圓錐曲線(題型完美版)

..高中數(shù)學(xué)選修2-1資料第一章圓錐曲線第一節(jié)橢圓1．橢圓的定義<1>定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)2a<2a______|F1F2|>的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的________,兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的________．※<2>另一種定義方式<見人教A版教材選修2－1P47例6、P50>：平面內(nèi)動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離和它到定直線l的距離之比等于常數(shù)e<0＜e＜1>的軌跡叫做橢圓．定點(diǎn)F叫做橢圓的一個焦點(diǎn),定直線l叫做橢圓的一條準(zhǔn)線,常數(shù)e叫做橢圓的__________．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上<1>圖形<2>標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f<y2,a2>＋eq\f<x2,b2>＝1<a>b>0><3>范圍－a≤x≤a,－b≤y≤b－a≤y≤a,－b≤x≤b<4>中心原點(diǎn)O<0,0><5>頂點(diǎn)A1<－a,0>,A2<a,0>B1<0,－b>,B2<0,b><6>對稱軸x軸,y軸<7>焦點(diǎn)F1<0,－c>,F2<0,c><8>焦距2c＝2eq\r<a2－b2><9>離心率※<10>準(zhǔn)線x＝±eq\f<a2,c>y＝±eq\f<a2,c>3.橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P<x0,y0>與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．如圖所示,設(shè)∠F1PF2＝θ.<1>當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時,θ最大．<2>S△PF1F2＝eq\f<1,2>|PF1||PF2|·sinθ＝b2·eq\f<sinθ,1＋cosθ>＝b2taneq\f<θ,2>＝c|y0|,當(dāng)|y0|＝b,即P為短軸端點(diǎn)時,S△PF1F2取最大值,為bc.<3>焦點(diǎn)三角形的周長為2<a＋c>．<4>通徑：過焦點(diǎn)的垂直于x軸〔或y軸的直線與橢圓的兩交點(diǎn)A,B之間的距離。大小為。題型一橢圓的定義[例1]<1>平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．<><2>方程mx2＋ny2＝1<m>0,n>0,m≠n>表示的曲線是橢圓．<><3>eq\f<y2,a2>＋eq\f<x2,b2>＝1<a≠b>表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．<><4>eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>與eq\f<y2,a2>＋eq\f<x2,b2>＝1<a>b>0>的焦距相同．<>[例2]已知方程eq\f<x2,5－m>＋eq\f<y2,m＋3>＝1表示橢圓,則m的取值范圍為<>A．<－3,5>B．<－3,1>C．<1,5>D．<－3,1>∪<1,5>[變式1]"－3<m<5"是"方程eq\f<x2,5－m>＋eq\f<y2,m＋3>＝1表示橢圓"的<>A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[變式2]方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是_______.[變式3]〔2017?南開區(qū)模擬已知橢圓長軸在x軸上,若焦距為4,則m等于〔A．4B．5C．7D．8[變式4]〔2013秋?西山區(qū)校級期末已知橢圓方程為x2+4y2=16,求出其頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率．題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第一類定義法求軌跡方程[例1]AOBPAOBPxy[例2]設(shè)動圓與圓外切,與內(nèi)切,求動圓圓心的軌跡方程.[變式1]已知圓C：<x－3>2＋y2＝100及點(diǎn)A<－3,0>,P是圓C上任意一點(diǎn),線段PA的垂直平分線l與PC相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的軌跡方程．[變式2]<eq\a\vs4\al<2013·全國課標(biāo)Ⅰ>>已知圓M：<x＋1>2＋y2＝1,圓N：<x－1>2＋y2＝9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C,則C的方程為____________．第二類橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[例1]已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)P〔2,0和點(diǎn),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.[例2]已知一橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸且與橢圓有相同的焦點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn)〔3,－2,求此橢圓的方程.[變式1]兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)是〔0,－2、〔0,2,并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)[變式2]已知橢圓的中心在原點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)P〔3,0且a=3b,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.[例3]〔2016?河?xùn)|區(qū)一模已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)M<1,>,過點(diǎn)P〔2,1的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B．