完全平方公式的逆用、聯(lián)用、造用

PAGEPAGE17初中數(shù)學微專題練悟試卷完全平方公式、平方差公式之逆用、聯(lián)用、造用一、回顧原始公式（記住這些“舊模式”）1、“和”的完全平方公式：；2、“差”的完全平方公式：；3、平方差公式：；二、公式的逆用1、形如：“”或“”的代數(shù)式，可以收縮為：的形式，即：；2、形如：“”或“”的代數(shù)式，可以收縮為：的形式，即：；3、形如：“”的代數(shù)式，可以轉化為：的形式，即：；解讀與建議：①、代數(shù)式“”或“”都是“完全平方式”，它們屬于“展開形式”的完全平方式，其特征是：首平方來尾平方，二倍乘積放中央；②、代數(shù)式“（和的平方）”或“（差的平方）”也都是“完全平方式”，它們屬于“收縮形式”的完全平方式。特別聲明，這只是“二項式”的完全平方，其特征是：括號耳朵是平方，里面?zhèn)z數(shù)隨便裝；③、代數(shù)式“”是“平方之差”的形式，代數(shù)式“”是“兩數(shù)之和”與“兩數(shù)之差”的“乘積”的形式，代數(shù)式“”是“平方之和”的形式；④、常見思考策略：（?。?、見到兩數(shù)“平方之和”的架構，可往逆用“完全平方公式”的方向聯(lián)想；（ⅱ）、見到兩數(shù)“平方之差”的架構，可往逆用“平方差公式”的方向聯(lián)想；三、逆用公式訓練題1、已知，，則；2、若，則，；3、若，則；4、若，則；若，則；若，則；5、已知，，則；6、若，，則；7、若，則，；8、；9、已知，，，則；10、；11、若，則；12、若，，則；13、閱讀理解：由易知，∴當時，代數(shù)式有最小值；同理，由易知，從而可知：，∴當，即當時，代數(shù)式有最大值；請問當________時，代數(shù)式有最________值為_________.14、；15、求的值？請寫出解答過程：四、聯(lián)用（多個公式，會涉及逆用）訓練題1、=；2、方程的解是；3、=；4、計算：；解法一（易想難算）：原式=；點評：此法確實易想，但也不太難算啊！解法二（難想易算）：原式==；點評：此法不太難想，卻又確實易算?。?、=；感嘆：本題用什么方法？自己看著辦吧！6、計算：；解法一（易想易算）：原式=；點評：此法確實易想，也確實易算?。≌Φ伟。坑姓l不服嗎？解法二（難想難算）：原式=；點評：此法確實不易想到，而且也有點難算！不咋滴？連我也這樣認為！7、計算：；建議：用兩種方法來解，各有簡便之處！五、完全平方公式的常用“變形技巧”（屬公式的逆用、造用）1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、要留意：備注：我們通常把以上7個公式，稱為完全平方公式的“魔法寶典（涉及到和、積變換的經驗公式，或曰有趣結論）”，這些公式不需同學刻意去背，但要有“籠統(tǒng)的”印象，即知道有并熟悉。在以后的解題中，根據“題目的特征”，當產生“想嘗試”用這些公式來搞試驗時，屆時才通過臨場的組合、拼湊，召喚出“寶典”中的某一精靈來幫忙即可。也就是說，數(shù)學思維的素養(yǎng)，不在于比拼記憶，而在于合理聯(lián)想、應需構造，這就涉及到了公式的造用與創(chuàng)用。親愛的同學啊，我所崇敬的魔法師們，有大批妖孽正在我們城堡外面叫囂，大家快穿上魔袍，操起魔杖，召喚精靈驅魔去吧！百年妖精：1、已知，，則；2、已知，則________，__________；3、已知，且，則__________；4、已知，則_____；5、已知，則_____；6、已知，，則________，__________；7、已知，，則__________，__________；8、已知，，則__________；9、已知，，則________，__________；10、已知，，則__________；11、已知，，則__________；12、已知，，則；千年妖王：13、若，則_____________；14、若，則_____________；15、已知，，則________