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文檔簡介
8.1.2直角坐標(biāo)系分離變量例題分析
上面我們已經(jīng)分析的是兩個邊界點均為第一類齊次邊界條件的定解問題.下面討論的是既有第一類,也有第二類齊次邊界條件的定解問題、均為第二類齊次邊界條件的定解問題,注意到本征值和本征函數(shù)的區(qū)別.【解】用分離變量法求解.令例8.2.1分析定解問題:
(8.2.1)u(x,t)=X(x)T(t)(8.2.2)代入(8.2.1),得本征值問題及對本征值問題(8.2.3)、(8.2.4)討論:(1)若,則方程(8.2.3)的解為
(8.2.3)(8.2.4)(8.2.5)(8.2.3)(8.2.4)(8.2.5)(8.2.3)(8.2.4)待定常數(shù)和由邊界條件(8.2.4)確定,即有只能得到無意義的解,應(yīng)該排出.
(2)若
由(8.2.4)得
,則(8.2.3)的解為
,只能得到無意義的解,應(yīng)該排出。
(3)若,則方程的解是由(8.2.4)則注意到
可以是任意常數(shù).條件
且要得到非零解,只有.在條件下,
,即故得到本征值為相應(yīng)的本征函數(shù)是系數(shù)B可以在求通解時考慮進(jìn)去,故此將系數(shù)認(rèn)為是
歸一化的.
由
將代入(8.2.5)解得疊加得系數(shù)由定解條件確定傅里葉展開式系數(shù)可確定為(8.2.6)
(8.2.7)(8.2.8)例8.2.2解下列兩端自由棒的自由縱振動定解問題:
魚群探測換能器件或磁致伸縮換能器的核心是兩端自由的均勻桿,它作縱振動.即下列定解問題
(8.2.9)【解】按照分離變量法的步驟,先設(shè)出變量分離形式的試探解U(x,t)=X(x)T(t)(8.2.12)(8.2.10)代入泛定方程及其次邊界條件,得(8.2.10)(8.2.11)求解(8.2.13)~(8.2.14)本征值問題,對
進(jìn)行討論:,類同于前面的討論,只能得到無意義的解;(2)若,則方程(8.2.13)的解為
(8.2.13)本征值問題:
(8.2.14)代入(7)得到
故可取歸一化的本征函數(shù)
,于是得到,否則得到無意義的零解.由于通解中還另有待定系數(shù),(3)若,方程(8.2.13)的解為
常數(shù)的確定,即由于
,所以如果則得無意義的解
;因此于是
相應(yīng)的(歸一化的)本征函數(shù)是這是情況下的本征值.
從上面的討論我們可以將本征值
和對應(yīng)的本征函數(shù)統(tǒng)一為當(dāng)將本征函數(shù)值代入到T的方程得到其對應(yīng)的解為其中
均為獨立的任意常數(shù).所以,原定解問題的形式解為注意到上式正是傅里葉余弦級數(shù)的基本函數(shù)族.所有本征振動的疊加得到通解
系數(shù)由初始條件確定.有把右邊的函數(shù)
后比較兩邊的系數(shù),得到
展開為傅里葉余弦級數(shù),然采用分離變量法,設(shè)勢函數(shù)具有如下的分離解形式:在直角坐標(biāo)系內(nèi),靜態(tài)場問題的勢函數(shù)的拉普拉斯方程為:求解穩(wěn)定場問題的定解問題
將上式代入拉普拉斯方程,并整理,有
上式已將變量分離,此式中每一項都只是一個變量的函數(shù)。要使上式對所有的都成立,每一項都必須等于一個常數(shù),故有分離常數(shù),由邊界條件來確定.以關(guān)于x的常微分方程為例,確定解的形式
若可得若可得若可得的值需要由邊界條件確定.雙曲函數(shù)8.2.3試求長直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。解:(1)寫出邊值問題(D域內(nèi))接地金屬槽的截面y(2)分離變量設(shè)-分離常數(shù),代入微分方程
通解將分離解代入齊次邊界條件
即通解接地金屬槽內(nèi)的等位線分布拉普拉斯方程經(jīng)過分離變量后變成了三個很容易求解的常微分方程。小結(jié)這三個方程解的形式與分離常數(shù)有關(guān)。等于0:當(dāng)當(dāng)對應(yīng)的函數(shù)為線性函數(shù);大于0:對應(yīng)的函數(shù)為三角函數(shù);小于0:對應(yīng)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)或雙曲正弦(余弦)函數(shù);當(dāng)幾種常用的本征值問題本征方程邊界條件本征值本征函數(shù)P201:2、12本周作業(yè):8.2二維極坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量
例8.2.1物理模型:
帶電的云與大地之間的靜電場近似是勻強(qiáng)靜電場,其電場強(qiáng)度
是豎直的,方向向下.水平架設(shè)的輸電線處于這個靜電場之中,輸電線是導(dǎo)體圓柱,柱面由于靜電感應(yīng)出現(xiàn)感應(yīng)電荷,圓柱鄰近的靜電場也就不再是勻強(qiáng)的了,如圖8.2所示.不過離圓柱“無遠(yuǎn)限遠(yuǎn)”處的靜電場仍保持為勻強(qiáng)的.現(xiàn)在研究導(dǎo)體圓柱怎樣改變了勻強(qiáng)靜電場,求出柱外的電勢分布.解題分析:首先需要把這個物理問題表示為定解問題.取圓柱的軸為Z軸.如果圓柱“無限長”,那么,這個靜電場的電場強(qiáng)度、電勢顯然與Z坐標(biāo)無關(guān),我們只需在XY平面上加以研究就行了.圖8.2畫出了XY平面上的靜電場分布,圓柱面在XY平面的剖口是圓
其中:是圓柱的半徑.柱外的空間中沒有電荷,所以電勢
(在圓柱外)滿足二維的拉普拉斯方程導(dǎo)體中的電荷既然不再移動,這說明導(dǎo)體中各處電勢相同.又因為電勢只具有相對的意義,完全可以把導(dǎo)體的電勢當(dāng)作零,從而寫出邊界條件(8.2.1)在“無限遠(yuǎn)”處的靜電場仍然保持為勻強(qiáng)的
因而還有一個非齊次的邊界條件由于選取了
軸平行于,所以在無限遠(yuǎn)處,(8.2.2)于是定解問題可以描述為x2+y2>a2(8.2.3)【解】以變量分離形式的試探解上式左邊是
代入拉普拉斯方程,得的函數(shù),與無關(guān);右邊是的函數(shù),
與無關(guān).兩邊只能取同一個常數(shù)。這就分解為兩個常微分方程常微分方程隱含著一個附加條件.
事實上,一個確定地點的
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