求橢圓C的方程；[變式3]〔2016秋?灌南縣校級期中求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：〔1焦點(diǎn)在x軸上,a=6,e=；〔2焦點(diǎn)在y軸上,c=3,e=．[例3]〔2016春?伊寧市校級期中已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1〔0,-1、F2〔0,1,直線y=4是橢圓的一條準(zhǔn)線．求橢圓方程．[例4]〔2016秋?XX期末在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為,過F1的直線l交C于A、B兩點(diǎn),且△ABF2的周長是16,求橢圓C的方程．[變式4]〔2015秋?霍邱縣校級期末已知橢圓的中心在原點(diǎn),它在x軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線互相垂直,且此焦點(diǎn)和x軸上的較近端點(diǎn)的距離為4〔-1,求橢圓方程．[例5]〔2015秋?永年縣期末已知F1,F2是橢圓的兩個焦點(diǎn),現(xiàn)有橢圓上一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和為20,且|MF1|、|F1F2|、|MF2|成等差數(shù)列,試求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[變式5]〔2016?天津設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,已知,其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率．求橢圓的方程；題型三橢圓的焦點(diǎn)三角形性質(zhì)一：過橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑<垂直于焦點(diǎn)的弦>最短,通徑為性質(zhì)二：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則.性質(zhì)三：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則[例1]若P是橢圓上的一點(diǎn),、是其焦點(diǎn),且,求△的面積.[例2]已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn),橢圓上一點(diǎn)使,求橢圓離心率的取值范圍。[變式1]已知F1,F2是橢圓的兩個焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),∠F1PF2＝60°.求橢圓離心率的范圍[變式2]橢圓上一點(diǎn)P與橢圓兩個焦點(diǎn)、的連線互相垂直,則△的面積為〔A.20B.22C.28D.24[變式3]橢圓的左右焦點(diǎn)為、,P是橢圓上一點(diǎn),當(dāng)△的面積為1時,的值為〔A.0B.1C.3D.61.〔2017?崇明縣一模如圖,已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,F〔-2,0為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),滿足|OP|=|OF|且|PF|=4,則橢圓C的方程為〔A．B．C．D．2.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1<0,－1>、F2<0,1>,P是橢圓上一點(diǎn),并且PF1＋PF2＝2F1F2,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．3.已知一橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸且與橢圓有相同的焦點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn)〔3,－2,求此橢圓的方程。4.已知P為橢圓上的一點(diǎn),是兩個焦點(diǎn),,求的面積.我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)1.橢圓的范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi),所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|x|≤a,|y|≤b.2.橢圓的對稱性對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,把x換成-x,或把y換成-y,或把x、y同時換成-x、-y,方程都不變,所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形,且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形,這個對稱中心稱為橢圓的中心.3.橢圓的頂點(diǎn)①橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn).②橢圓〔a＞b＞0與坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即為橢圓的四個頂點(diǎn),坐標(biāo)分別為A1〔-a,0,A2〔a,0,B1〔0,-b,B2〔0,b.③線段A1A2,B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b.a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.4.橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率,用e表示,記作.②因?yàn)閍＞c＞0,所以e的取值范圍是0＜e＜1.e越接近1,則c就越接近a,從而越小,因此橢圓越扁；反之,e越接近于0,c就越接近0,從而b越接近于a,這時橢圓就越接近于圓.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,c=0,這時兩個焦點(diǎn)重合,圖形變?yōu)閳A,方程為x2+y2=a2.要點(diǎn)詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征〔如下圖：〔1,,；〔2,,；〔3,,；5．