，__________，即__________________；16、已知，，則__________；17、已知，，則__________；18、已知，則________，________；萬年妖帝：19、已知，則__________，__________，________，________；20、已知，且，求：①、的值；②、的值；21、已知，，，求的值；十萬年妖魔仙：22、已知，，，求：①、；②、；六、完全平方公式的“項數(shù)推廣”與“類比聯(lián)想”1、項數(shù)推廣①、由公式，可聯(lián)想到：建議：應該記住這個有趣結論。一個多項式的完全平方，等于其中每一個單項式的，再加上。②、直接寫出結果：。2、類比聯(lián)想①、根據乘方的意義可知：②、根據以上結論，直接寫出結果：。③、根據乘方的意義可知：④、直接寫出結果：。3、調整形式，豐富聯(lián)系（即把結果與“寶典”中的“和、積變換”聯(lián)系起來）①、依據：去類比：，易得：②、依據：去類比：，易得：但，若考慮：，似乎更易操作。七、平方差公式、完全平方公式的拼補、構造1、計算：。2、求的值。3、已知、、是⊿ABC的三邊，且，試判斷⊿ABC的形狀。4、已知，，求的值。5、四個連續(xù)自然數(shù)的乘積，再加上1所得的數(shù)是完全平方數(shù)嗎？請證明。6、已知，，求的值。﹤申述一﹥：如果，解題者“甲”熟悉“六-3-①”的公式：，那么，對此題而言，他就是一個“內幕知情者”，他可以作如下書寫：解答：由，可得：∴，∴==；﹤申述二﹥：如果，解題者“乙”壓根兒就不知道以上那個“新魔法”公式，那么，憑借“對比觀察，創(chuàng)設聯(lián)絡”的思維策略，他可以作如下思考：分析：首先，對比“”和“”，產生嘗試“升次”的念頭，∴由，可得，即：，也即：，又∵，∴，即：，也即：，∴，然后，就算他假裝自己“類比”不出公式：，他仍可經由“”與“”的“對比觀察”，繼續(xù)發(fā)揮“升次”的老伎倆：由，可得，即得：，又∵，∴=；“創(chuàng)設聯(lián)絡”告捷！親愛的同學，請你壓抑住扮演“甲”的沖動，去充分領悟“乙”的思維“念頭”吧！請你幫“乙”把解答過程展示出來：﹤申述三﹥：甲、乙二法并無優(yōu)劣之分。會用“甲”的魔法師應捫心自問“能領悟乙嗎？能學習乙嗎”？會用“乙”的大師們應自我反思提煉，學習甲以提高解答效率。要曉得單獨甲和單獨乙都不“港火”（四川話，大意是值得自豪）。只有經歷“先乙后甲”的蛻變才能“優(yōu)術熟技，深耕謀略”，這體現(xiàn)了數(shù)學的精神與魅力。7、百萬年妖祖降臨：已知，，，求：（建議：各位魔杖之主對本題把玩“甲”、“乙”兩種不同風格）；﹤寄語﹥：各位尊敬的魔法師??！魔法的高遠境界不是滿足于熟練已有的魔法，也不是停留在融合已有的魔法，其實我們可以繼承類比的思想，構造出似曾相識卻又不乏新穎的魔法，甚至我們可以發(fā)揮自我的奇思異想去開創(chuàng)嶄新的魔法領域。各位親愛的魔法師，數(shù)學王國的法皇們對現(xiàn)世的古老魔法自然早已優(yōu)術熟技（即熟練掌握前雙基），并且還對其追尋深耕謀略（即有意實踐后雙基）。在這片為眾多魔法師所熟悉的大陸中，他們立足數(shù)學的思想方法與精神文化，操持數(shù)學的基本方法與思維策略，把其思維的觸角伸向了眾人易見卻又被忽略著的異域空間，他們靜靜地探索著，凝結著。附件：1、計算：。提示：利用“六-1-①”公式，借助“對比觀察”就可以直接寫出最終答案。2、求的值。提示：題目特點給人的“第一感覺”是可能要使用“平方差公式”，這就是“數(shù)感”。但是要想使用平方差公式，在構架上還缺少什么？可以把“缺少的東西”修補出來嗎？但要注意保持原式的“恒等性”。3、已知、、是⊿ABC的三邊，且，試判斷⊿ABC的形狀。提示：題目特點給人的“第一感覺”是可能要逆用公式“六-1-①”，但后來我們容易否定此念頭。再看原式的特點是：具有“平方項”和“交叉項”，這也容易讓我們往“完全平方公式”的方向思考，但用什么手段才能把“1倍交叉項”轉化成“2倍交叉項”呢？