【金教程】高考數學總復習 9.1平面的基本性質、空間兩條直線 文 B

一、本章知識網絡結構二、最新考綱解讀1．理解平面的基本性質，會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關系的圖形，能夠根據圖形想象它們的位置關系．2．掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理，理解直線和平面垂直的概念，掌握直線和平面垂直的判定定理，掌握三垂線定理及其逆定理．3．理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數乘．4．了解空間向量的基本定理，理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算．5．掌握空間向量的數量積的定義及其性質，掌握用直角坐標計算空間向量數量積的公式，掌握空間兩點間距離公式．6．理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內的射影等概念．7．掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念，對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線或用坐標表示下的距離，掌握直線和平面垂直的性質定理，掌握兩個平面平行、垂直的判定定理和性質定理．8．了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念．9．了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫直棱柱的直觀圖．10．了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會畫正棱錐的直觀圖．11．了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式．三、高考考點聚集考點2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望平面基本性質的應用安徽(理)15.遼寧(理)11；四川(理)19.是高考的冷門，但卻是立體幾何的基礎，是處理共點、共面、共線、空間作圖問題的依據．異面直線相關問題安徽(理)15；遼寧(理)18.浙江(理)19.高考冷門，一般是考查反證法考點2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望平行與垂直及其他線面位置關系問題山東(理)5；四川(理)19；重慶(理)9；福建(理)7；廣東(理)5；福建(理)7；海南寧夏(理)8；江蘇12；江西(理)9；四川(理)5.上海(理)13；四川(理)9；安徽(理)4；湖南(理)5；江蘇(理)16；天津(理)4.是高考的熱點，常以選擇、填空或解答題的第一問形式進行考查，主要考查線面位置關系的判定和性質，借助模型是化解難點的有效方法．考點2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望角度問題北京(理)16；福建(理)17；廣東(理)18;湖北(理)18；全國(Ⅰ)(理)7;全國(Ⅰ)(理)18；山東(理)18;陜西(理)18；浙江(理)5;安徽(理)18；福建(理);海南寧夏(理)11；江西(理)20;全國2(理)5；全國2(理)18;上海(理)5；上海(理)19;四川(理)15；天津(理)19;重慶(理)19.全國Ⅰ(理)11；全國Ⅱ(理)10；陜西(理)9;福建(理)6；全國Ⅰ(理)16;全國Ⅰ(理)18；全國Ⅰ(理)19;四川(理)19；天津(理)19;山東(理)20；湖北(理)18;湖南(理)17；陜西(理)19;浙江(理)18；遼寧(理)19;上海(理)16.考點2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望距離問題北京(理)4；安徽(理)18；福建(理)17；湖南(理)7；湖南(理)18；全國(Ⅰ)(理)10；浙江(理)20；江西(理)20；重慶(理)19.北京(理)16；安徽(理)18；重慶(理)19；福建(理)18.高考熱點，可以以選擇、填空、解答等各種形式進行考查，需對各類距離的概念、求法熟練掌握．考點2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望面積與體積問題安徽(理)18；廣東(理)18；湖北(理)9；山東(理)4；陜西(理)10；浙江(理)12；安徽(理)18；海南寧夏(理)11；遼寧(理)11,15；天津(理)12.山東(理)6；四川(理)15；廣東(理)20.高考常見考點，常以選擇、填空或解答題的一問形式進行考查，解答該類問題首先要掌握計算公式，其次要掌握一定的技巧，如割補、截面的應用．翻折問題浙江(理)17；全國(Ⅱ)(理)12.浙江(理)19是高考的冷門，考查考生的轉化能力．考點2009年高考真題分布2008年高考真題分布高考展望球相關問題湖南(理)14；全國(Ⅰ)(理)15；陜西(理)15；江西(理)14；全國(Ⅱ)(理)15；上海(理)8；四川(理)8.全國(Ⅱ)(理)12；四川(理)8；江西(理)10;湖北(理)3；湖南(理)9;陜西(理)14；重慶(理)9;海南(理)15；天津(理)12;安徽(理)16；福建(理)15;浙江(理)14；遼寧(理)14；是高考的熱點主要是以小題的形式進行考查，一般難度不大.最新考綱解讀1．理解并會應用平面的基本性質，掌握證明關于“線共點”、“線共面”、“點共線”的方法．2．掌握公理及等角定理．3．空間兩條直線的位置關系有且只有三種，即平行、相交及異面．4．會求兩條異面直線所成的角及距離．5．會作幾何體的截面圖．6．會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．高考考查命題趨勢主要考查平面的基本性質、空間兩條直線的位置關系，多以選擇題、填空題為主，難度不大.1.平面的基本性質公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內．作用：①作為判斷和證明是否在平面內的依據；②證明點在某平面內的依據；③檢驗某面是否是平面的依據．公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．作用：①作為判斷和證明兩平面是否相交；②證明點在某直線上；③證明三點共線；④證明三線共點．公理3:經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．推論1：經過一條直線和這條直線外的一點有且只有一個平面．推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面．推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面．作用：公理3及其推論是空間里確定平面的依據，也是證明兩個平面重合的依據，還為立體幾何問題轉化為平面幾何問題提供了理論依據和具體辦法．2．空間兩直線的位置關系(1)相交——有且只有一個公共點；(2)平行——在同一平面內，沒有公共點．(3)異面——不在任何一個平面內，沒有公共點；3．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．等角定理的推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等．4．兩條異面直線的公垂線：和兩條異面直線都垂直相交的直線，叫做異面直線的公垂線．5．兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度．計算方法：(1)公垂線法；(2)轉化成線面距離(點面距離)；(3)轉化成面面距離．6．斜二測畫法.1.熟練掌握平面的基本性質的圖形語言、文字語言、符號語言的相互轉化．2．判定空間兩直線異面的方法：(1)排除法：證明兩直線既不相交，也不平行；(2)定理法：過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線；(3)反證法：假設兩直線不異面，則必然平行或相交，從而推出矛盾，得出兩直線必然異面．3．注意立體幾何與平面幾何的對比，對空間幾何中的一些概念、公理、定理和推論的理解一定要結合圖形，理解其本質，準確把握其內涵，特別是公理、定理和推論的限制條件．另外對于平面幾何中的一些定理、推論，在空間幾何中應當重新認定，有些命題因為空間中位置關系的變化，可能變?yōu)榧倜}，學習中要注意培養(yǎng)分類討論的意識．4．建立自己習慣的幾何模型.一、選擇題1．下列命題中正確的是 ()A．空間不同的三點確定一個平面B．空間兩兩相交的三條直線確定一個平面C．空間有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形D．和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內[答案]