橢圓的第二定義、準(zhǔn)線當(dāng)點(diǎn)與一個定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時,這個點(diǎn)的軌跡是橢圓．定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線,常數(shù)是橢圓的離心率．對于橢圓,相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是．根據(jù)對稱性,相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是．對于橢圓的準(zhǔn)線方程是．可見橢圓的離心率就是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比,這就是離心率的幾何意義．由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為．題型一橢圓簡單的幾何性質(zhì)[例1]求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo),并用描點(diǎn)法畫出這個橢圓.[變式1]求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo).[例2]已知橢圓的離心率為,求的值．[例3]求橢圓的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線；左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線．[變式2]求橢圓方程的準(zhǔn)線方程．題型二橢圓的離心率[例1]〔2017?河?xùn)|區(qū)模擬橢圓的離心率為_______.[變式1]〔2017?XX區(qū)模擬橢圓的離心率等于_______.[例2]〔1已知橢圓的一個焦點(diǎn)將長軸分成長為的兩段,求其離心率；〔2已知橢圓的一個焦點(diǎn)到長軸兩端點(diǎn)的距離分別為10和4,求其離心率.[例3]從橢圓短軸的一個端點(diǎn)看長軸兩端點(diǎn)的視角為,則此橢圓的離心率為.[變式1]橢圓的一個頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,則此橢圓的離心率是〔[變式2]已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍,則橢圓的離心率.[例4]橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為,焦距為,若成等差數(shù)列,則橢圓的離心率為________.[例5]已知m,n,m+n成等差數(shù)列,m,n,mn成等比數(shù)列,則橢圓的離心率為.[變式3]已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列,則橢圓的離心率是.[例6]已知橢圓〔>0,>0的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,若BF⊥BA,則稱其為"優(yōu)美橢圓",那么"優(yōu)美橢圓"的離心率為。[例7]在ABC中,,,如果一個橢圓過A、B兩點(diǎn),它的一個焦點(diǎn)為C,另一個焦點(diǎn)在AB上,求這個橢圓的離心率.[變式4]以、為焦點(diǎn)的橢圓＝１〔上一動點(diǎn)P,當(dāng)最大時的正切值為2,則此橢圓離心率e的大小為。[變式5]如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),當(dāng)時,其離心率為,此類橢圓被稱為"黃金橢圓".類比"黃金橢圓",可推算出"黃金雙曲線"的離心率e等于.[變式6]如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為.1.平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外,因此,平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種,任給一點(diǎn)M〔x,y,若點(diǎn)M〔x,y在橢圓上,則有；若點(diǎn)M〔x,y在橢圓內(nèi),則有；若點(diǎn)M〔x,y在橢圓外,則有.2.直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組,消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程,其判別式為Δ.①Δ＞0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(diǎn)<或兩個公共點(diǎn)；②Δ＝0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(diǎn)<或一個公共點(diǎn)>；③Δ＜0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．3.直線與橢圓的相交弦設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn),則==同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理,需作以下變形：[例1]若直線與橢圓恒有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.[例2]對不同實(shí)數(shù)m,討論直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù).[變式1]直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2/9+y2/m=1總有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍是〔A.1/2≤m＜9B.9＜m＜10C.1≤m＜9D.1＜m＜9[變式2]直線y=mx+1與橢圓x2+4y2=1有且只有一個交點(diǎn),則m2=〔A.B.C.D.題型二弦長[例1]求直線x－y＋1=0被橢圓截得的弦長[變式1]已知橢圓及直線．〔1當(dāng)為何值時,直線與橢圓有公共點(diǎn)？〔2若直線被橢圓截得的弦長為,求直線的方程．[例2]〔2016秋?仙桃校級期末已知橢圓,過左焦點(diǎn)F1傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．求弦AB的長．[變式2]〔2016秋?黃陵縣校級期末已知橢圓C：的一個頂點(diǎn)為A〔2,0,離心率為．直線y=x-1與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N．