高中數(shù)學(xué)必修3幾何概型

3.3.1幾何概型問(wèn)題1：取一根長(zhǎng)度為30cm的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于10cm的概率有多大？從30cm的繩子上的任意一點(diǎn)剪斷.基本事件:記“剪得兩段繩長(zhǎng)都不小于10cm”為事件A.把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生.由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的1/3.問(wèn)題2：有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲乙兩人玩游戲。規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝。在兩種情況下分別求甲獲勝的概率？甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的圓弧的面積有關(guān)，而與字母B所在區(qū)域的位置無(wú)關(guān).射箭比賽的箭靶是涂有五個(gè)彩色的分環(huán).從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色,金色靶心叫“黃心”。奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm.運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭,假設(shè)每箭都能中靶,那么射中黃心的概率是多少?圖3.3-2問(wèn)題3：基本事件:射中靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn).P(A)=問(wèn)題4：有一杯1升的水,其中含有1個(gè)微生物,用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個(gè)微生物的概率.

解：記“小杯水中含有這個(gè)微生物”為事件A,事件A發(fā)生的概率

基本事件：微生物出現(xiàn)的每一個(gè)位置都是一個(gè)基本事件,微生物出現(xiàn)的位置可以是1升水中的任意一點(diǎn).幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型.幾何概型的特點(diǎn):(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.在幾何概型中,事件A的概率的計(jì)算公式如下:4.古典概型與幾何概型的區(qū)別：古典概型幾何概型基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的可能性概率公式無(wú)限多個(gè)有限個(gè)相等相等

P(A)=A包含基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)(3)在1000mL的水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中任取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率

.

0.002(2)在1萬(wàn)平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲(chǔ)藏著石油,如果在海域中任意點(diǎn)鉆探,鉆到油層面的概率

.0.004與面積成比例練一練(1)在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則這個(gè)實(shí)數(shù)a>7的概率為

.0.3與長(zhǎng)度成比例與體積成比例對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要建立模型,找出隨機(jī)事件與所有基本事件相對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概率問(wèn)題,利用幾何概率公式求解.例1、某人午覺(jué)醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他打開(kāi)收音機(jī),想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.解:設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}.我們所關(guān)心的事件A恰好是打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于[50,60]時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的求概率的公式得即“等待的時(shí)間不超過(guò)10分鐘”的概率為與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型

例2.(會(huì)面問(wèn)題)甲、乙二人約定在下午12點(diǎn)到下午5點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去,設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響。求二人能會(huì)面的概率。解：以X,Y

分別表示甲、乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是

即點(diǎn)M落在圖中的陰影部分.所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，即有無(wú)窮多個(gè)結(jié)果.由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的..M(X,Y)y54321012345x與面積有關(guān)的幾何概型二人會(huì)面的條件是：

0

1

2

3

4

5yx54321y=x+1y=x-1記“兩人會(huì)面”為事件A與面積有關(guān)的幾何概型有一飲水機(jī)裝有12升的水,其中含有1個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)下面的奧運(yùn)福娃紀(jì)念杯從這飲水機(jī)中取出一滿(mǎn)杯水,求這杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率.與體積有關(guān)的幾何概型思路點(diǎn)撥：海豚在水池中自由游弋，其位置有無(wú)限個(gè)，且在每個(gè)位置是等可能的，故這是幾何概型問(wèn)題，海豚游弋區(qū)域的面積與水池面積之比就是所求的概率.3、如圖,假設(shè)你在每個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,分別計(jì)算它落到陰影部分的概率.

4、如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，則豆子落在圓內(nèi)的概率是____________。

5、在500的水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)在從中隨機(jī)取出2水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率為(

)A.0.5B.0.4C.0.004D.不能確定C6、公共汽車(chē)在0~5分鐘內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)車(chē)站，求汽車(chē)在1~3分鐘之間到達(dá)的概率。分析：將0~5分鐘這段時(shí)間看作是一段長(zhǎng)度為5個(gè)單位長(zhǎng)度的線(xiàn)段，則1~3分鐘是這一線(xiàn)段中的2個(gè)單位長(zhǎng)度。解：設(shè)“汽車(chē)在1~3分鐘之間到達(dá)”為事件A，則所以“汽車(chē)在1~3分鐘之間到達(dá)”的概率為課堂小結(jié)1.幾何概型的特點(diǎn).2.幾何概型的概率公式.3.公式的運(yùn)用.古典概型:特點(diǎn):(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.返回練習(xí):甲、乙兩艘輪船都要?？吭谕粋€(gè)泊位，他們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)。設(shè)甲乙兩艘輪船?？坎次坏臅r(shí)間分別是4小時(shí)和6小時(shí)，求有一艘輪船停靠泊位時(shí)必須等待一段時(shí)的概率。分析：有一艘輪船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間就是