九年級(jí)《三角函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)、經(jīng)典例題

--------九年級(jí)《三角函數(shù)》學(xué)問(wèn)點(diǎn)、例題、中考真題a、b的平方和等于斜邊c的平方。a2

c22Rｔ△AＢCCAB)：定定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦sinAA的對(duì)邊斜邊asinAc0sinA1(∠Ａ為銳角)余弦cosAA的鄰邊斜邊bcosAsinAcosBcosAsinBsin2Acos2A1c0cosA1〔∠A正切tanAA的對(duì)邊atanAbtanA0(∠AtanAcotBcotAtanBtanA1(倒數(shù))余切cotAA的鄰邊A的對(duì)邊cotAbacotA0〔∠Ａ為銳角)tanAcotA13、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。sinAsinAcos(90A)cosAsin(90A)sinAcosBcosAsinB斜邊cab由AB90邊得B90A 對(duì)邊A C鄰邊tanAtanAcot(90A)cotAtan(90A)tanAcotBcotAtanB由AB90三角函數(shù)0°三角函數(shù)0°3０°４5°6０°90°sin0122212232121cos32330tan０１3－cot-3１33０6、正弦、余弦的增減性：0≤９0°時(shí)，sin隨的增大而增大，cｏs隨的增大而減小。7、正切、余切的增減性:0<90°時(shí),ｔan隨的增大而增大,coｔ隨的增大而減小。８、解直角三角形的定義:邊和角〔兩個(gè),其中必有一邊〕→全部未知的邊和角。a2b2c2；②角的關(guān)系:A+B=９０°；③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義。(留意：盡量避開使用中間數(shù)據(jù)和除法)９、應(yīng)用舉例:仰角：視線在水平線上方的角;俯角:視線在水平線下方的角。

視線hihih:lαl視線h坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比ii等。

1:mi1:5l把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角〕,那么i

htan。l１0、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OＣ、ＯD的方向角分別是：45°、1３５°、22５°。11指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角如圖4,OAOBOCOD的方向角分別是：北偏東３0°〔東北方向)， 南偏東45°〔東南方向)，南偏西６0°(西南方向)， 北偏西６0°(西北方向)。１2、解斜三角形所依據(jù)的定理(在△ABC中)a①正弦定理： a

b c

=２R．(R是△ＡBC外接圓半徑)．SinA SinB SinC②余弦定理: c2=a2+ｂ2－２abCoｓC；ｂ2=ｃ2＋a2－2caCosB；a2=c2+b２－2cbＣosA.③互補(bǔ)的兩個(gè)角的三角函數(shù)的關(guān)系：Ｓiｎ(１8０-A)＝sｉnＡ, Cｏs(１80－A)=-coｓA,tａn〔180-Ａ)=－cotA， coｔA(1８０-A)=－tanA.1 1 1④S = ａｂsinC= bcsinA＝casｉnB．△AＢＣ 2 2 2三角函數(shù)中考試題分類例題講解一、三角函數(shù)的定義例1：(濱州市〕如圖1，梯子(長(zhǎng)度不變〕跟地面所成的銳角為A,關(guān)于∠A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間，表達(dá)正確的選項(xiàng)是〔 〕A.sinA的值越大,梯子越陡 Ｂ．cosA的值越大,梯子越陡C.tanA的值越小,梯子越陡 D．陡緩程度與∠A的函數(shù)值無(wú)關(guān)大，梯子越陡，余弦值越小,梯子越陡。因此選A。 圖1二、利用特別角的三角函數(shù)值計(jì)算例4：(遼寧省十二市)計(jì)算:2(2cos45sin60) 244解：原式 2(2 2 3)2 62 2 4226 622點(diǎn)評(píng)：熟記特別角的三角函數(shù)值是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。三、求線段的長(zhǎng)度35:226 622點(diǎn)評(píng)：熟記特別角的三角函數(shù)值是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。三、求線段的長(zhǎng)度34,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D。在Ｒt△ABD中，∠B=4５°,則AＤ=BＤ。不妨設(shè)AD=x，又AB=6，所以有x2＋x2＝62，解得x=3 ，即AD=BD＝3 。在Rt△ＡCD中，由∠ＡＣD＝６０°得∠CAＤ＝ ACD30°而tan３0°= ，即

CD

,解得ＣD=。因此 b cAD 3 2BC=BD+DC=3 +6。 C a B54下面也是20０7年關(guān)于銳角三角函數(shù)的中考題,請(qǐng)自己完 成。1〕如圖5,Rt△ABCC90°a，b，c分別是A，B，Cb2atanA .4２、(大連市)在ABC中，∠C=９0°，AＢ＝1０cm，ｓｉｎA(yù)=5

,則BC的長(zhǎng)為_＿_(dá)cm。3(麗水市〕6AC=3米cosBAC

3,則梯子AB的長(zhǎng)度為 米。4〔天津市〕4〔天津市〕sin45cos45的值等于〔〕BA．2B.312Ｃ.3Ｄ. 1AC65〔連云港市)計(jì)算201

2sin45231236、(岳陽(yáng)市)(

1)0( )1＋|2-3|+ｓiｎ2４5°2７、(眉山市〕計(jì)算：

ｓｉｎ450＋cos300·tan600— B2(3)2(3)28、(中山市)如圖７,Ｒt△ABC的斜邊AB=5,cosA=5?！?)用尺規(guī)作圖作線段AC的垂直平分線l(保存作圖痕跡,不要求寫(2)假設(shè)直線l與AB、ACD、EDE1 C答案:１、。28。 ３4。4A。 ５2。6、＼f〔１,2)。 圖727、－錯(cuò)誤。 8、2。

