分離變量法二

8.1.2直角坐標(biāo)系分離變量例題分析

上面我們已經(jīng)分析的是兩個(gè)邊界點(diǎn)均為第一類齊次邊界條件的定解問(wèn)題．下面討論的是既有第一類，也有第二類齊次邊界條件的定解問(wèn)題、均為第二類齊次邊界條件的定解問(wèn)題，注意到本征值和本征函數(shù)的區(qū)別．【解】用分離變量法求解.令例8.2.1分析定解問(wèn)題：

(8.2.1)u(x,t)=X(x)T(t)(8.2.2)代入（8.2.1），得本征值問(wèn)題及對(duì)本征值問(wèn)題（8.2.3）、（8.2.4）討論：（1）若，則方程（8.2.3）的解為

（8.2.3）（8.2.4）（8.2.5）（8.2.3）（8.2.4）（8.2.5）（8.2.3）（8.2.4）待定常數(shù)和由邊界條件（8.2.4）確定，即有只能得到無(wú)意義的解，應(yīng)該排出．

(2)若

由（8.2.4）得

，則（8.2.3）的解為

，只能得到無(wú)意義的解，應(yīng)該排出。

（3）若，則方程的解是由（8.2.4）則注意到

可以是任意常數(shù)．條件

且要得到非零解，只有．在條件下，

，即故得到本征值為相應(yīng)的本征函數(shù)是系數(shù)B可以在求通解時(shí)考慮進(jìn)去，故此將系數(shù)認(rèn)為是

歸一化的.

由

將代入（8.2.5）解得疊加得系數(shù)由定解條件確定傅里葉展開式系數(shù)可確定為(8.2.6)

(8.2.7)(8.2.8)例8.2.2解下列兩端自由棒的自由縱振動(dòng)定解問(wèn)題：

魚群探測(cè)換能器件或磁致伸縮換能器的核心是兩端自由的均勻桿，它作縱振動(dòng)．即下列定解問(wèn)題

(8.2.9)【解】按照分離變量法的步驟，先設(shè)出變量分離形式的試探解U(x,t)=X(x)T(t)（8.2.12）（8.2.10）代入泛定方程及其次邊界條件，得（8.2.10）(8.2.11)求解（8.2.13）～（8.2.14）本征值問(wèn)題，對(duì)

進(jìn)行討論：,類同于前面的討論，只能得到無(wú)意義的解；(2)若，則方程（8.2.13）的解為

（8.2.13）本征值問(wèn)題：

(8.2.14)代入（7）得到

故可取歸一化的本征函數(shù)

，于是得到，否則得到無(wú)意義的零解．由于通解中還另有待定系數(shù)，（3）若，方程(8.2.13)的解為

常數(shù)的確定，即由于

，所以如果則得無(wú)意義的解

；因此于是

相應(yīng)的（歸一化的）本征函數(shù)是這是情況下的本征值．

從上面的討論我們可以將本征值

和對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)統(tǒng)一為當(dāng)將本征函數(shù)值代入到T的方程得到其對(duì)應(yīng)的解為其中

均為獨(dú)立的任意常數(shù)．所以，原定解問(wèn)題的形式解為注意到上式正是傅里葉余弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族．所有本征振動(dòng)的疊加得到通解

系數(shù)由初始條件確定．有把右邊的函數(shù)

后比較兩邊的系數(shù)，得到

展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù)，然采用分離變量法，設(shè)勢(shì)函數(shù)具有如下的分離解形式：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題的勢(shì)函數(shù)的拉普拉斯方程為：求解穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題的定解問(wèn)題

將上式代入拉普拉斯方程，并整理,有

上式已將變量分離，此式中每一項(xiàng)都只是一個(gè)變量的函數(shù)。要使上式對(duì)所有的都成立，每一項(xiàng)都必須等于一個(gè)常數(shù)，故有分離常數(shù)，由邊界條件來(lái)確定.以關(guān)于x的常微分方程為例,確定解的形式

若可得若可得若可得的值需要由邊界條件確定.雙曲函數(shù)8.2.3試求長(zhǎng)直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。解:(1)寫出邊值問(wèn)題（D域內(nèi)）接地金屬槽的截面y(2)分離變量設(shè)-分離常數(shù),代入微分方程

通解將分離解代入齊次邊界條件

即通解接地金屬槽內(nèi)的等位線分布拉普拉斯方程經(jīng)過(guò)分離變量后變成了三個(gè)很容易求解的常微分方程。小結(jié)這三個(gè)方程解的形式與分離常數(shù)有關(guān)。等于0：當(dāng)當(dāng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為線性函數(shù)；大于0：對(duì)應(yīng)的函數(shù)為三角函數(shù)；小于0：對(duì)應(yīng)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)或雙曲正弦（余弦）函數(shù)；當(dāng)幾種常用的本征值問(wèn)題本征方程邊界條件本征值本征函數(shù)P201：2、12本周作業(yè)：8.2二維極坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量

例8.2.1物理模型：

帶電的云與大地之間的靜電場(chǎng)近似是勻強(qiáng)靜電場(chǎng),其電場(chǎng)強(qiáng)度

是豎直的，方向向下．水平架設(shè)的輸電線處于這個(gè)靜電場(chǎng)之中，輸電線是導(dǎo)體圓柱，柱面由于靜電感應(yīng)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，圓柱鄰近的靜電場(chǎng)也就不再是勻強(qiáng)的了，如圖8.2所示．不過(guò)離圓柱“無(wú)遠(yuǎn)限遠(yuǎn)”處的靜電場(chǎng)仍保持為勻強(qiáng)的．現(xiàn)在研究導(dǎo)體圓柱怎樣改變了勻強(qiáng)靜電場(chǎng),求出柱外的電勢(shì)分布．解題分析：首先需要把這個(gè)物理問(wèn)題表示為定解問(wèn)題．取圓柱的軸為Z軸．如果圓柱“無(wú)限長(zhǎng)”，那么，這個(gè)靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)顯然與Z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，我們只需在XY平面上加以研究就行了．圖8.2畫出了XY平面上的靜電場(chǎng)分布，圓柱面在XY平面的剖口是圓

其中:是圓柱的半徑．柱外的空間中沒(méi)有電荷，所以電勢(shì)

（在圓柱外）滿足二維的拉普拉斯方程導(dǎo)體中的電荷既然不再移動(dòng)，這說(shuō)明導(dǎo)體中各處電勢(shì)相同．又因?yàn)殡妱?shì)只具有相對(duì)的意義，完全可以把導(dǎo)體的電勢(shì)當(dāng)作零，從而寫出邊界條件（8.2.1）在“無(wú)限遠(yuǎn)”處的靜電場(chǎng)仍然保持為勻強(qiáng)的

因而還有一個(gè)非齊次的邊界條件由于選取了

軸平行于，所以在無(wú)限遠(yuǎn)處，（8.2.2）于是定解問(wèn)題可以描述為x2+y2>a2（8.2.3）【解】以變量分離形式的試探解上式左邊是

代入拉普拉斯方程,得的函數(shù)，與無(wú)關(guān)；右邊是的函數(shù)，

與無(wú)關(guān)．兩邊只能取同一個(gè)常數(shù)。這就分解為兩個(gè)常微分方程常微分方程隱含著一個(gè)附加條件．

事實(shí)上，一個(gè)確定地點(diǎn)的