【金教程】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 7.5直線與圓的位置關(guān)系 文 B

最新考綱解讀1．掌握直線與圓的位置關(guān)系，會(huì)求圓的切線方程，公共弦方程及有關(guān)直線與圓的問(wèn)題．2．滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，充分利用圓的幾何性質(zhì)優(yōu)化解題過(guò)程．高考考查命題趨勢(shì)1．有關(guān)圓的題目多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大，有時(shí)也將圓的方程作為解答題考查．2．在2009年高考中有5套試題對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了考查都是中檔題．如2009天津，14；福建，19等．估計(jì)2011年仍以選擇題、填空題形式對(duì)這一知識(shí)進(jìn)行考查.二、兩圓的位置關(guān)系1．設(shè)兩圓半徑分別為R，r(R>r)，圓心距為d.若兩圓相外離，則

，公切線條數(shù)為

；若兩圓相外切，則

，公切線條數(shù)為

；若兩圓相交，則

，公切線條數(shù)為

；若兩圓內(nèi)切，則

，公切線條數(shù)為

；若兩圓內(nèi)含，則

，公切線條數(shù)為

.2．設(shè)兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，若兩圓相交，則公共弦所在的直線方程是(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.d>R＋r4d＝R＋r3R－r<d<R＋r2d＝R－r1d<R－r0三、相切問(wèn)題的解法(1)利用圓心到切線的距離等于半徑列方程求解．(2)利用圓心、切點(diǎn)連線的斜率與切線的斜率的乘積為－1.(3)利用直線與圓的方程聯(lián)立的方程組的解只有一個(gè)，即Δ＝0來(lái)求解．特殊地：(1)已知切點(diǎn)P(x0，y0)，圓x2＋y2＝r2的切線方程為：x0x＋y0y＝r2.(2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切線方程為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.四、圓系方程(1)以點(diǎn)C(x0，y0)為圓心的圓系方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r>0)．(2)過(guò)圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和直線l：ax＋by＋c＝0的交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0.(3)過(guò)兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(不表示圓C2).1.把握直線與圓的位置關(guān)系的三種常見題型：①相切——求切線；②相交——求距離、求弦長(zhǎng)；③相離——求圓上動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大(小)值．2．解決直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題用到的思想方法有：①數(shù)形結(jié)合，善于觀察圖形，充分運(yùn)用平面幾何知識(shí)，尋找解題途徑．②等價(jià)轉(zhuǎn)化，如把切線長(zhǎng)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外的點(diǎn)到圓心的距離問(wèn)題，把公切線的條數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系問(wèn)題，把弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為弦心距問(wèn)題等．③待定系數(shù)法，還要合理運(yùn)用“設(shè)而不求”，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．3．①圓與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心距與兩圓半徑之和或半徑之差的關(guān)系．②公共弦滿足的條件是：連心線垂直平分公共弦.一、選擇題1．(2009年重慶理，1)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系為 ()A．相切B．相交但直線不過(guò)圓心C．直線過(guò)圓心 D．相離[解析]

圓心(0,0)到直線y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距離

[答案]

B2．(山東省臨沂市期中考試)已知圓2x2＋2y2＝1與直線xsinθ＋y－1＝0(θ≠＋kπ，k∈Z)的位置關(guān)系是()A．相離 B．相切C．相交 D．不能確定[解析]

圓心到直線的距離為

直線與圓相離．

[答案]

A3．(江西高考)“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的 ()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件[解析]

直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，則＝解之得a－b＝0或a－b＋4＝0，因此“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2”相切的充分不必要條件．[答案]

A4．(全國(guó)高考)已知直線l過(guò)點(diǎn)(－2,0)，當(dāng)直線l與圓x2＋y2＝2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是()[解析]

將x2＋y2＝2x化為(x－1)2＋y2＝1，∴該圓的圓心為(1,0)，半徑r＝1.設(shè)直線的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.設(shè)圓心到直線l的距離為d，∵直線l與圓x2＋y2＝2x有兩個(gè)交點(diǎn)，[答案]

C二、填空題5．直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－2＝0相切，則實(shí)數(shù)m等于________．例1(北京海淀)設(shè)m>0，則直線(x＋y)＋1＋m＝0與圓x2＋y2＝m的位置關(guān)系為 ()A．相切 B．相交C．相切或相離 D．相交或相切[答案]

