北京師范大學(xué)附中2021-2022學(xué)年高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．2．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．33．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（）A． B．C． D．4．四人并排坐在連號(hào)的四個(gè)座位上，其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是（）A．12 B．16 C．20 D．85．已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或6．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，則()A．，b為任意非零實(shí)數(shù) B．，a為任意非零實(shí)數(shù)C．a(chǎn)、b均為任意實(shí)數(shù) D．不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b8．的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．409．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．2010．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．1311．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．12．明代數(shù)學(xué)家程大位（1533~1606年），有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便，用其畢生心血寫(xiě)出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計(jì)算的鼻祖．如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問(wèn)題．執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)．甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是__________．14．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的最大值為_(kāi)_____.15．從編號(hào)為，，，的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_(kāi)____________.16．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)原有甲、乙兩條生產(chǎn)線，為了分析兩條生產(chǎn)線的效果，先從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值．該項(xiàng)指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．乙生產(chǎn)線樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)合計(jì)頻數(shù)2184814162100（1）根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，以從樣本中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的頻率近似代替從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的概率，估計(jì)從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件恰有2件為合格品的概率；（2）現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產(chǎn)線，根據(jù)上述圖表所提供的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)？若有90%把握，請(qǐng)從合格率的角度分析保留哪條生產(chǎn)線較好？甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品不合格品合計(jì)附：，．0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87918．（12分）如圖，已知橢圓C:x24+y2=1，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明：原點(diǎn)O到直線l的距離為定值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求的值；（2）求在區(qū)間上的最小值；（3）在（1）的條件下，若，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立．20．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷(xiāo)，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:試銷(xiāo)價(jià)格(元)產(chǎn)品銷(xiāo)量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)，則稱(chēng)該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)為的概率.22．（10分）如圖，已知平面與直線均垂直于所在平面，且．（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2．C【解析】

否命題與逆命題是等價(jià)命題，寫(xiě)出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價(jià)命題，寫(xiě)出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證正確；寫(xiě)出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行判斷．(2)當(dāng)一個(gè)命題改寫(xiě)成“若，則”的形式之后，判斷這個(gè)命題真假的方法：①若由“”經(jīng)過(guò)邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．3．C【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)，，的零點(diǎn)為與，，的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即得解.【詳解】函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為與，，的交點(diǎn)，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.4．A【解析】

先將除A，B以外的兩人先排，再將A，B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，再相乘得答案.【詳解】先將除A，B以外的兩人先排，有種；再將A，B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，有種，所以共有種.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查排列中不相鄰問(wèn)題，常用插空法，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

先通過(guò)得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時(shí)為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開(kāi)口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題目.6．A【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo)，得到向量的坐標(biāo)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到向量的坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解：∵復(fù)數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

設(shè)＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.7．A【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)可得，為任意非零實(shí)數(shù).【詳解】依題意，在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對(duì)任意上式都成立，可得，為非零實(shí)數(shù).故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．A【解析】

化簡(jiǎn)得到，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得到答案.【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9．C【解析】

利用等差通項(xiàng)，設(shè)出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題10．D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了特殊值代入法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11．D【解析】

根據(jù)框圖，模擬程序運(yùn)行，即可求出答案.【詳解】運(yùn)行程序，，

，，，，，結(jié)束循環(huán)，故輸出，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，條件分支結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.12．C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【詳解】，；，；，；，；，此時(shí)不滿足，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果為，由題意，得．故選:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計(jì)算，意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用排列組合公式進(jìn)行計(jì)算,再利用古典概型公式求出不是特等獎(jiǎng)的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng),甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,則兩人同時(shí)抽取兩張共有：種排法排除特等獎(jiǎng)外兩人選兩張共有：種排法.故兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.14．【解析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)函數(shù)解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達(dá)式，進(jìn)而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則所以，當(dāng)函數(shù)最大，最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式并求最值，屬于簡(jiǎn)單題.15．【解析】

基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，由此能求出概率.【詳解】解：從編號(hào)為，，，的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，分別為：，，，，，，，.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，可求得，代入圓柱的表面積公式，即得解【詳解】設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，則由，得，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）0.0081（2）見(jiàn)解析，保留乙生產(chǎn)線較好．【解析】

(1)先求出任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率，“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好發(fā)生2次的概率用二項(xiàng)分布概率即可解決.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)算出的觀測(cè)值即可判斷.【詳解】（1）根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，樣本中任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率為：．設(shè)“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件且為合格品”為事件，事件發(fā)生的概率為，則由樣本可估計(jì)．那么“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事件恰好發(fā)生2次，其概率為：．（2）列聯(lián)表：甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品9096186不合格品10414合計(jì)100100200的觀測(cè)值，∵，，∴有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)．由（1）知甲生產(chǎn)線的合格率為0.9，乙生產(chǎn)線的合格率為，∵，∴保留乙生產(chǎn)線較好．【點(diǎn)睛】此題考查獨(dú)立重復(fù)性檢驗(yàn)二項(xiàng)分布概率，獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn)，認(rèn)準(zhǔn)特征代入公式即可，屬于較易題目.18．(I)|FP|=2-32x【解析】

(I)直接利用兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)得到答案.(II)設(shè)Ax3,y3，Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設(shè)Ax3,y3，B4k2+1x2OA=OB，故y3PA=PF，故1+k由已知得：x3<x故1+k即1+k2?故原點(diǎn)O到直線l的距離為d=m【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)的線段長(zhǎng)度，定值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19．（1）2；（2）；（3）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，由已知函數(shù)在處取得極值，得到，即可求解的值；（2）由（1）得，定義域?yàn)?，分，和三種情況討論，分別求得函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論；（3）由，得到，把，只需證，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由，定義域?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以.(2)由（1）得，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，當(dāng)時(shí)，由得，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，綜上可得：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為1，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為.（3）由得，當(dāng)時(shí)，，則，欲證，只需證，即證，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，故，即當(dāng)時(shí)，恒有成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．20．（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，，則且為的中點(diǎn)，又∵為的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，故平面．（2）由平面，得，．以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，．取平面的一個(gè)法向量為，由，得：，令，得同理可得平面的一個(gè)法向量為∵平面平面，∴解得，