〔1求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2求線段MN的長度．題型三點(diǎn)差法[例1]已知點(diǎn)P〔4,2是直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn),求直線的方程.[變式1]已知橢圓的一條弦的斜率為3,它與直線的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo).[例2]已知橢圓E：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的右焦點(diǎn)為F<3,0>,過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為<1,－1>,則E的方程為<>A.eq\f<x2,45>＋eq\f<y2,36>＝1 B.eq\f<x2,36>＋eq\f<y2,27>＝1C.eq\f<x2,27>＋eq\f<y2,18>＝1 D.eq\f<x2,18>＋eq\f<y2,9>＝1[例3]過點(diǎn)M<1,1>作斜率為－eq\f<1,2>的直線與橢圓C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率等于________．[變式2]過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦,使弦被點(diǎn)平分,求這條弦所在直線的方程。[變式3]已知雙曲線,經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線,使與雙曲線交于、,且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線,求出它的方程,若不存在,說明理由。橢圓綜合1.〔2016春?XX校級期末已知橢圓M：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的離心率為,短軸的長為2．〔1求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程〔2若經(jīng)過點(diǎn)〔0,2的直線l與橢圓M交于P,Q兩點(diǎn),滿足＝0,求l的方程．2.〔2016秋?龍海市校級期末已知橢圓C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的焦距為,橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩個焦點(diǎn)的距離之和為6．〔Ⅰ求橢圓C的方程；〔Ⅱ設(shè)直線l：y=kx-2與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P〔0,1,且|PA|=|PB|,求直線l的方程．3.〔2016秋?萬州區(qū)校級期末已知命題p：方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；命題q：關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式.〔1若命題p為真,求實(shí)數(shù)t的取值范圍；〔2若命題p是命題q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．4.〔2016秋?鄰水縣期末已知橢圓C：eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的離心率為,左焦點(diǎn)為F〔-1,0,過點(diǎn)D〔0,2且斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)．〔1求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2求k的取值范圍.5.〔2016秋?尖山區(qū)校級期末已知橢圓eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的離心率為,且．〔1求橢圓的方程；〔2直線l：x-y+m=0與橢圓交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)m,使線段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上,若存在,求出m的值；若不存在,說明理由．第二節(jié)雙曲線1.雙曲線的定義在平面內(nèi),到兩個定點(diǎn)、的距離之差的絕對值等于常數(shù)〔大于0且的動點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.要點(diǎn)詮釋：1.雙曲線的定義中,常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：,這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)"兩邊之差小于第三邊"來理解；2.若去掉定義中的"絕對值",常數(shù)滿足約束條件：〔,則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若〔,則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3.若常數(shù)滿足約束條件：,則動點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線〔包括端點(diǎn)；4.若常數(shù)滿足約束條件：,則動點(diǎn)軌跡不存在；5.若常數(shù),則動點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：,其中；2.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：,其中題型一雙曲線的定義[例1]已知點(diǎn)F1<－4,0>和F2<4,0>,曲線上的動點(diǎn)P到F1、F2距離之差為6,則曲線方程為〔A.B.＝1<y>0>C.或D.<x>0>[例2]已知點(diǎn)P<x,y>的坐標(biāo)滿足,則動點(diǎn)P的軌跡是〔A．橢圓B．雙曲線中的一支C．兩條射線D．以上都不對[變式1]"ab<0"是"曲線ax2＋by2＝1為雙曲線"的〔A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[變式2]〔2015?南市區(qū)校級模擬已知M〔-2,0、N〔2,0,|PM|-|PN|=4,則動點(diǎn)P的軌跡是〔A．雙曲線 B．雙曲線左邊一支C．