D2．一個水平放置的四邊形的斜二測直觀圖是一底角為45°，腰和上底的長均為1的等腰梯形，那么原四邊形的面積是 ()[答案]

A3．E、F、G、H是三棱錐A—BCD的棱AB、AD、CD、CB上的點，延長EF、HG交于P點，則點P()A．一定在直線AC上B．一定在直線BD上C．只在平面BCD內D．只在平面ABD內[答案]

B4．空間三條直線中的一條直線與其它兩條都相交，那么由這三條直線最多可確定平面的個數是()個 A．1 B．2C．3 D．4[答案]

C二、填空題5．將命題“P∈l，Q∈l，且P∈α，Q∈α?l?α”用文字語言表述是________．[答案]

如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內．6．若平面α∩平面β＝直線l，點A∈α，A∈β，則點________l，其理由是________．[答案]

A∈公理2例1

已知n條互相平行的直線l1，l2，l3，…，ln分別與直線l相交于點A1，A2,…，An，求證：l1，l2，l3…，ln與l共面．[分析]證明多條直線(三條或三條以上)共面，先由兩條確定一個平面，再證其它直線在這個平面內，或者分別由兩條直線確定幾個平面，再證這些平面重合．[證明]證法一：因為l1∩l＝A1，所以l1與l確定平面α，設lk是與l1平行的直線中的任一條直線，且lk∩l＝Ak，則l1?α，Ak∈α，∵lk∥l1，設lk與l1確定平面β，則l1?β，Ak∈β，因此l1與Ak既在平面α內又在平面β內，根據公理的推論1知過l1和其外一點的平面有且只有一個，所以α和β重合，從而由lk的任意性知l1，l2，l3，…，ln共面．證法二：∵l1∥l2，l1∥l3，∴直線l1和l2及直線l1和l3分別確定一個平面α和β.∵l1∩l＝A1,l2∩l＝A2,l3∩l＝A3,

∴A1，A2∈α，A2，A3∈β，l?α，且l?β，α和β都是過相交直線l1和l的平面，而過兩相交直線的平面有且只有一個，∴l(xiāng)1，l2，l3，l共面，同理可證l4，l5，…，ln都在由直線l1和l所確定的平面內．證明點、線共面問題有兩種基本方法：①先假定部分點、線確定一個平面，再證余下的點、線在此平面內；②分別用部分點、線確定兩個(或多個)平面，再證這些平面重合．例2如下圖，四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3.求證：EF、GH、BD交于一點．[證明]證法一：(幾何法)連結GE、HF，∵E、G分別為BC、AB的中點，∴GE∥AC.又∵DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3，∴HF∥AC.∴GE∥HF.故G、E、F、H四點共面．又∵EF與GH不能平行，∴EF與GH相交，設交點為P.則P∈面ABD，P∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD.∴EF、GH、BD交于一點．思考探究如圖，已知四邊形ABCD中，AB∥CD，四條邊AB，BC，DC，AD(或其延長線)分別與平面α相交于E，F，G，H四點，求證：四點E，F，G，H共線．[證明]∵AB∥CD，∴AB，CD確定一個平面β，易知AB，BC，DC，AD都在β內，由平面的性質可知四點E，F，G，H都在β上，因而，E，G，G，H必都在平面α與β的交線上，所以四點E，F，G，H共線．證明線共點，常采用證兩直線的交點在第三條直線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線．證明點共線，實際上就是證明點是兩個平面的公共點，則由公理2可知這些點都應在兩個平面的交線上．例3如圖，棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分別為A1B1、BB1、CC1的中點．(1)求異面直線D1P與AM，CN與AM所成的角；(2)判斷D1P與AN是否為異面直線？若是，求其距離．[解]

(1)D1P與AM成90°的角．CN與AM所成角為arccos.(