《電路分析》譚永霞課件03

第三章電路分析的規(guī)范方法

本章介紹線性電阻電路的一般分析方法,內(nèi)容有：支路電流法、網(wǎng)孔電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法和回路電流法。§3-1電路方程的獨(dú)立性電路分析的任務(wù)是在已知電路結(jié)構(gòu)及元件參數(shù)的條件下,求解電路各支路電流和電壓。電路分析的基本依據(jù)是基爾霍夫定律和元件的伏安特性,第一章介紹了電路分析的觀察法,第二章介紹了電路分析的等效變換法?？墒沁@些方法都局限于一定結(jié)構(gòu)形式的電路,且不夠規(guī)范,本章討論幾種規(guī)范方法。在用規(guī)范方法分析電路時(shí),需要列KCL和KVL方程,但是只有獨(dú)立的∑i=0

和∑u=0

才有意義,因此必須討論電路方程的獨(dú)立性。一、獨(dú)立KCL方程左下圖電路中,設(shè)支路電壓與支路電流方向關(guān)聯(lián)。第一章已介紹過,電路的KVL僅與電路的結(jié)構(gòu)有關(guān),而與元件的性質(zhì)無關(guān)。因此在分析KCL、KVL時(shí)可將左下圖電路中的各條支路用有向線段表示,線段的方向與支路電流方向一致,這就構(gòu)成了圖論中的有向圖,如右下圖所示。在圖論中,圖用G（Graph）表示。圖中的線稱為支路(或邊),線段的端點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)(或頂點(diǎn))。右上圖為平面圖,所謂平圖,是指沒有空間交叉支路的圖,否則為非平面圖。例如,下圖中,（a）、（b）為平面圖,其中圖（b）雖看起來有交叉支路,但可將它畫成圖（c）形式圖（d）為非平面圖。1、列∑i

=

0方程。右圖有四個(gè)節(jié)點(diǎn),其KCL方程分別為：節(jié)點(diǎn)a

：i1

+i2+i6

=0節(jié)點(diǎn)b

：-i2

+i3+i4

=0

節(jié)點(diǎn)c：-i4

+i5

-i6

=0節(jié)點(diǎn)d：-i1

–i3

–i5

=02、獨(dú)立的KCL方程數(shù)=

n–1

個(gè)（n——節(jié)點(diǎn)數(shù)）由上組方程可以看出,將任意三個(gè)方程相加,可得到另一個(gè)方程,這表明獨(dú)立方程數(shù)不會大于3?，F(xiàn)任選三個(gè)方程(例如前三個(gè))進(jìn)一步分析,可以看出,任意兩個(gè)方程相加都不能得到另一個(gè)方程,可見這三個(gè)方程之間沒有約束關(guān)系,故它們是彼此獨(dú)立的?？梢宰C明,具有n

個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路或圖,其獨(dú)立的KCL方程為n

-1個(gè),且為任意的n

-1個(gè)。論證如下:每一條支路都接于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間,因此每一條支路電流對一個(gè)節(jié)點(diǎn)為流入,對另一個(gè)節(jié)點(diǎn)則必為流出。當(dāng)對所有節(jié)點(diǎn)列KCL方程時(shí),在這些方程中,每個(gè)電流勢必都出現(xiàn)兩次,一次為正,一次為負(fù),故n

個(gè)節(jié)點(diǎn)的KCL方程之和必為零,因此n

個(gè)KCL方程中至少有一個(gè)不獨(dú)立?，F(xiàn)在去掉一個(gè)方程,分析余下的n–1個(gè)。由于被去掉的方程中的電流在余下的n

–1個(gè)方程中只可能出現(xiàn)一次,因此這n

–1個(gè)方程相加不可能為零,故此n–1個(gè)KCL方程必定獨(dú)立。提供獨(dú)立KCL方程的節(jié)點(diǎn)稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn),顯然獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)為n

