大學(xué)物理剛體運(yùn)動(dòng)

質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律復(fù)習(xí)平行軸定理3-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律3-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理大學(xué)物理學(xué)電子教案角動(dòng)量守恒定律大小沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理.§3-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律力矩的時(shí)間累積效應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量(質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量）O定義（動(dòng)量×動(dòng)量臂）又稱動(dòng)量矩方向符合右手螺旋法則單位：千克·米2/秒

（kg·

m2·

s-1）力的時(shí)間累積效應(yīng)沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理注意1）必須指明參考點(diǎn)或參考軸.

3）區(qū)別動(dòng)量和角動(dòng)量，前者描述平動(dòng)后者描述轉(zhuǎn)動(dòng)

2質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得2）質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量和對(duì)O軸角動(dòng)量是相同的于是，上式變?yōu)?/p>

作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)O

的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)O的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理3

質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成,對(duì)選定的某確定參考點(diǎn)O，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理表達(dá)式為

對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理表達(dá)式相加可得

-----質(zhì)點(diǎn)i的角動(dòng)量

-----質(zhì)點(diǎn)i所受的內(nèi)力矩

-----質(zhì)點(diǎn)i所受的外力矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某參考點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于各質(zhì)點(diǎn)所受外力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量由轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定義說明剛體的動(dòng)量1)描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的物理量2)區(qū)別剛體的動(dòng)量和角動(dòng)量描述剛體的平動(dòng)狀態(tài)二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律繞中心軸以ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的勻質(zhì)圓盤的動(dòng)量和角動(dòng)量分別為多少?3)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量等于剛體各質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸角動(dòng)量的矢量和2．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理由上面的討論知,轉(zhuǎn)動(dòng)定律可變?yōu)檗D(zhuǎn)動(dòng)定律的微分形式------(t1,t2)這段時(shí)間內(nèi)力矩的沖量矩合外力矩對(duì)時(shí)間的累積效果剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理:作用于剛體的沖量矩等于在作用時(shí)間里角動(dòng)量的增量3．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律

若

M=0則當(dāng)剛體所受合外力矩為零時(shí)，其角動(dòng)量保持不變。------角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.在生活中經(jīng)常應(yīng)用

內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量.

守恒條件:M=0若I不變,ω不變；若I變,ω也變，但L不變.討論

注：角動(dòng)量守恒,動(dòng)量不一定守恒，反之亦然

有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來說明.花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水光滑水平面上一靜止的細(xì)桿，受力如圖，問桿的動(dòng)量守恒嗎？角動(dòng)量守恒嗎？例1

A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為：wA=50rad.s-1,wB=200rad.s-1。已知A圓盤半徑RA=0.2m,質(zhì)量mA=2kg,B圓盤的半徑RB=0.1m,質(zhì)量mB=4kg.試求兩圓盤對(duì)心銜接后的角速度w.

解：以兩圓盤為系統(tǒng)，盡管在銜接過程中有重力、軸對(duì)圓盤支持力及軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)生力矩；圓盤間切向摩擦力屬于內(nèi)力。因此系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，得到例2如圖示,一勻質(zhì)圓盤半徑為質(zhì)量為可繞過中心的垂軸O轉(zhuǎn)動(dòng).的子彈以速度沿與盤半徑成的方向擊中沿與半徑方向成的方向反彈,求盤獲得的角速度.

,,初時(shí)盤靜止,一質(zhì)量為盤邊緣后以速度解：對(duì)于盤和子彈組成的系統(tǒng)，撞擊過程中軸O的支撐力的力臂為零，不提供力矩，其他外力矩的沖量矩可忽略不計(jì)，故系統(tǒng)對(duì)軸O的角動(dòng)量守恒，即初時(shí)盤的角動(dòng)量為零，只有子彈有角動(dòng)量，故末態(tài)中盤和子彈都有角動(dòng)量，設(shè)盤的角速度為則，故有

可解得：例3:一勻質(zhì)細(xì)棒，質(zhì)量為m，可在水平桌面上繞一端點(diǎn)O在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)。棒與水平桌面間的摩擦系數(shù)為t=0時(shí)棒靜止在水平桌面上。這時(shí)有質(zhì)量為m的物體以速度垂直與棒一端點(diǎn)相碰，碰后彈回速度為求棒被碰后經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間棒停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：取細(xì)桿和物體為系統(tǒng)，碰撞過程對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒，

，

碰后細(xì)桿在水平面上的摩擦力矩根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律故經(jīng)過秒后停下來。3-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理力的功,動(dòng)能,動(dòng)能定理.力矩的空間累積效應(yīng)力的空間累積效應(yīng)力矩的功,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,動(dòng)能定理.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能的總和

推導(dǎo):一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可見，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和質(zhì)點(diǎn)系的平動(dòng)動(dòng)能在本質(zhì)上是一樣的，兩者的區(qū)別僅在描述方法上不同，一個(gè)為角量描述，一個(gè)為線量描述比較：0‘0式中設(shè)剛體在力F的作用下，繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過角位移為dθ則力F作元功如果力矩的大小和方向都不變則當(dāng)剛體在此力矩作用下轉(zhuǎn)過角θ時(shí)，恒力矩所作功為二、力矩的功如果力矩隨時(shí)間變化,則變力矩對(duì)剛體作功為1)

M是作用在剛體上諸外力的合力矩說明:2)對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)位移，任何一對(duì)內(nèi)力作功為零。3)力矩的功本質(zhì)是力的功4)力矩的功率為：當(dāng)輸出功率一定時(shí),力矩與角速度成反比。由上可見，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力矩的功和功率的表達(dá)式，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)力的功和功率的表達(dá)式在形式上是類似的，力矩和力相對(duì)應(yīng)，角位移和位移相對(duì)應(yīng)，角速度和速度相對(duì)應(yīng)。由設(shè)在外力矩的作用下，剛體的角速度由ω1變到ω2，則在這個(gè)過程中合外力矩所作的功為三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：總外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的表達(dá)式相似2）質(zhì)點(diǎn)系的功能原理，機(jī)械能守恒定律對(duì)于剛體系統(tǒng)或質(zhì)點(diǎn)＋剛體系統(tǒng)仍然成立1）力矩的功本質(zhì)是力的功，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能本質(zhì)是質(zhì)點(diǎn)系平動(dòng)動(dòng)能，因此，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理本質(zhì)是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理說明例1、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直桿，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初桿靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角速度和角加速度。在桿的下擺過程中，對(duì)轉(zhuǎn)軸O而言，只有重力矩作功，當(dāng)其下擺至與水平位置成θ角的過程中，重力矩所作的總功為解法一：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理mgO重力的功！在此過程，桿的動(dòng)能增量為由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理解法二：應(yīng)用機(jī)械能守恒取桿和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)。整個(gè)過程只有重力作功,而重力為保守內(nèi)力，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。選擇水平位置為桿的勢(shì)能零點(diǎn)。在水平位置時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為在與水平位置成θ角時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為

由機(jī)械能守恒，有解得

解法三：應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律(上節(jié)已講)可見,本題應(yīng)用機(jī)械能守恒解題更為簡(jiǎn)單!例3一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為m0的子彈水平射入與軸相距為a處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮其中(1)子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初速度。這一過程進(jìn)行得很快角動(dòng)量守恒。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間系統(tǒng)角動(dòng)量分別為(2)子彈隨桿一起繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。這一過程機(jī)械能守恒。由角動(dòng)量守恒，得：(1)勢(shì)能零點(diǎn)選取細(xì)桿處于豎直位置時(shí)子彈的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為由機(jī)械能守恒，E=E0,代入q=300