【高考風(fēng)向標(biāo)】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 第5講 不等式的應(yīng)用 理

考綱要求考綱研讀1.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．2．會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.近幾年的高考試題增強(qiáng)了對密切聯(lián)系生產(chǎn)和生活實際的應(yīng)用性問題的考查力度．主要有兩種方式：(1)線性規(guī)劃問題：求給定可行域的面積；求給定可行域的最優(yōu)解；求目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的范圍．(2)基本不等式的應(yīng)用：一是側(cè)重“正”、“定”、“等”條件的滿足條件；二是用于求函數(shù)或數(shù)列的最值.第5講不等式的應(yīng)用1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_____(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”號)．2ab2．如果a，b是正數(shù)，那么a＋b

2≥____(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”號)． 3．可以將兩個字母的重要不等式推廣：____________________________.

以上不等式從左至右分別為：調(diào)和平均數(shù)(記作H)，幾何平均數(shù)(記作G)，算術(shù)平均數(shù)(記作A)，平方平均數(shù)(記作Q)，即H≤G≤A≤Q，各不等式中等號成立的條件都是a＝b.4．常用不等式還有：ab＋bc＋ca

(1)a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥_______________(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，取等號)．

1．某債券市場常年發(fā)行三種債券，A種面值為1000元，一年到期本息和為1040元；B種貼水債券面值為1000元，但買入價為960元，一年到期本息和為1000元；C種面值為1000元，半年到期本息和為1020元．設(shè)這三種債券的年收益率分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()CA．a(chǎn)＝c且a＜bC．a(chǎn)＜c＜bB．a(chǎn)＜b＜cD．c＜a＜b3

3．建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為180元和80元，那么水池的最低總造價為________.2000

5．一批貨物隨17列貨車從A市以v千米/小時勻速直達(dá)B市，已知兩地路線長400千米，為了安全兩輛貨車最小間距不得小于千米，那么物資運到B市的時間關(guān)于貨車速度的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)為__________________．4．已知函數(shù)f(x)＝x＋

ax－2(x>2)的圖象過點A(3,7)，則此函數(shù)的最小值是__.6考點1利用不等式進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計

例1：設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積4840cm2，畫面的上，下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白．怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，能使宣傳畫所用紙張最??？

利用不等式解實際問題時，首先要認(rèn)真審題，分析題意，建立合理的不等式模型，最后通過基本不等式解題．注意最常用的兩種題型：積一定，和最??；和一定，積最大．【互動探究】

1．某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2

的矩形蔬菜溫室．在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè))D內(nèi)墻保留3m寬的空地．則最大種植面積是( A．218m2

B．388m2

C．468m2

D．648m2考點2線性規(guī)劃進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計

例2：央視為改版后的《非常6＋1》欄目播放兩套宣傳片．其中宣傳片甲播映時間為3分30秒，廣告時間為30秒，收視觀眾為60萬，宣傳片乙播映時間為1分鐘，廣告時間為1分鐘，收視觀眾為20萬．廣告公司規(guī)定每周至少有3.5分鐘廣告，而電視臺每周只能為該欄目宣傳片提供不多于16分鐘的節(jié)目時間．電視臺每周應(yīng)播映兩套宣傳片各多少次，才能使得收視觀眾最多？

解析：設(shè)電視臺每周應(yīng)播映宣傳片甲x次，宣傳片乙y次，

4x＋2y≤16，總收視觀眾為z萬人．則有如下條件：0.5x＋y≥3.5，

x，y∈N.

目標(biāo)函數(shù)z＝60x＋20y，作出滿足條件的區(qū)域：如圖D10.圖D10

由圖解法可得： 當(dāng)x＝3，y＝2時，zmax＝220.

答：電視臺每周應(yīng)播映宣傳片甲3次，宣傳片乙2次才能使得收視觀眾最多．利用線性規(guī)劃研究實際問題的基本步驟是：①應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)；②用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解；③還要根據(jù)實際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解，即結(jié)合實際情況求得最優(yōu)解．

本題完全利用圖象，對作圖的準(zhǔn)確性和精確度要求很高，在現(xiàn)實中很難做到，為了得到準(zhǔn)確的答案，建議求出所有邊界的交點代入檢驗．【互動探究】4考點3用基本不等式處理實際問題

例3：(2011年湖北3月模擬)某企業(yè)用49萬元引進(jìn)一條年產(chǎn)值25萬元的生產(chǎn)線，為維護(hù)該生產(chǎn)線正常運轉(zhuǎn)，第一年需要各種費用6萬元，從第二年起，每年所需各種費用均比上一年增加2萬元．(1)該生產(chǎn)線投產(chǎn)后第幾年開始盈利(即投產(chǎn)以來總收入減去成本及各年所需費用之差為正值)?(2)該生產(chǎn)線生產(chǎn)若干年后，處理方案有兩種：方案①：年平均盈利達(dá)到最大值時，以18萬元的價格賣出；方案②：盈利總額達(dá)到最大值時，以9萬元的價格賣出．問：哪一種方案較為合算？請說明理由．

解題思路：根據(jù)題意建立函數(shù)模型，利用基本不等式求解．

當(dāng)n＝7時，年平均盈利最大． 若此時賣出，共獲利6×7＋18＝60(萬元)． 方案②：y＝－n2＋20n－49＝―(n―10)2＋51.

當(dāng)且僅當(dāng)n＝10時，即該生產(chǎn)線投產(chǎn)后第10年盈利總額最大，若此時賣出，共獲利51＋9＝60(萬元)． ∵兩種方案獲利相等，但方案②所需的時間長， ∴方案①較合算．【互動探究】

3．(2011年北京)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備

產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．60件B．80件C．100件D．120件答案：B易錯、易混、易漏10．利用基本不等式時忽略等號成立的條件

例題：某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖5－5－1)，如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計．圖5－5－1(1)試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；

(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價．

【失誤與防范】利用均值不等式時要注意符號成立的條件及題目的限制條件．

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，就是指用數(shù)學(xué)的方法將一個表面上非數(shù)學(xué)問題或非完全的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成完全形式化的數(shù)學(xué)問題．隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的改革和素質(zhì)教育的進(jìn)一步推進(jìn)，要求學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的趨勢日益明顯，近幾年的