空間解析幾何與向量代數(shù)課件

數(shù)量關(guān)系—第七章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式—點(diǎn),線,面基本方法—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程〔組）空間解析幾何與向量代數(shù).四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢向量及其線性運(yùn)算第七章.表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1M2,或a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱為a的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.假設(shè)k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)向量共面.記作－a;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.2.向量的減法三角不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.3.向量與數(shù)的乘法是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見與a的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.定理1.設(shè)a為非零向量,那么(為唯一實(shí)數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)的唯一性.那么a∥b設(shè)a∥b取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),,a,b同向時(shí)那么b與a同向,設(shè)又有b＝a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.“”那么例1.設(shè)M為解:ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,坐標(biāo)面卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢Ⅰ.向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點(diǎn)M的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)M那么沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱為向量r的坐標(biāo)分解式,任意向量r可用向徑OM表示.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)那么平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.例3.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如下圖及實(shí)數(shù)得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.例4.求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.例5.在z軸上求與兩點(diǎn)等距解:設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及考慮:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.已知兩點(diǎn)和解:求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱=∠AOB(0≤≤)為向量的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.方向余弦的性質(zhì):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.例7.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.例8.設(shè)點(diǎn)A位于第一卦限,解:知作業(yè)P3003,5,13,14,15,18,19角依次為求點(diǎn)A的坐標(biāo).那么因點(diǎn)A在第一卦限,故于是故點(diǎn)A的坐標(biāo)為向徑OA與x軸y軸的夾第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回完畢.備用題解:因1.設(shè)求向量在x軸上的投影及在y軸上的