4、已知，，求的值。提示：初看，感覺題目沒有任何顯著特征能讓我們冒出任何念頭。兩個方程，解三個未知數(shù)，行嗎？不行！那么本題多半要用“整體法”，但需把待求式中的什么地方看作一個整體呢？好像也抓不出任何線索啊！咋辦呢？題目中共有“三元”，可以考慮消元嗎？消誰呢？消元后就保證一定能破題嗎？那倒未必！但是暫無他法??！只有死馬當作活馬醫(yī)，先消掉“一元”，再走走瞧瞧吧。點評：其實“消元”本身就屬于一種“化簡”的手段，這本就符合“連續(xù)化簡走著瞧，有了眉目再微調”的“基本解題規(guī)律”。5、四個連續(xù)自然數(shù)的乘積，再加上1所得的數(shù)是完全平方數(shù)嗎？請證明。提示：在嘗試對“”進行因式分解的過程中，有沒有看出可以把“某個東西”當作一個整體，因為施行整體換元后，目標的結構將變得更加醒目，能讓人一目了然。6、已知，，求的值。﹤甲解法﹥：由，可得：∴，∴﹤乙解法﹥：由，可得：，又∵，∴，即：，（假如乙裝瘋賣傻）那么他：又由，可得：，故，.﹤再次點評、申述﹥：甲的解答顯然比乙干練、快捷。但甲的破題思維就優(yōu)越于乙的破題思維嗎？非矣！飛矣！甲的破題思維和解答書寫，體現(xiàn)了讓數(shù)學解題成為數(shù)學技能的對應操作，體現(xiàn)了讓數(shù)學解題印證數(shù)學經驗的波動潤滑；而乙的破題思維和解答書寫，反映了讓數(shù)學解題體現(xiàn)數(shù)學思想的應用落實，反映了讓數(shù)學解題回歸數(shù)學思維的自然流露。甲、乙兩種破題思維并無優(yōu)劣之分，但解完題后的乙確實該考慮可否對自己的解答書寫進行優(yōu)化，可否讓它變得更簡捷？當然對甲也要提出一個問題：你能學習如乙那般思考嗎？你能體會出“對比創(chuàng)造找思路”這句活，可能給破題帶來的一線轉機嗎？甲的簡捷解答，或說破題念頭取決于他恰好知道那個“關鍵的”經驗公式，并且在求解該題的節(jié)骨眼上仍然對這個公式記憶猶新，也就是說甲根本沒有淘過神，就把該題給成功破解了！或者還有另外一種可能，就是甲其實也淘過神。比如，在解題之初，甲對該題之結構形式所產生的數(shù)感告訴他該題的破解多半要用到那個“關鍵的”魔法技能，可是甲對它的記憶卻是模糊不清的，咋辦呢？于是甲在草稿紙上作了一番推證、微調，最終把那個“要命的”技能重新找了回來，真是急得滿頭大汗啊，但是隨后的成功破題讓甲喜笑顏開。這又能說明什么？這個對解題起關鍵作用的魔法技能，即：，教材上本來就沒有，對知情者而言它是一種“飛升技能”，其他人不知道它的存在當然屬于正常的現(xiàn)象，而且那些曾經記憶過它的人后來又把它搞忘了也是合情合理的。但我們在過去捕捉這類“有趣結論”的過程中所經歷的“后雙基”體驗卻能讓我們得益匪淺，這些體驗能讓我們在回憶或重新推證“回憶對象”的過程中更加輕車熟路。我想不管是教材要求的“必備技能”，還是從教材中暗涌出來的“飛升技能”，我們都應該去處理好“漁與魚”的關系。據此而論，我認為本文之“第六大點”談及的“完全平方公式的項數(shù)推廣與類比聯(lián)想”就是一種可以適時點播的課堂節(jié)目。這是藏匿在數(shù)學教學中的數(shù)學教育，它其所涉及的“魚”雖并非教材要求的基本技能，但蘊含于其中的各種“淺水漁術”、“深水漁術”卻是考試要求的，也是數(shù)學教育在追求的“后雙基”技能。簡言之，不怕遺忘結論帶來解題無望，只要深刻過程就能回憶開創(chuàng)！最后再強調，乙的破題思維本身就體現(xiàn)著“后雙基”中的某些技巧，這是凌駕于“前雙基”之上的的“思想方法”和“思維策略”，它們對數(shù)學解題具有遷移性和有效性。讓我們來重溫其中的某些技巧：連續(xù)化簡走著瞧，有了眉目就微調，綜合分析兩頭顧，對比創(chuàng)造找思路。7、已知，，，求：（建議：各位魔杖之主對本題把玩“甲”、“乙”兩種不同風格）；﹤甲的解題心理活動﹥：我的數(shù)感告訴我本題可以用一個“魔法技能”來解決，但這個技能對我而言是陌生的，我從來沒有在任何地方見識