【金教程】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 9.1平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線 文 B

一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)二、最新考綱解讀1．理解平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，能夠畫(huà)出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系．2．掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，理解直線和平面垂直的概念，掌握直線和平面垂直的判定定理，掌握三垂線定理及其逆定理．3．理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘．4．了解空間向量的基本定理，理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算．5．掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式，掌握空間兩點(diǎn)間距離公式．6．理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念．7．掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念，對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線或用坐標(biāo)表示下的距離，掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理，掌握兩個(gè)平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理．8．了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念．9．了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)直棱柱的直觀圖．10．了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)正棱錐的直觀圖．11．了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式．三、高考考點(diǎn)聚集考點(diǎn)2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望平面基本性質(zhì)的應(yīng)用安徽(理)15.遼寧(理)11；四川(理)19.是高考的冷門(mén)，但卻是立體幾何的基礎(chǔ)，是處理共點(diǎn)、共面、共線、空間作圖問(wèn)題的依據(jù)．異面直線相關(guān)問(wèn)題安徽(理)15；遼寧(理)18.浙江(理)19.高考冷門(mén)，一般是考查反證法考點(diǎn)2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望平行與垂直及其他線面位置關(guān)系問(wèn)題山東(理)5；四川(理)19；重慶(理)9；福建(理)7；廣東(理)5；福建(理)7；海南寧夏(理)8；江蘇12；江西(理)9；四川(理)5.上海(理)13；四川(理)9；安徽(理)4；湖南(理)5；江蘇(理)16；天津(理)4.是高考的熱點(diǎn)，常以選擇、填空或解答題的第一問(wèn)形式進(jìn)行考查，主要考查線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，借助模型是化解難點(diǎn)的有效方法．考點(diǎn)2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望角度問(wèn)題北京(理)16；福建(理)17；廣東(理)18;湖北(理)18；全國(guó)(Ⅰ)(理)7;全國(guó)(Ⅰ)(理)18；山東(理)18;陜西(理)18；浙江(理)5;安徽(理)18；福建(理);海南寧夏(理)11；江西(理)20;全國(guó)2(理)5；全國(guó)2(理)18;上海(理)5；上海(理)19;四川(理)15；天津(理)19;重慶(理)19.全國(guó)Ⅰ(理)11；全國(guó)Ⅱ(理)10；陜西(理)9;福建(理)6；全國(guó)Ⅰ(理)16;全國(guó)Ⅰ(理)18；全國(guó)Ⅰ(理)19;四川(理)19；天津(理)19;山東(理)20；湖北(理)18;湖南(理)17；陜西(理)19;浙江(理)18；遼寧(理)19;上海(理)16.考點(diǎn)2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望距離問(wèn)題北京(理)4；安徽(理)18；福建(理)17；湖南(理)7；湖南(理)18；全國(guó)(Ⅰ)(理)10；浙江(理)20；江西(理)20；重慶(理)19.北京(理)16；安徽(理)18；重慶(理)19；福建(理)18.高考熱點(diǎn)，可以以選擇、填空、解答等各種形式進(jìn)行考查，需對(duì)各類(lèi)距離的概念、求法熟練掌握．考點(diǎn)2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望面積與體積問(wèn)題安徽(理)18；廣東(理)18；湖北(理)9；山東(理)4；陜西(理)10；浙江(理)12；安徽(理)18；海南寧夏(理)11；遼寧(理)11,15；天津(理)12.山東(理)6；四川(理)15；廣東(理)20.高考常見(jiàn)考點(diǎn)，常以選擇、填空或解答題的一問(wèn)形式進(jìn)行考查，解答該類(lèi)問(wèn)題首先要掌握計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如割補(bǔ)、截面的應(yīng)用．翻折問(wèn)題浙江(理)17；全國(guó)(Ⅱ)(理)12.浙江(理)19是高考的冷門(mén)，考查考生的轉(zhuǎn)化能力．考點(diǎn)2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望球相關(guān)問(wèn)題湖南(理)14；全國(guó)(Ⅰ)(理)15；陜西(理)15；江西(理)14；全國(guó)(Ⅱ)(理)15；上海(理)8；四川(理)8.全國(guó)(Ⅱ)(理)12；四川(理)8；江西(理)10;湖北(理)3；湖南(理)9;陜西(理)14；重慶(理)9;海南(理)15；天津(理)12;安徽(理)16；福建(理)15;浙江(理)14；遼寧(理)14；是高考的熱點(diǎn)主要是以小題的形式進(jìn)行考查，一般難度不大.最新考綱解讀1．理解并會(huì)應(yīng)用平面的基本性質(zhì)，掌握證明關(guān)于“線共點(diǎn)”、“線共面”、“點(diǎn)共線”的方法．2．掌握公理及等角定理．3．空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種，即平行、相交及異面．4．會(huì)求兩條異面直線所成的角及距離．5．會(huì)作幾何體的截面圖．6．會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖．高考考查命題趨勢(shì)主要考查平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題為主，難度不大.1.平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．作用：①作為判斷和證明是否在平面內(nèi)的依據(jù)；②證明點(diǎn)在某平面內(nèi)的依據(jù)；③檢驗(yàn)?zāi)趁媸欠袷瞧矫娴囊罁?jù)．公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線．作用：①作為判斷和證明兩平面是否相交；②證明點(diǎn)在某直線上；③證明三點(diǎn)共線；④證明三線共點(diǎn)．公理3:經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．作用：公理3及其推論是空間里確定平面的依據(jù)，也是證明兩個(gè)平面重合的依據(jù)，還為立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題提供了理論依據(jù)和具體辦法．2．空間兩直線的位置關(guān)系(1)相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)平行——在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．(3)異面——不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；3．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．等角定理的推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等．4．兩條異面直線的公垂線：和兩條異面直線都垂直相交的直線，叫做異面直線的公垂線．5．兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度．計(jì)算方法：(1)公垂線法；(2)轉(zhuǎn)化成線面距離(點(diǎn)面距離)；(3)轉(zhuǎn)化成面面距離．6．斜二測(cè)畫(huà)法.1.熟練掌握平面的基本性質(zhì)的圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化．2．判定空間兩直線異面的方法：(1)排除法：證明兩直線既不相交，也不平行；(2)定理法：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線；(3)反證法：假設(shè)兩直線不異面，則必然平行或相交，從而推出矛盾，得出兩直線必然異面．3．注意立體幾何與平面幾何的對(duì)比，對(duì)空間幾何中的一些概念、公理、定理和推論的理解一定要結(jié)合圖形，理解其本質(zhì)，準(zhǔn)確把握其內(nèi)涵，特別是公理、定理和推論的限制條件．另外對(duì)于平面幾何中的一些定理、推論，在空間幾何中應(yīng)當(dāng)重新認(rèn)定，有些命題因?yàn)榭臻g中位置關(guān)系的變化，可能變?yōu)榧倜}，學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)分類(lèi)討論的意識(shí)．4．建立自己習(xí)慣的幾何模型.一、選擇題1．下列命題中正確的是 ()A．空間不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C．空間有三個(gè)角為直角的四邊形一定是平面圖形D．和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)[答案]