一條射線 D．雙曲線右邊一支[例3]已知方程表示雙曲線,則k的取值范圍是〔A．－1<k<1B．k>0C．k≥0D．k>1或k<－1[變式3]〔2014?XX二模如果方程表示雙曲線,則m的取值范圍是〔A．〔2,+∞B．〔-2,-1C．〔-∞,-1D．〔1,2[變式3]已知雙曲線8kx2－ky2=2的一個焦點(diǎn)為,則k的值等于〔A．－2B．1C．－1D．題型一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程類型一定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程[例1]一動圓過定點(diǎn)A<－4,0>,且與定圓B：<x－4>2＋y2＝16相外切,則動圓圓心的軌跡方程為________[例2]動圓與圓x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切,則動圓圓心的軌跡為<>A．雙曲線的一支B．圓C．拋物線D．雙曲線[變式]已知圓C1：<x＋3>2＋y2＝1和圓C2：<x－3>2＋y2＝9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為____________．類型二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程[例1]求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：〔1已知兩焦點(diǎn),雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對值等于8.〔2雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為,經(jīng)過點(diǎn).[例2]求中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,且虛軸長與實(shí)軸長的比為,焦距為10的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.[變式1]對稱軸為坐標(biāo)軸,經(jīng)過點(diǎn)P<3,2eq\r<7>>,Q<－6eq\r<2>,7>。[例3]求與雙曲線有公共焦點(diǎn),且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.[變式2]求中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,且頂點(diǎn)在軸,焦距為10,的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.焦點(diǎn)三角形：性質(zhì)1：若則特別地,當(dāng)時,有.性質(zhì)2：雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與F1F2相切于實(shí)軸頂點(diǎn)；且當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線左支時,切點(diǎn)為左頂點(diǎn),且當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線右支時,切點(diǎn)為右頂點(diǎn)。性質(zhì)3：雙曲線離心率為e,其焦點(diǎn)三角形PF1F2的旁心為A,線段PA的延長線交F1F2的延長線于點(diǎn)B,則.性質(zhì)4：雙曲線的焦點(diǎn)三角形PF1F2中,當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時,有當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時,有[例1]已知F1,F2是雙曲線eq\f<x2,4>－y2＝1的兩個焦點(diǎn),P是雙曲線上一點(diǎn),且∠F1PF2＝90°,則△F1PF2的面積是<>．A．1B．eq\f<\r<5>,2>C．2D．eq\r<5>[變式1]已知雙曲線eq\f<x2,9>－eq\f<y2,16>＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,若雙曲線上一點(diǎn)P使∠F1PF2＝90°,則△F1PF2的面積是<>A．12B．16C．24D．32[例2]雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn),則.[例3]設(shè)雙曲線,、是其兩個焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線右支上一點(diǎn)若離心率,則.[例4]雙曲線離心率為,其焦點(diǎn)三角形的旁心為,線段的延長線交的延長線于點(diǎn),若,,則離心率.1.雙曲線兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn),,焦距范圍,,對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)軸實(shí)軸長=,虛軸長=離心率漸近線方程要點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上,因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程,判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù),如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)在y軸上.對于雙曲線,a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.2.雙曲線的漸近線〔1已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為,則其漸近線方程為已知雙曲線方程,將雙曲線方程中的"常數(shù)"換成"0",然后因式分解即得漸近線方程.〔2已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為,則可設(shè)雙曲線方程為,根據(jù)已知條件,求出即可.〔3與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為〔,焦點(diǎn)在軸上,,焦點(diǎn)在y軸上〔4等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直,為,因此等軸雙曲線可設(shè)為.3.