作法、證明)；A一、選擇題1〔2０9·漳州中三角形在方格紙中的位置如下圖，則tan的值是〔 )3 4 3 45

3

4

?D．512.(２00８·威海中考〕在△ABC中，∠C＝90°，tａnA＝3，則ｓiｎＢ＝〔)31010 31010

3 Ｃ.4

? Ｄ. 103.〔200９·湖州中考)如圖，在Rt△ABC中,ACBRt,BC1,AB2，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是( )A．sinA 3 B.tanA1 C．cosB 3

D.tanB 32 2 2ADBC3題 ADBC4.(20０８·溫州中考〕如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的中線,CD2，AC3,則sinB的值是( )2 3 3 4A．3 ? B．2? C.4 ?D.322

32332

,則tanBCD的值為( 〕2(A〕二、填空題2

(B〕2

(C〕

633? (Ｄ〕336.(2０09·梧州中考)在△ABC中,∠Ｃ=９0°, BＣ＝6cm,sinA

35，則AB的長(zhǎng)是 ｃm..

20９·孝感中如圖角的頂點(diǎn)它的一邊在x軸的正半軸上另一邊OA上有一點(diǎn)P３4則sin ．７題 8題8〔０0９·慶陽(yáng)中考〕,菱形CD的邊長(zhǎng)為10c，D⊥A，sinA三、解答題

35，則這個(gè)菱形的面積＝ cm2.9.〔2023·寧夏中考〕ABC中,C=90°,sinA＝4AB＝15,ABC的周長(zhǎng)和tanA的值.51０.〔200７·蕪湖中考)如圖，在△ABC中，ADBCtanBcosDAC,求證:ＡC=BD；(2〕假設(shè)sinC12,BC=1２,求ＡD的長(zhǎng).13一、選擇題２.〔２０9·長(zhǎng)春中考菱形OABC 在平面直角坐標(biāo)系中的位置如下圖，AOC45，OC

2,B的坐標(biāo)為( 〕Ａ．( 1) B.(，2)

1) D．(，21)23.(2023·定西中考)某人想沿著梯子爬上高４米的房頂,梯子的傾斜角(梯子與地面的夾角〕6０°,否則就有危急,那么梯2子的長(zhǎng)至少為( 〕3８米 3

米

8 334 33米 8 334 334.〔２008·宿遷中考〕為銳角，且sin(10) 3,則等于( )2Ａ．50 Ｂ．60 C.70 D．801５.〔2023·畢節(jié)中考〕A(ｃos６０°，-tan３0°〕關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)是〔 )1A.1，3

3 2 3 2 3

C.1 3

Ｄ.1，32 3 2 3

2 2６.〔20０7·襄樊中考)計(jì)算：cos245tan60 cos30等于( 〕(A)1 〔B) 2 〔C)2? (D〕3二、填空題7. 〔2023·荊門中考〕4cos30sin60(2)1( 20232023)0= ＿_(dá).８.(２0０9·百色中考)如圖在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中,測(cè)得電線桿底部B與鋼纜固定點(diǎn)C的距離為4米,鋼纜與地面的夾角為60o，則這條鋼纜在電線桿上的固定點(diǎn)A到地面的距離ＡB是 米.〔結(jié)果保存根號(hào))．10.〔20０７·濟(jì)寧中考)計(jì)算sin60tan45的值是 。cos30三、解答題3１12０09·黃石中考〕3-π-10-33

ｔａn30°－tan45°101２２0９·:2sin603tan303(12023. 要點(diǎn)三、解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用一、選擇題1.(2023·白銀中考〕某人想沿著梯子爬上高４米的房頂，梯子的傾斜角〔梯子與地面的夾角〕不能大60°,否則就有危急，那么梯子的長(zhǎng)至少為〔 〕A.8米

8 3 4 33米 C．3 米? D. 3 米32〔2023·小明測(cè)得圖中所示的數(shù)據(jù)〔，則該坡道傾斜角α的正切值是〔 〕A．1? Ｂ.4 C．1 ? D. 44 17 173.(2０09·益陽(yáng)中考)如圖,先鋒村預(yù)備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離ＡＢ為( )Ａ. 5cos B．

5 C.5sin D.5米B5米BAα

5sin１題 2題 ３題4．(２009·蘭州中考如圖,〔相鄰兩樹間的水平距離)4m.0.75的山坡上種樹,也要求株距為4m,那么相鄰兩樹間的坡面距離為( 〕Ａ.５m B．６m C.7m D．8ｍ.

4題 5題２0９·濰坊中考如圖小明要測(cè)量河內(nèi)小到河邊大路l的距,在A點(diǎn)測(cè)得BAD3,在C點(diǎn)測(cè)得BCD6，又測(cè)得AC50米，則小島B到大路l的距離為( )米．A.２5

B．25 3 C．100 33

D.2525 3二、填空題6.(200９·沈陽(yáng)中考)如圖,市政府預(yù)備修建一座高ＡＢ＝６m的過(guò)街天橋天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的正弦值為錯(cuò)誤!，則坡面AC的長(zhǎng)度為 ｍ．7.〔2023·南寧中考)如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔402海里的A處,它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30方向上的B處，則海輪行駛的路程AB為 _＿＿＿海里〔結(jié)果保存根號(hào))．6題 7題 8題 9題8.〔２00８·慶陽(yáng)中考〕如圖，一架梯子斜靠在墻上,假設(shè)梯子底端到墻的距離AC＝３米cosBAC米．

34,則梯子長(zhǎng)ＡＢ=９.〔２007·湖州中考)小明覺