]=1

表尾Tail[LS]=Tail[(1,2,…,n)]=(2,…,n)

若用圓括號代替方括號需事先聲明它是head或tail的定界符[例:]Head[(((b,c)))]=((b,c))Tail[(((b,c)))]=()

Head[(a,(b,c))]=aTail[(a,(b,c))]=((b,c))Head[((c))]=(c)Tail[((c))]=()[例:]1.廣義表((a),((b),c),(((d))))的長度是:3；深度是:42.廣義表((a),((b),c),d,e,((I,j),k))的長度是:5；深度是:3[例：]廣義表((a),a)的表頭是:(a)，表尾是:(a)廣義表