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為.題型一雙曲線簡單的幾何性質(zhì)[例1]求雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程與離心率.[變式1]雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍,則m等于<>A． B．－4 C．4 D.[例2]已知雙曲線方程,求漸近線方程：〔1；〔2[變式2]求下列雙曲線方程的漸近線方程：〔1；〔2；〔3[變式3]中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為的圓錐曲線的焦點(diǎn)在y軸上,則它的漸近線方程為〔A．B．C．D．[例3]根據(jù)下列條件,求雙曲線方程.〔1與雙曲線有共同的漸近線,且過點(diǎn)；〔2一漸近線方程為,且雙曲線過點(diǎn)[變式4]過點(diǎn)<2,-2>且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線是〔A.B.C.D.[變式5]設(shè)雙曲線的漸近線方程為,則的值為〔A．4B．3C．2D．1[變式6]雙曲線與有相同的〔A．實(shí)軸B．焦點(diǎn)C．漸近線D．以上都不對[例4]雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于______．[變式7]雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于〔A．2B．3C．4D．5題型二雙曲線的離心率[例1]已知雙曲線EQ\f<x\S<2>,a\S<2>>－\f<y\S<2>,b\S<2>>＝1的一條漸近線方程為y＝EQ\f<4,3>x,則雙曲線的離心率為.[變式1]已知雙曲線的一條準(zhǔn)線為,則該雙曲線的離心率為.[例2]已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為eq\f<π,3>,則雙曲線的離心率為.[例3]已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn),以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上,則雙曲線的離心率是.[變式2]已知雙曲線<a>0,b>0>的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn),則此雙曲線離心率的取值范圍是.[變式3]已知以雙曲線C的兩個焦點(diǎn)及虛軸的兩個端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中,有一個內(nèi)角為60°,則雙曲線C的離心率為.[例4]已知雙曲線,且PF1⊥PF2,｜PF1｜｜PF2｜＝4ab,則雙曲線的離心率是.[例5]設(shè)和為雙曲線<>的兩個焦點(diǎn),若,是正三角形的三個頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為.[變式4]過雙曲線<a＞0,b＞0>的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn),以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn),則雙曲線的離心率等于.[變式5]設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為,虛軸的一個端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為.[例6]已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且,則此雙曲線的離心率e的最大值為.[例7]雙曲線〔a＞0,b＞0的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為.[變式6]雙曲線〔,的左、右焦點(diǎn)分別是,過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn),若垂直于軸,則雙曲線的離心率為.1.直線與雙曲線的位置關(guān)系將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程,其判別式為Δ.若即,直線與雙曲線漸近線平行,直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若即,①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交,有兩個交點(diǎn)；②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切,有一個公共點(diǎn)；③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離,無公共點(diǎn)．直線與雙曲線有一個公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.直線與雙曲線的相交弦設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn),則==同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理,需作以下變形：題型一直線與雙曲線的位置關(guān)系[例1]直線l過點(diǎn)<1,1>,與雙曲線只有一個公共點(diǎn),則滿足條件的l有〔A.1條B.2條C.4條D.無數(shù)條[例2]已知雙曲線x2－y2=4,直線l：y=k<x－1>,討論直線與雙曲線公共點(diǎn)個數(shù).[例3]過點(diǎn)與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)的直線有幾條,分別求出它們的方程。[變式1]"直線與雙曲線有唯一交點(diǎn)"是"直線與雙曲線相切"的〔A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.不充分不必要條件[變式2]若直線y=kx+1與曲線x=有兩個不同的交點(diǎn),則k的取值范圍是〔A.-<k<B.-<k<-1C.1<k<D.k<-或k>[變式3]直線y=<x―>與雙曲線的交點(diǎn)個數(shù)是〔A.0個B.1個C.2個D.4個題型二弦長[例1]求直線被雙曲線截得的弦長.[例2]垂直于直線的直線被雙曲線截得的弦長為,求直線的方程.