-1。二、獨(dú)立KVL方程對右圖電路三個(gè)網(wǎng)孔按順時(shí)針方向列KVL方程有:網(wǎng)孔abda

:u2

+u3

-u1

=0網(wǎng)孔bcdb:

u4

+u5

–u3

=0網(wǎng)孔acba:u6

–u4

–u2

=0式中,u1

——

u6為支路電壓?？梢钥闯?該組方程獨(dú)立。右圖中還有四個(gè)回路：acda、abcda、acbda和acdba

,但是它們的KVL方程均不獨(dú)立,因?yàn)樗鼈兙捎缮厦嫒齻€(gè)方程的某種組合得到?？梢宰C明:①具有b

條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的平面圖,其網(wǎng)孔數(shù)m=b-n+1

,且網(wǎng)孔的KVL方程組獨(dú)立;②若一組回路中的每個(gè)回路中的每個(gè)回路都有一條不被其它回路占有的支路,則此組回路的KVL方程獨(dú)立,方程數(shù)也是b–n+1

個(gè)（證明從略,讀者請看書）。KVL方程獨(dú)立的回路稱為獨(dú)立回路。結(jié)論：電路中,

（1）獨(dú)立的KVL方程數(shù)=b–n+1;（2）網(wǎng)孔的KVL方程是一組獨(dú)立方程,網(wǎng)孔是一組獨(dú)立回路;（3）若一組回路中的每個(gè)回路都有一條不被其它回路占有的支路,則此組回路獨(dú)立,其KVL方程獨(dú)立。§3-2支路電流法一、分析（u支—支路電壓,i支—支路電流）

u支=

f（i支）KVL方程：∑u支=0∑f（i支）=0走路徑,u

支可用i支表示獨(dú)立KVL方程可寫成:∑f（i支)=0b-n+1個(gè)獨(dú)立KCL方程:∑i支=0n–1個(gè)共b個(gè)上兩組獨(dú)立方程（KCL、KVL）共b個(gè),未知量i支

也是b

個(gè),聯(lián)立這兩組方程即可求得各支路電流i支。支路電流法——以i支為變量列聯(lián)立方程,求解i支

的方法。二、支路電流方程的列寫

1、KCL方程：列a、b、c

點(diǎn)方程。

i1

+i2

+i6

=0

-i2

+i3

+i4

=0

-i4

+i5

-i6

=0

2、KVL方程：列網(wǎng)孔I、II、III的KVL方程。1:-R1

i1

–uS1

+R2

i2

+uS2–uS3

+R3i3

=02:-R3

i3+uS3

+R4i4

+R5

i5=03:-uS2

–R2

i2

+R6

i6

+uS6

–R4

i4

=

0經(jīng)整理得:

-R1

i1

+R2

i2

+R3

i3

=uS1

–uS2+uS3

-R3

i3

+R4

i4

+R5

i5

=-uS3

-R2

i2

–R4

i4+R6

i6

=uS2

–uS6

聯(lián)立式①、②

即可求得i1

----i6。①②

3、說明：式②

的普遍形式為∑Ri支=∑uS∑RI支——回路中各電阻壓降的代數(shù)和。當(dāng)i支方向與回路方向一致時(shí)取“+”,反之取“-”；

∑uS——回路中各壓源電壓的代數(shù)和。當(dāng)uS驅(qū)動電流的方向與回路方向一致時(shí),取“+”,反之取“-”。

三、支路電流法解題步驟

1、設(shè)定電路中各支路電流;2、列n-1個(gè)KCL方程：∑i支=0;3、列獨(dú)立的b-n+1個(gè)KVL方程：∑Ri支=∑uS；4、聯(lián)立KCL、KVL方程，求各i支

。例3-1試求右圖所示直流電路各支路電流及各元件電壓。解：（1）設(shè)定各支路電流如圖所示。（2）列獨(dú)立的∑I=0方程。該電路節(jié)點(diǎn)數(shù)n=2,獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)為1。任選一點(diǎn),于是有