D2．一個(gè)水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖是一底角為45°，腰和上底的長(zhǎng)均為1的等腰梯形，那么原四邊形的面積是 ()[答案]

A3．E、F、G、H是三棱錐A—BCD的棱AB、AD、CD、CB上的點(diǎn)，延長(zhǎng)EF、HG交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P()A．一定在直線AC上B．一定在直線BD上C．只在平面BCD內(nèi)D．只在平面ABD內(nèi)[答案]

B4．空間三條直線中的一條直線與其它兩條都相交，那么由這三條直線最多可確定平面的個(gè)數(shù)是()個(gè) A．1 B．2C．3 D．4[答案]

C二、填空題5．將命題“P∈l，Q∈l，且P∈α，Q∈α?l?α”用文字語(yǔ)言表述是________．[答案]

如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．6．若平面α∩平面β＝直線l，點(diǎn)A∈α，A∈β，則點(diǎn)________l，其理由是________．[答案]

A∈公理2例1

已知n條互相平行的直線l1，l2，l3，…，ln分別與直線l相交于點(diǎn)A1，A2,…，An，求證：l1，l2，l3…，ln與l共面．[分析]證明多條直線(三條或三條以上)共面，先由兩條確定一個(gè)平面，再證其它直線在這個(gè)平面內(nèi)，或者分別由兩條直線確定幾個(gè)平面，再證這些平面重合．[證明]證法一：因?yàn)閘1∩l＝A1，所以l1與l確定平面α，設(shè)lk是與l1平行的直線中的任一條直線，且lk∩l＝Ak，則l1?α，Ak∈α，∵lk∥l1，設(shè)lk與l1確定平面β，則l1?β，Ak∈β，因此l1與Ak既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)，根據(jù)公理的推論1知過(guò)l1和其外一點(diǎn)的平面有且只有一個(gè)，所以α和β重合，從而由lk的任意性知l1，l2，l3，…，ln共面．證法二：∵l1∥l2，l1∥l3，∴直線l1和l2及直線l1和l3分別確定一個(gè)平面α和β.∵l1∩l＝A1,l2∩l＝A2,l3∩l＝A3,

∴A1，A2∈α，A2，A3∈β，l?α，且l?β，α和β都是過(guò)相交直線l1和l的平面，而過(guò)兩相交直線的平面有且只有一個(gè)，∴l(xiāng)1，l2，l3，l共面，同理可證l4，l5，…，ln都在由直線l1和l所確定的平面內(nèi)．證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題有兩種基本方法：①先假定部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面，再證余下的點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；②分別用部分點(diǎn)、線確定兩個(gè)(或多個(gè))平面，再證這些平面重合．例2如下圖，四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3.求證：EF、GH、BD交于一點(diǎn)．[證明]證法一：(幾何法)連結(jié)GE、HF，∵E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，∴GE∥AC.又∵DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3，∴HF∥AC.∴GE∥HF.故G、E、F、H四點(diǎn)共面．又∵EF與GH不能平行，∴EF與GH相交，設(shè)交點(diǎn)為P.則P∈面ABD，P∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD.∴EF、GH、BD交于一點(diǎn)．思考探究如圖，已知四邊形ABCD中，AB∥CD，四條邊AB，BC，DC，AD(或其延長(zhǎng)線)分別與平面α相交于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，求證：四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線．[證明]∵AB∥CD，∴AB，CD確定一個(gè)平面β，易知AB，BC，DC，AD都在β內(nèi)，由平面的性質(zhì)可知四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都在β上，因而，E，G，G，H必都在平面α與β的交線上，所以四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線．證明線共點(diǎn)，常采用證兩直線的交點(diǎn)在第三條直線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線．證明點(diǎn)共線，實(shí)際上就是證明點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則由公理2可知這些點(diǎn)都應(yīng)在兩個(gè)平面的交線上．例3如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分別為A1B1、BB1、CC1的中點(diǎn)．(1)求異面直線D1P與AM，CN與AM所成的角；(2)判斷D1P與AN是否為異面直線？若是，求其距離．[解]

(1)D1P與AM成90°的角．CN與AM所成角為arccos.(