[變式1]斜率為2的直線l被雙曲線截得的弦長為2,則直線l的方程是〔A.y=2x±B.y=2x±C.y=2x±D.y=2x±[變式2]過雙曲線16x2-9y2=144的右焦點(diǎn)作傾斜角為的弦AB,則|AB|等于.題型三點(diǎn)差法在雙曲線〔＞0,＞0中,若直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn),弦MN所在的直線的斜率為,則.同理可證,在雙曲線〔＞0,＞0中,若直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn),弦MN所在的直線的斜率為,則.[例1]已知雙曲線,過點(diǎn)作直線交雙曲線C于A、B兩點(diǎn).若P恰為弦AB的中點(diǎn),求直線的方程.[例2]已知雙曲線與點(diǎn)〔1斜率為且過點(diǎn)P的直線與C有兩個公共點(diǎn),求的取值范圍；〔2是否存在過點(diǎn)P的弦AB,使得AB的中點(diǎn)為P？〔3試判斷以為中點(diǎn)的弦是否存在.[例3]設(shè)雙曲線的中心在原點(diǎn),以拋物線的頂點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線．〔Ⅰ試求雙曲線C的方程；〔Ⅱ設(shè)直線與雙曲線交于兩點(diǎn),求；〔Ⅲ對于直線,是否存在這樣的實(shí)數(shù),使直線與雙曲線的交點(diǎn)關(guān)于直線<為常數(shù)>對稱,若存在,求出值；若不存在,請說明理由．[變式1]已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為,直線與其相交于M、N兩點(diǎn),MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程為〔A.B.C.D.[變式2]設(shè)A、B是雙曲線上兩點(diǎn),點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn).求直線AB的方程。[變式3]已知雙曲線,過點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn).〔1求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡;〔2若點(diǎn)P恰好是弦AB的中點(diǎn),求直線的方程和弦AB的長.雙曲線綜合1.〔2016秋?寧城縣期末已知命題p：k2-8k-20≤0,命題q：方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．〔Ⅰ命題q為真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍；〔Ⅱ若命題"p∨q"為真,命題"p∧q"為假,求實(shí)數(shù)k的取值范圍．2.〔2016秋?泉港區(qū)校級期末若拋物線的頂點(diǎn)是雙曲線x2-y2=1的中心,焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)〔1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2若直線l過點(diǎn)C〔2,1交拋物線于M,N兩點(diǎn),是否存在直線l,使得C恰為弦MN的中點(diǎn)？若存在,求出直線l方程；若不存在,請說明理由．3.〔2016春?內(nèi)江期末〔1若雙曲線的離心率e∈〔1,2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；〔2若方程表示橢圓,求實(shí)數(shù)t的取值范圍．第三節(jié)拋物線1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l<l不經(jīng)過點(diǎn)F>的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2px<p>0>；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝－2px<p>0>；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝2py<p>0>；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝－2py<p>0>．注意：定義的理解和方程中p的意義<1>定義的實(shí)質(zhì)可歸納為"一動三定",一個動點(diǎn),設(shè)為M；一個定點(diǎn)F,叫做拋物線的焦點(diǎn)；一條定直線l,叫做拋物線的準(zhǔn)線；一個定值,即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離和它到直線l的距離的比值等于1.<2>p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.[例1]若動圓與定圓:相外切,且與直線相切,求動圓圓心的軌跡方程.[變式1]平面上動點(diǎn)P到定點(diǎn)F〔1,0的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1,求動點(diǎn)P的軌跡方程。[變式2]若點(diǎn)M到定點(diǎn)F〔4,0的距離比它到直線l：x+6=0的距離小2,求點(diǎn)M的軌跡方程。[例2]求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：〔1過點(diǎn)<-2,3>；〔2焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上；〔3準(zhǔn)線過點(diǎn)<2,3>；〔4焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5。[例3]已知拋物線關(guān)于y軸對稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。[變式3]求過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程.[變式4]拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是x軸,拋物線上的點(diǎn)<－5,2eq\r<5>>到焦點(diǎn)的距離是6,則拋物線的方程為<>A．y2＝－2x B．y2＝－4xC．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x[例4]〔2017?XX一模若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,則p的值為〔A．-2B．2C．-4D．4[變式5]〔2017?