I1+I2+I3=0（3）列獨(dú)立回路的∑RI=∑US

方程。獨(dú)立回路選為網(wǎng)孔,方向如圖中所示,于是有

5I1–20I3=20

10I2–20I3=10（4）聯(lián)立并化簡以上方程,求解支路電流。

I1+I2+I3

=0

I1–4I3

=4

I2-2I3

=1由上組方程求得

I1=1.14A

I2

=-0.43A

I3

=-0.71A

（5）求各元件電壓。設(shè)各元件電壓與對應(yīng)電流方向關(guān)聯(lián),于是

UR1=R1I1

=（5×1.14）V=5.7V

UR2=R2I2

=[10×（-0.43）]V=

-4.29V

UR3=R3I3

=[20×（-0.71）]V=

-14.3V（6）校核。上述結(jié)果可以由其它回路的∑U

是否為零來校核,例如外沿電路。外沿回路的確∑U為

R1I1–R2I2+10-20=5×1.14-10×（-0.43+10–20）=0可見以上計(jì)算結(jié)果正確。例3-2試用支路電流法求解右圖電路的支路電流和支路電壓。解設(shè)各支路電流如圖所示,I

4=3A為已知,故未知電流僅有五個(gè),只需列五個(gè)獨(dú)立方程。

（1）列節(jié)點(diǎn)a、b、c

的∑I=0方程：

I1+I2-3=0

I2–I3–I5=0

I1+I3+I6=0（2）只需列兩個(gè)回路的∑RI=∑Us方程。因?yàn)榱髟措妷何粗?故在選回路時(shí)應(yīng)避開流源支路,現(xiàn)選回路

acba和bcdb,于是有

I1

-0.5I3

-0.1I2

=-1

0.5I3

–I5

=-2（3）求各支路電流。整理以上方程,有

1.1I2+0.5I3=4-I2

+1.5

I3

=-2解得I2=3.26A

I3=0.84A

I1=（3-3.26）A=-0.26A

I5=（3.26-0.84）A=2.42A

I6=（0.26-0.84）A=-0.58A

（4）求各支路電壓：

Uab=0.1I2=0.326V

Ubc

=0.5I3=0.42V

Ubd

=1I5=2.42V

Uac

=1I1+1=0.74V

Uad=Uab+Ubd=2.75V

Ucd

=2V

（5）校核：用外沿網(wǎng)孔的KVL方程校核,有

Uac

+

Ucd+

Uda=0.74+2

-2.75≈0因此上列各計(jì)算值正確。上面所得的各電流、電壓是近似值,故這里出現(xiàn)誤差。§3-3網(wǎng)孔電流法（網(wǎng)孔分析法）一、網(wǎng)孔電流下圖（a）為某電路的平面圖G,設(shè)各支路電流分別為i1、i2、i3

,i3

=i1-i2。圖（a）可等效為圖（b），再等效為（c）。圖（c）中虛線所示的i1、i2分別在左右兩個(gè)網(wǎng)孔中流動,將它們稱為網(wǎng)孔電流。(c)為清晰起見,我們將圖（a）中的支路電流i1、i2、i3也示于圖（c）。由圖（c）可見支路電流i1=網(wǎng)孔電流

i1支路電流i2=網(wǎng)孔電流

i2支路電流i3=網(wǎng)孔電流

i1-網(wǎng)孔電流

i2上述分析雖是對兩個(gè)網(wǎng)孔的電路進(jìn)行的,但實(shí)際上對任何平面電路的任一網(wǎng)孔,均可假設(shè)一個(gè)網(wǎng)孔電流,這種假設(shè)的合理性在于,它對網(wǎng)孔中的任何節(jié)點(diǎn)來說,總是流入一次又流出一次,自然地滿足KCL。支路電流和網(wǎng)孔電流之普遍關(guān)系可表示為

ib

=∑im式中,ib

為支路電流；∑im為流過支路的網(wǎng)孔電流的代數(shù)和,當(dāng)im方向與ib方向一致時(shí)取“+”,反之取“-”。結(jié)論：（1）支路電流可以用網(wǎng)孔電流表示。即i支是i網(wǎng)的函數(shù)：

i

支=f（i網(wǎng)）（2）網(wǎng)孔電流數(shù)<支路電流數(shù),因此求i網(wǎng)比求i支所需的方程數(shù)少。我們可先求i網(wǎng),根據(jù)此結(jié)論,然后再進(jìn)一步求i支,這就是網(wǎng)孔電流法的思路。下面圍繞此進(jìn)行分析。二、分析：

