計算機控制系統(tǒng)-第三章

1第三章線性常系數(shù)差分方程

3.1線性常系數(shù)差分方程

3.2z變換

3.3z反變換

3.4用z變換求解線性常系數(shù)差分方程2

3.1線性常系統(tǒng)差分方程在離散系統(tǒng)中，用差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達式三種方式來描述表示輸出和輸入信號關(guān)系的數(shù)學模型。

差分方程的一般概念

差分方程的求解

輸入序列

r=r[k]={r[0],r[1],r[2],…}輸出序列

c=c[k]={c[0],c[1],c[2],…}系統(tǒng)的輸入與輸出之間可以用線性常系數(shù)差分方程來描述，即其中，aj，bj是由系統(tǒng)物理參數(shù)確定的常數(shù)。

31.差分方程的一般概念4

2.差分方程的求解

差分方程的求解方法包括經(jīng)典法、迭代法、z變換法差分方程的經(jīng)典解法（1）對應(yīng)齊次方程的通解齊次方程特征方程單根重根5

2.差分方程的求解差分方程的求解方法包括經(jīng)典法、迭代法、z變換法差分方程的經(jīng)典解法（2）非齊次方程的一個特解yp[k]輸入函數(shù)r[n]形式特解形式nm（多項式）pmnm+pm-1nm-1+…+p1n+p0λn（指數(shù)函數(shù)）λ不是方程的特征根pλnλ是方程的特征根單根p1nλn+p0λn(m-1)重根pm-1nm-1λn+pm-2nm-2λn+…+p0λn6

2.差分方程的求解

差分方程的求解方法包括經(jīng)典法、迭代法、z變換法差分方程的經(jīng)典解法（3）差分方程的全解7

例3.1

求解差分方程y[n]+3y[n-1]+2y[n-2]=2nu[n]

初始條件為y[0]=0,y[1]=2.8

練習：

求解差分方程y[n]-5y[n-1]+6y[n-2]=2nu[n]

初始條件為y[1]=5,y[2]=9.9

2.差分方程的求解差分方程的求解方法包括經(jīng)典法、迭代法、z變換法差分方程的迭代解法

如果已知系統(tǒng)的差分方程和輸入值序列，則在給定輸出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法計算出任何時刻的輸出值。原理：根據(jù)初始條件(邊界條件)，逐步遞推計算出后面各時刻的輸出，即由前一時刻的已知結(jié)果，遞推出后一時刻的待求值。

10

例3.2

已知離散系統(tǒng)的差分方程y[n]-0.6y[n-1]=r[n]

初始條件為y[0]=0,r[n]=1.解：y[n]=0.6y[n-1]+r[n]n=1,y[1]=0.6y[0]+r[1]=1n=2,y[2]=0.6y[1]+r[2]=1.6n=3,y[3]=0.6y[2]+r[3]=1.96……11練習：

已知離散系統(tǒng)的差分方程y[n]-2y[n-1]=r(k)

初始條件為y[0]=0,r[k]={1,0,1,0,1,0,…}.12

Matlab程序clear;clc;ck=0;rk=1;fork=1:10ckplus1=2*ck+rk;a=num2str(k);b=num2str(ckplus1);c=['y('a')='b];disp(c)rk=1-rk;ck=ckplus1;end13

3.2Z變換Z變換的定義

Z變換的性質(zhì)和定理

求Z變換的方法

14

3.2.1Z變換的定義f(t)的采樣信號

拉氏變換在拉氏變換中引入新復變量從而有15

3.2.1Z變換的定義

Z變換實際是一個無窮級數(shù)形式，它必須是收斂的。就是說，極限存在時，x[n]的Z變換才存在。

Z變換常記為

連續(xù)時間函數(shù)與相應(yīng)的離散時間函數(shù)具有相同的Z變換，即離散序列x[n]的Z變換定義為:(1)(2)(3)

16

例3.3求下列離散序列的Z變化及收斂域，其中a為任意復常數(shù)17

例3.4求下列離散序列的Z變化及收斂域，其中a為任意復常數(shù)18

3.2.2Z變換的性質(zhì)和定理（1）線性性質(zhì)證明：

例3.5利用Z變換的性質(zhì)，求余弦函數(shù)

的Z變換19解：已知20

3.2.2Z變換的性質(zhì)和定理（2）時移性質(zhì)左位移定理（超前定理）：右位移定理（延遲定理）：證明：21

例3.622

例3.723

3.2.2Z變換的性質(zhì)和定理（3）頻移性質(zhì)證明：例3.8求的Z變換，k為常數(shù)24解：已知25

3.2.2Z變換的性質(zhì)和定理（4）時間反折性質(zhì)證明：例3.9利用時間反折性質(zhì)，分別求奇信號和偶信號的Z變換關(guān)系式26解：奇信號偶信號27

3.2.2Z變換的性質(zhì)和定理（5）共軛性質(zhì)證明：28

3.2.2Z變換的性質(zhì)和定理(6)卷積性質(zhì)

設(shè)

則例3.10求下面兩個離散序列的卷積及其卷積的Z變換29解：已知利用時間平移性質(zhì)30

3.2.2Z變換的性質(zhì)和定理(7)Z域微分性質(zhì)證明：例3.11利用Z域微分性質(zhì)求列序列的Z變換31解：已知利用Z域微分性質(zhì)32