河西區(qū)模擬若拋物線y2=2px〔p＞0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,0,則p的值為〔A．1B．2C．4D．8[變式6]〔2017?和平區(qū)模擬拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是〔A．x=2B．y=2C．x=-2D．y=-2[變式7]若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,則a的值為〔A．-2 B．2C．-4 D．4[例5]已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上一點(diǎn)M〔m,－3到焦點(diǎn)的距離為5,求m的值、拋物線的方程和準(zhǔn)線方程。[變式8]設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),其焦點(diǎn)F在y軸上,又拋物線上的點(diǎn)<k,－2>與F點(diǎn)的距離為4,則k的值是<>A．4 B．4或－4C．－2 D．2或－21.拋物線的簡單幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px〔p＞0y2=－2px〔p＞0x2=2py〔p＞0x2=－2py〔p＞0頂點(diǎn)O〔0,0范圍x≥0,x≤0,y≥0,y≤0,對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)離心率e=1準(zhǔn)線方程焦半徑2.拋物線的性質(zhì)：①焦點(diǎn)坐標(biāo)是：；②準(zhǔn)線方程是：；③焦半徑公式：若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離〔稱為焦半徑是：；④拋物線上的動點(diǎn)可設(shè)為P或或P3.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)：焦點(diǎn)弦：線段AB為拋物線y2＝2px<p>0>的焦點(diǎn)弦,A<x1,y1>,B<x2,y2>,則<1>x1x2＝eq\f<p2,4>；<2>y1y2＝－p2；<3>焦半徑|AF|＝x1＋eq\f<p,2>；<4>弦長d＝x1＋x2＋p.當(dāng)弦AB⊥x軸時,弦長最短為2p,此時的弦又叫通徑；<5>弦長d＝eq\f<2p,sin2θ><θ為AB的傾斜角>．題型一拋物線簡單的幾何性質(zhì)[例]〔1寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；〔2已知拋物線的焦點(diǎn)為寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；〔3已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.[變式]已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.題型二拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)1：設(shè)P<x1,y1>,Q<x2,y2>,則y1y2=-p2；.性質(zhì)2：拋物線焦點(diǎn)弦的長度：=eq\f<2p,sin2>.性質(zhì)3：三角形OAB的面積公式：．性質(zhì)4：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.性質(zhì)5：以拋物線y2=2px<p＞0>,焦點(diǎn)弦PQ端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為M、N,則FM⊥FN.<其中F為焦點(diǎn)>.性質(zhì)6：設(shè)拋物線y2=2px<p＞0>,焦點(diǎn)為F,焦點(diǎn)弦PQ,則eq\f<1,|FP|>+eq\f<1,|FQ|>=eq\f<2,p><定值>.性質(zhì)8：如圖,A、O、B1和B、O、A1三點(diǎn)分別共線．[例1]斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長．[例2]拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為＿＿＿。[例3]以拋物線y2=2px<p>0>的焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線l位置關(guān)系為<>A.相交B.相離C.相切D.不確定[變式1]以拋物線y2=2px<p>0>的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為<>A.相交B.相離C.相切D.不確定[變式2]〔2017?XX一模若拋物線y2=2px〔p＞0上的點(diǎn)A〔x0,到其焦點(diǎn)的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p等于〔A．B．1C．D．2[例4]〔2017?XX模擬已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個交點(diǎn),若,則|QF|=〔A．3B．C．D．[例5]〔2017?XX一模拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A〔3,2,P為拋物線上一點(diǎn),且P不在直線AF上,則△PAF周長的最小值為〔A．4B．5C．D．[例6]〔2017?XX模擬已知過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在第一象限,若,則直線l的方程為〔A．x-2y-1=0B．2x-y-2=0C．x-y-1=0D．[例7]〔2015?XX如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是〔A．B．C．D．[變式3]〔2017?XX一模已知拋物線C：y2=2px〔p＞0的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B是C上兩動點(diǎn),且∠AFB=α〔α為常數(shù),線段AB中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作l的垂線,垂足為N,若的最小值為1,則α=〔A．B．C．D．[變式4]〔2017?襄陽模擬拋物線y2=2px〔p＞0的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B是拋物線上的兩個動點(diǎn),