C判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法有兩種：代數(shù)法即Δ法，幾何法即d—r法．相對(duì)這兩種方法而言幾何法更簡(jiǎn)便．思考探究1已知M(x0，y0)是圓x2＋y2＝r2(r>0)內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x＋y0y＝r2與此圓有何種位置關(guān)系？[解]

圓心O(0,0)到直線x0x＋y0y＝r2的距離為∵P(x0，y0)在圓內(nèi)，∴則有d>r，故直線和圓相離.例2(1)求與圓x2＋y2＝5外切于點(diǎn)P(－1,2)，且半徑為2的圓的方程．[解]

解法1：設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，解之得： (舍去)．所求圓的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝20.(2)若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的關(guān)系是()A．a(chǎn)2－2a－2b－3＝0B．a(chǎn)2＋2a＋2b＋5＝0C．a(chǎn)2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]

公共弦所在的直線方程為2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0.∵圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長(zhǎng)，∴圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圓心在直線2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0上，∴－2(1＋a)－2(1＋b)－a2－1＝0.即a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案]

B1．利用圓與圓位置關(guān)系的充要條件，判斷兩圓的位置關(guān)系或求圓的方程．2．本題采用待定系數(shù)法求圓心的坐標(biāo)，步驟是：尋找圓心滿足的條件；列出方程組求解；(1)解法2利用向量溝通兩個(gè)圓心的位置關(guān)系，既有共線關(guān)系又有長(zhǎng)度關(guān)系，顯得更簡(jiǎn)捷明快，值得借鑒．思考探究2試求與圓C1：(x－1)2＋y2＝1外切，且與直線x＋y＝0相切于點(diǎn)Q(3，－)的圓的方程．[解]

如圖所示，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)C(a，b)，半徑r，由于所求圓C與直線x＋y＝0相切于點(diǎn)Q(3，－)，則CQ垂直于直線x＋y＝0，例3

已知圓M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA、QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0)，求切線QA、QB的方程；(2)求四邊形QAMB的面積的最小值；(3)若AB＝，求直線MQ的方程．[分析](2)用一個(gè)變量表示四邊形QAMB的面積；(3)從圖形中觀察點(diǎn)Q滿足的條件．1．相切問(wèn)題：(1)幾何法——圓心到切線的距離等于半徑．(2)代數(shù)法——切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即判別式等于0.2．切線長(zhǎng)：轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓心的距離，利用勾股定理求之．3．弦長(zhǎng)：轉(zhuǎn)化為圓心到弦所在直線的距離，利用勾股定理或射影定理求之．思考探究3已知圓M：(x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2＝1，以及直線l：y＝kx，下面四個(gè)命題：①對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M相切；②對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點(diǎn)；③對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切；④對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)θ，使得直線l與圓M相切．其中真命題的代號(hào)是________．(寫出所有真命題的代號(hào))[答案]

②④例4已知圓C：(x－3)2＋(y＋5)2＝r2和直線l：4x－3y－2＝0.(1)若圓C上有且只有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，求半徑r的取值范圍；(2)若圓C上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，求半徑r的取值范圍；(3)若圓C上有且只有2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，求半徑r的取值范圍．[分析]解法1采用轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)解決；解法2從劣弧的點(diǎn)到直線l的最大距離作為觀察點(diǎn)入手．[解]

解法1：與直線l：4x－3y－2＝0平行且距離為1的直線為l1：4x－3y＋3＝0和l2：4x－3y－7＝0，圓心C到直線l1的距離為d1＝6，圓心C到直線l2的距離為d2＝4.(1)圓C上有且只有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1?r>4且r>6，∴r>6；(2)圓C上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1?r>4且r＝6，∴r＝6；(3)圓C上有且只有2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1?r>4且r<6，∴4<r<6.解法2：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則d＝5.(1)圓C上有且只有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1?r－d>1，∴r>6；(2)圓C上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1?r－d＝1，∴r＝6；(3)圓C上有且只有2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1?－1<r－d<1，∴4<r<6.解決圓上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：(1)轉(zhuǎn)化為兩條直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，是解決這類問(wèn)題特別有效的方法．(2)也可轉(zhuǎn)化為圓心到已知直線的距離與半徑的差跟已知數(shù)據(jù)1比較大?。伎继骄?(1)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．①證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；②求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程．[解]

①解法1：l的方程(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.即l恒過(guò)定點(diǎn)A(3,1)．[小結(jié)]①若直線的斜率不確定，則