1、支路電流法中,獨(dú)立的KVL方程方程數(shù)=b–n+1個(gè)未知量i支數(shù)=b個(gè)

因?yàn)閕支=f（i網(wǎng)）,故上式可轉(zhuǎn)換為：方程數(shù)=b-n+1個(gè)未知量i網(wǎng)=b-n+1個(gè)由于獨(dú)立方程數(shù)與未知量數(shù)相等,故可解得各i網(wǎng)。2、網(wǎng)孔電流法以i網(wǎng)為變量列聯(lián)立方程求解i網(wǎng)的方法稱為網(wǎng)孔電流法?！芌i支=∑uS三、標(biāo)準(zhǔn)電路（無流源和受控源）的網(wǎng)孔電流方程

1、分析：以三個(gè)網(wǎng)孔電路為例下圖為不含流源及受控源的標(biāo)準(zhǔn)型電路,具有三個(gè)網(wǎng)孔。設(shè)網(wǎng)孔電流分別為im1、im2、im3。按網(wǎng)孔電流方向列網(wǎng)孔的KVL方程如下：網(wǎng)孔1：R1i1+R4i4-R5i5=uS1–uS4網(wǎng)孔2：R2i2+R4i4-R6i6=uS2-uS4①

網(wǎng)孔3：R3i3+R5i5-R6i6=uS3各支路電流與網(wǎng)孔電流之關(guān)系為

i1=im

1,i2=im

2

i3=im

3,i4=im

1+im

2

i5=-im1+im

3,i6=-im

2-im

3式②代入式①，經(jīng)整理后得（R1+R4+R5）im1+R4im

2–R5im

3=uS1–uS4

R4im

1+（R2+R4+R6）i

m

2+R6im

3=uS2–uS4

-R5im

1+R6im

2+（R

3+R5+R6）im

3=uS3

2、網(wǎng)孔電流方程的普遍形式（以三個(gè)網(wǎng)孔電路為例）

②

——網(wǎng)孔電流方程③

R11im

1+R12im

2+R13im

3=uS11

R21im

1+R22im

2+R23im3=uS22

R31im1+R32im

2+R33im

3=uS33

（1）

Rkk（R11、R22、R33）

Rkk稱為網(wǎng)孔k

的自電阻

Rkk=網(wǎng)孔k中各電阻之和直接由右圖可得

R11=R1+R4+R5

R22=R2+R4+R6

R33=R3+R5+R6（2）Rjk、Rkj

Rjk——網(wǎng)孔j與k的互電阻

Rkj——網(wǎng)孔k與j的互電阻

由上式可得：

R

jk

=R

kj=±（網(wǎng)孔j與k公共支路的電阻）④當(dāng)流過公共支路的imj、imk方向一致時(shí)取“+

”,反之取“-”。由右上圖可直接寫出

R12=R21=R4

R13=R31=-R5

R23=R32=R6說明：若各im

都是順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向,則互電阻均取“-”。（3）uSkk由式③可見

uSkk=∑uS——網(wǎng)孔中各壓源電壓代數(shù)和。式中,當(dāng)uk驅(qū)動電流方向與i網(wǎng)方向一致時(shí)取“+”,反之取“-”。由右圖可直接寫出3、網(wǎng)孔電流的行列式解法由式④有其余im

2、im

3類似。例3-3應(yīng)用網(wǎng)孔電流法求解右圖所示電路中的各支路電流。解設(shè)各支路電流和各網(wǎng)孔電流如圖所示,顯見,左網(wǎng)孔電流與I1