3.2.2Z變換的性質(zhì)和定理(8)Z域積分性質(zhì)證明：例3.12利用Z域積分性質(zhì)求下列序列的Z變換33解：已知利用Z域積分性質(zhì)34

3.2.2Z變換的性質(zhì)和定理(9)初值定理證明：35

3.2.2Z變換的性質(zhì)和定理（10）終值定理常用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差36例3.14：已知某離散序列的Z變換為分別求出該序列的初值和終值。37練習：已知某離散序列的Z變換為分別求出該序列的初值和終值。38

3.2.3求Z變換的方法

級數(shù)求和法利用Z變換性質(zhì)法部分分式法查表法39

1.級數(shù)求和法

其基本思想是利用Z變換的定義將Z變換直接展開成無窮級數(shù)。40

1.級數(shù)求和法例3.15求理想脈沖序列的Z變換。解：41

1.級數(shù)求和法例3.16求指數(shù)函數(shù)的Z變換。解：離散信號42

1.級數(shù)求和法例3.17求信號的Z變換。解：43

2.利用Z變換性質(zhì)法例3.18已知求序列的Z變換。解：Z域微分性質(zhì)時移性質(zhì)線性性質(zhì)44

2.利用Z變換性質(zhì)法例3.19已知求序列的Z變換。解：頻移性質(zhì)Z域微分性質(zhì)線性性質(zhì)45

3.部分分式法

問題：已知連續(xù)函數(shù)的拉氏變換F(s)

，求其離散信號的Z變換解決思路：利用部分分式法將F(s)展開為一些簡單的部分分式之和；對每一部分取拉氏反變換，得到時間函數(shù)；對時間函數(shù)進行Z變換。46(1)特征方程無重根

例3.21

已知函數(shù)f(t)的拉氏變換為求其相應(yīng)的Z變換F(z)。解：由于故有即〖練習〗

已知函數(shù)f(t)的拉氏變換為求其相應(yīng)的Z變換F(z)。解：由于故有即

(2)特征方程有重根例：已知函數(shù)f(t)的拉氏變換為求其相應(yīng)的Z變換F(z)。解：由于其中

(3)特征方程有共軛虛根例：已知函數(shù)f(t)的拉氏變換為求其相應(yīng)的Z變換F(z)。解：由于

練習：已知函數(shù)f(t)的拉氏變換為求其相應(yīng)的Z變換F(z)。解：由于其中

52

4.查表法利用拉氏變換和Z變換表53

測驗

1.已知某離散序列的Z變換為分別求出該序列的初值和終值。2.

已知函數(shù)f(t)的拉氏變換為求其相應(yīng)的Z變換F(z)。3.求的Z變換。54

3.3Z反變換

所謂Z反變換，是已知Z變換表達式F(z)，求相應(yīng)離散序列f[n]的過程長除法

(冪級數(shù)展開法)部分分式法留數(shù)計算法查表法

由z變換的定義序列f[n]值是上述冪級數(shù)中z-n的系數(shù)對于用有理函數(shù)表示的z變換，可以直接用分母去除分子，得到冪級數(shù)的展開形式如果級數(shù)是收斂的，則級數(shù)中z-k的系數(shù)就是f[n]的值在用長除法求系數(shù)時，F(xiàn)(z)的分子和分母都必須寫成z-1的升冪形式。55

1.長除法

例

利用長除法求下列Z變換的Z反變換解：長除格式由長除結(jié)果得

例3.25考慮一個Z變換

在|z|>|a|和|z|<|a|時分別求其反變換58

2.部分分式法

具體方法和求拉氏變換的部分分式展開法類似，分為特征方程無重根和有重根兩種情況59(1)特征方程無重根

〖例〗

求的反變換。解：由于

故有

例3.26分別求下列Z變換在|z|>0.5和|z|<0.5時的Z反變換。解：由于故有|z|>0.5時

|z|<0.5時〖例〗求的反變換。解：特征方程為所以特征方程有兩重根。設(shè)其中A,B為所以有(2)特征方程有重根由于在表中查不到上式第一項的z反變換，故將上式兩邊都乘z-1

由于|z|>1時故有等價于如果F(z)，是超越函數(shù)，用留數(shù)法求Z反變換比較合適當然，這種方法對有理分式也適用設(shè)已知Z反變換函數(shù)F(z)，則可證明F(z)的Z反變換f[n]可由下式計算即f[n]等于全部極點的留數(shù)（residue）之和zi為單根時zi為m重根時64

4.留數(shù)法解：因該函數(shù)有兩個極點：1和0.5，先求出對這兩個極點的留數(shù)：

例3.27設(shè)z變換函數(shù)，試用留數(shù)法解求其z反變換。利用長除法、部分分式法和留數(shù)法分別求的Z反變換。

課堂練習：

(1)部分分式展開(2)長除法

課堂練習：

(3)留數(shù)法課堂練習：

69

測驗

1.已知某離散序列的Z變換為分別求出該序列的初值和終值。解：初值終值70

測驗

2.

已知函數(shù)f(t)的拉氏變換為求其相應(yīng)的Z變換F(z)。解：71

測驗3.求的Z變換。解：已知利用長除法、部分分式法和留數(shù)法分別求的Z反變換。

課堂練習：

課