相等,故直接用I1表示。同理,右網(wǎng)孔電流用I2

表示。列網(wǎng)孔電流方程

25I1+20I2=2020I1+30I2=10化簡上式得

5I1+4I2=42I1+3I2=1用行列式解

I3=I1+I2=0.71A上述結(jié)果與用支路法（例3-1）解得的相同。四、電路中含有理想流源時(shí)的網(wǎng)孔電流方程

分兩種情況,第一種是流源不處在兩網(wǎng)孔的公共支路中,另一種是處在公共支路中。

1、流源只處在一個(gè)網(wǎng)孔中的情況由右圖可見,im

=3A,于是未知的i網(wǎng)僅兩個(gè),故只需列im

1和im

2兩個(gè)網(wǎng)孔電流方程。由圖直接寫出

60im1–40im2-8×3=136

-40im1+50im2-10×3=-50即60im

1–40im

2=160

-40im

1+50im

2=-20對照規(guī)范式

R11im

1+R12im

2=uS11

R21im

1+R22im2=uS22可見USkk≠

這種情況下網(wǎng)孔電流方程的特點(diǎn)是：（1）未知i網(wǎng)數(shù)<網(wǎng)孔數(shù),聯(lián)立方程數(shù)<網(wǎng)孔數(shù)；（2）uSkk≠∑uS。2、流源處于兩網(wǎng)孔公共支路中的情況例3-5求右圖中所示的網(wǎng)孔電流I1、I2、I3。解由圖看出I2=2A列網(wǎng)孔1、3方程。首先設(shè)3A流源端電壓為U0,于是有

10I1+2×5–4I3=5–U

0

-4I1+2×2+9I3=U

0補(bǔ)充：-I1+I3=3上組方程整理得

10I1–4I3+U0=-5

-4I1+9I3-U0=-4

-I1+I3=3兩個(gè)方程有3個(gè)未知量，故要補(bǔ)充一方程由上方程組解得

I1=（-24/11）A=-2.182A

I3=（9/11）A=0.818A

U0=（221/11）V=20.091V流源處于兩網(wǎng)孔公共支路中時(shí)網(wǎng)孔電流方程的特點(diǎn)：（1）網(wǎng)孔電流方程是一組混合變量方程（含有流源電壓U0）；（2）網(wǎng)孔電流方程組中必須要有補(bǔ)充方程（附加方程）——流源電壓與網(wǎng)孔電流之關(guān)系。五、電路中含有受控源時(shí)的網(wǎng)孔電流方程當(dāng)電路含有受控源時(shí),受控壓源和受控流源的處理分別與獨(dú)立壓源和獨(dú)立流源一樣,但要注意的是,受控源的控制量必須用網(wǎng)孔電流表示。下面舉例說明。例3-6試列圖中電路的網(wǎng)孔電流方程。

解網(wǎng)孔電流方程為

(R1+R4+R5)i1–R4i2–R5i3=uS

-R4i1+(R2+R4)i2=-u3

-R5i1+(R3+R5)i3=u3控制量uS必須用網(wǎng)孔電流表示,由圖可見

u3=R3i3將它代入方程組中,經(jīng)整理后得

(R1+R4+R5)i1–R4i2–R5i3=uS

-R4i1+(R2+R4)i2+R3i3=0μ-R5

i1+(R3+R5-R3)i3=0

特點(diǎn)：（1）R23=R3,R32=0,R23≠

R32。其規(guī)律是：在含受控源的電路中,受控源所在網(wǎng)孔與控制量所在網(wǎng)孔間的互電阻不等；（2）含受控源的電路中,網(wǎng)孔電流方程式的系數(shù)行列式不對稱?！?-4節(jié)點(diǎn)電壓法（節(jié)點(diǎn)分析法）一、分析1、支路電流法中,獨(dú)立的KCL方程方程數(shù)=n–1個(gè)未知量（c）數(shù)=b個(gè)這一組方程求不出i支。故尋求另外的獨(dú)立變量來表示i支,以使該變量數(shù)=方程數(shù),求出此變量后,再進(jìn)一步求i支,這就是我們提出的思路。2、i支可以用節(jié)點(diǎn)電壓表示

i支的表達(dá)無外乎下面兩種情況：（1）由歐姆定律I=Uab/R=G(Ua–Ub

)∑i支=0(2）

電壓源支路歐姆定律注：式中下面的符號與圖中uS帶括號的極性對應(yīng)。結(jié)論：i支可用節(jié)點(diǎn)電壓u節(jié)點(diǎn)表示。即i支=f（u節(jié)點(diǎn)）3、將i支=f（u節(jié)點(diǎn)）代入∑i支=0中∑i支=0∑f（u節(jié)點(diǎn)）=0節(jié)點(diǎn)電壓方程方程數(shù)=n-1個(gè)變量（u節(jié)點(diǎn)）數(shù)=n–1個(gè)（∵u參考點(diǎn)=0）∑f（u節(jié)點(diǎn)）=0

4、節(jié)點(diǎn)電壓法以u節(jié)點(diǎn)為變量列聯(lián)立方程求解u節(jié)點(diǎn)的方法稱為節(jié)點(diǎn)電壓法,它也是求i支的間接法。二、標(biāo)準(zhǔn)電路（無理想壓源和受控源）的節(jié)點(diǎn)電壓方程列∑i支=0方程。

4個(gè)節(jié)點(diǎn),獨(dú)立的為3個(gè),選節(jié)點(diǎn)1、2、3。節(jié)點(diǎn)1：i1+i

2-i

7=i

S1–i

S2節(jié)點(diǎn)2：-i

2+i

3-

i

4-i

5=0節(jié)點(diǎn)3：i

4+i

5-

i

6-

i

7=i

S2

選節(jié)點(diǎn)4為參考點(diǎn),即u4=0,節(jié)點(diǎn)1、2、3的電壓分別設(shè)為u1、u2、u3。由歐姆定律和壓源支路歐姆定律有：①

i1=G1u14=G1u1

i2=G2u12=G2（u1-

u2）

i3=G3u24=G3u2

i4=G4（u32+uS1）=G4（u3-

u2+uS1）

i5=G5u32=G5（u3-

u2）

i6=G6（u32+uS2）=G6（-

u3+uS2）

i7=G7u31=G7(u3-

u1)

3、式②代入式①,經(jīng)整理后得

G

1+G

2+G

7）u1–

G

2u2–

G

7u3=i

S1-i

S2

-

G

2u

1+（G

2+G

3+G

4+G

5）u

2-（G

4+G

5）u

3=G

4u

S1-

-

G

7u

1-（G4+G5）u2+（G4+G5+G6+G7）u

3=

i

S2–G4uS1+G6uS2

4、節(jié)點(diǎn)電壓方程的普遍形式（規(guī)范形式）以3個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)為例時(shí),節(jié)點(diǎn)電壓方程普遍形式為

②③

G11u1+G12u2+G13u3=iS11

G21u1+G22u2+G23u3=iS22

G31u1+G32u2+G33u3=iS33（1）Gkk——節(jié)點(diǎn)k

的自電導(dǎo)

Gkk=與節(jié)點(diǎn)k

相連各支路電導(dǎo)之和（不包括與流源串聯(lián)的電導(dǎo)）由圖可直接看出

G11=G1+G2+G7

G22=G2+G3+G4+G5

G33=G4+G5+G6+G7（2）Gjk、GkjGjk——節(jié)點(diǎn)j與k

的互電導(dǎo)Gkj——節(jié)點(diǎn)k

與j

的互電導(dǎo)Gjk=Gkj=-

（節(jié)點(diǎn)j

、k

之間各支路電導(dǎo)之和,不包括與流源串聯(lián)的電導(dǎo)）④由圖可直接看出

G12=G21=-

G2

G13=G31=-

G7

G23=G32=-

（G4+G5）（3）iSkk

式中——與節(jié)點(diǎn)k相連的各流源電流的代數(shù)和。當(dāng)iS指向節(jié)點(diǎn)k

時(shí),取“+

”,反之取“-”；——與節(jié)點(diǎn)k相連的各實(shí)際壓源的電導(dǎo)與uS之積。當(dāng)uS驅(qū)動電流方向指向節(jié)點(diǎn)k時(shí)取“+

”,反之取“-”。由圖可直接看出iS11=iS1–

iS2iS22=G4uS1iS33=iS2–

G4uS1+G6uS25、說明：（1）節(jié)點(diǎn)電壓方程的規(guī)律與支路電流無關(guān),因此在列寫方程時(shí)不要考慮支路上所標(biāo)的電流；（2）應(yīng)用節(jié)點(diǎn)電壓法時(shí),應(yīng)選支路數(shù)最多的節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn),這樣可使方程簡單；（3）節(jié)點(diǎn)電壓法對平面電路和非平面電路均適用（網(wǎng)孔電流法只對平面電路適用）。例3－7試對圖中電路用節(jié)點(diǎn)電壓法求I1、I2、I3和U。解選節(jié)點(diǎn)4為參考點(diǎn),列節(jié)點(diǎn)1、2、3的節(jié)點(diǎn)電壓方程化簡后為2U1–

U2-0.5U3=5

-

U1+4U2–2U3=-2-0.5U1–2U2+3U3=-3最后求得U1=2V

U2=-0.5V

U3=-1V各支路電流I及電壓U為例3－8試用節(jié)點(diǎn)電壓法求右圖電路中的I。解設(shè)節(jié)點(diǎn)1、2、3、4。由圖得U3=120V,U4=-240V節(jié)點(diǎn)1、2的節(jié)點(diǎn)電壓方程為將U3

=120V、U4

=-240V代入上組方程得0.175U1

-0.1U2

=6

-0.1U1

+0.175U2

=-6待求量為I,故只需求U1

。由上組方程求得

U1

=21.8V于是該題亦可對上圖對應(yīng)的常規(guī)電路圖（如右）進(jìn)行計(jì)算,讀者可自行分析。

三、含理想壓源電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程以右圖為例說明1、以點(diǎn)3為參考點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1：U1

=US（已知）節(jié)點(diǎn)2：-

G2u1+（G2+G3）u2=iS即（G2+G3）u2=iS+G2uS節(jié)點(diǎn)電壓方程特點(diǎn)：（1）未知量減少（U1=US）,方程數(shù)相應(yīng)減少；（2）由節(jié)點(diǎn)2的方程（G2+G3）u2=iS+G2uS可見,等號右側(cè)對應(yīng)的iS22=iS+G2uS已不是標(biāo)準(zhǔn)電路方程中iS22的含義了。2、以點(diǎn)2為參考點(diǎn)因?yàn)閡s支路中的電導(dǎo)GS=∞（∵RS=0）,故不能用GS,為此我們可以給該支路設(shè)一未知電流i如右圖所示,將它按流源處理。因?yàn)閕未知,這樣節(jié)點(diǎn)電壓方程的未知量增加了一個(gè),故要補(bǔ)充一個(gè)方程。方程組為節(jié)點(diǎn)1：(G1+G2)u1–

G1u3=i–

iS節(jié)點(diǎn)3：-

G1u1+(G1+G3)=-

i補(bǔ)充：u1–

u3=uS即(G1+G2)u1-

G1u3-

i=iS

-

G1u1+(G1+G3)u3+i=0——混合變量節(jié)

u1–

u3=uS聯(lián)立上組方程即可求得u1、u3和i。例3－9用節(jié)點(diǎn)電壓法求下圖電路中各支路電流。解1以b點(diǎn)為參考點(diǎn)列方程有

Ua=3V

-5Ua+(5+10)Uc=5-2-5×3-10×2上式可寫成–5Ua+15Uc=-32將Ua=3V代入,求得

Uc=-17/15V于是I1=5（Uc

–

Ua+3）=-17/3A=-5.667A點(diǎn)電壓方程I2=10（Uc–

Ub+2）=130/15A=8.667AI=I1-5=-10.667A解2若以c點(diǎn)為參考點(diǎn)列方程有

5Ua=15-5-

I5Ua+I=1010Ub

=20+2+I即10Ub

-

I=22

Ua–

Ub

=3Ua–

Ub=3由該組方程求得

Ua=62/15V,Ub

=17/15V,I=-32/3A=-10.7A于是I1=5+I=-5.7A,I2=-（2+I）A=8.7A四、含受控源電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程節(jié)點(diǎn)電壓方程列寫的原則：（1）受控源均按獨(dú)立源的方法處理；（2）受控源的控制量必須用節(jié)點(diǎn)電壓表示——補(bǔ)充方程。圖3－20電路含有受控源。以c點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)節(jié)點(diǎn)電壓方程組為：節(jié)點(diǎn)a：節(jié)點(diǎn)b：補(bǔ)充：將代入前兩方程得：方程特點(diǎn)：Gab≠

Gba,節(jié)點(diǎn)電壓方程式的系數(shù)行列式不對稱。五、用節(jié)點(diǎn)電壓法分析含理想運(yùn)放的電路（以例說明）例3－10試用節(jié)點(diǎn)電壓法求圖中的u

0/ui。設(shè)R5=R6。解對節(jié)點(diǎn)1、2列節(jié)點(diǎn)電壓方程。由運(yùn)放的“虛斷”特性,于是節(jié)點(diǎn)電壓方程為由運(yùn)放的“虛短”特性,有u1=0

和u2

=0,因此上組方程變?yōu)镽5=R6代入上式。將上兩式相減得或于是有注意：用節(jié)點(diǎn)電壓法分析含理想運(yùn)放的電路時(shí),不能對運(yùn)放的輸出端列節(jié)點(diǎn)電壓方程,請讀者思考?！?-5回路電流法

網(wǎng)孔電流法和節(jié)點(diǎn)電壓法都是求i支的間接法,本節(jié)介紹另一種間法——回路電流法。為討論此問題先介紹圖論的一些有關(guān)知識?！?/p>

3－1中已提出了電路可以用圖G表示,下面進(jìn)一步介紹。一、圖的基本知識

1、圖、子圖、連通圖（1）圖（Graph）圖的定義：圖是一組點(diǎn)（或頂點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)）和邊（或線）的集合。有向圖：各邊有一規(guī)定方向的圖為有向圖。電路的圖為有向圖,各邊方向取電流之方向。無向圖：各邊無方向的圖。平面圖和非平面圖：無交叉線的為平面圖,否則為非平面圖。

（2）子圖如果圖G

1的點(diǎn)和邊都是另一圖G的點(diǎn)、邊的一部分,則圖G1稱為圖G的子圖。如：（3）連通圖和非連通圖圖G的任意兩點(diǎn)間至少存在一條由若干邊構(gòu)成的路徑,則此圖稱為連通圖,否則為非連通圖,如：電路中只研究連通圖。二、樹

1、樹的定義：連通圖G的樹是G的一連通子圖,它包含G的全部頂點(diǎn)而不包含任何回路。下圖示出了連通圖G及其部分樹。此圖G共有16棵樹。

2、樹支、連支樹支：樹中的各邊稱為樹支。樹支數(shù)=n

-1n——頂點(diǎn)數(shù)連支：非樹支的邊稱為連支。連支數(shù)=b

–n+1b——邊數(shù)三、基本回路

1、基本回路定義：只含有一條連支而其余都是樹支的回路稱為基本回路。所以基本回路是單連支回路。說明：（1）基本回路與所選的樹有關(guān)；（2）基本回路數(shù)=連支數(shù)=b–n+1；（3）有向圖基本回路的方向與連支方向一致。右圖為某電路的有向圖G,粗線所示為其一個(gè)樹。i1、i2、i3

所示的回路就是基本回路。若已知回路電流i1、i2、i3

結(jié)論：2、基本回路是一組獨(dú)立回路每個(gè)基本回路都含有一條其它基本回路所沒有的支路（連支）,因此任一基本回路的KVL方程不可能由其它基本回路的KVL方程組合得到,故基本回路的KVL方程獨(dú)立,即基本回路是一組獨(dú)立回路。四、回路電流法（回路分析法）

基本回路獨(dú)立，故可用變量列KVL方程。求出后，求。所以回路電流法是間接求解的方法。1、回路電流法——以為變量列聯(lián)立方程求解的方法。2、回路電流方程回路電流方程的列寫規(guī)律及方程各項(xiàng)的概念與網(wǎng)孔電流方程的完全一樣