河海大學(xué)工程力學(xué)第3章平面力系

工程力學(xué)系多媒體教學(xué)課件系列之一工程力學(xué)第3章

平

面

力

系河海大學(xué)大學(xué)水利土木工程學(xué)院1水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.3平面任意力系3.6摩擦平衡問(wèn)題

3.5平面靜定桁架

3.4

物體系統(tǒng)的平衡

3.1平面匯交力系

3.2

平面力偶系2水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.3平面任意力系3.6摩擦平衡問(wèn)題

3.5平面靜定桁架

3.4

物體系統(tǒng)的平衡

3.1平面匯交力系

3.2平面力偶系3水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系

匯交力系是指力的作用線都交于一點(diǎn)的力系。若力的作用線在同一平面內(nèi)，稱為平面匯交力系，否則稱為空間匯交力系。平面匯交力系空間匯交力系4水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系平面匯交力系合成的幾何法F1F2F3OF1BF2CF3DFR=F1+F2+F3應(yīng)用力多邊形法則，合力即為力多邊形的封閉邊。如圖所示。用解析式表達(dá)為AFR5水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系平面匯交力系平衡的幾何充要條件是：力多邊形自行封閉。F4

FR

=F1+F2+F3+F4=0平面匯交力系平衡的幾何法F1F2F3OF1BF2CF3DAF46水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系應(yīng)用合力投影定理求出力系的合力的投影X、Y后，可用矢量合成的方法求出力系合力的大小和方向。平面匯交力系合成的解析法7水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系xy

求圖示匯交力系的合力的大小和方向。已知：先計(jì)算合力F

在x、y軸上的投影，有【解】

例3-1O8水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系如圖(a)所示，F(xiàn)為F1、F2、F3的合力，已知：F=10kN，F(xiàn)3=10kN，α=20o，β=60o。求F1和F2。

例3-2xyOOOO(a)(b)建立如圖(b)所示直角坐標(biāo)系，假定F1和F2的指向，由合力投影定理有【解】F=F3cosβ-F1cosα0=F3sinβ+F2+F1sinα9水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系

例3-2【解】F1=－5.32kN，F(xiàn)2=－6.84kN

結(jié)果均為負(fù)值，說(shuō)明F1和F2假定的指向與實(shí)際指向相反。代入數(shù)據(jù)F=10kN，F(xiàn)3=10kN，α=20o，β=60o，可求得F=F3cosβ-F1cosα0=F3sinβ+F2+F1sinαxyOO(b)10水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系平面匯交力系平衡的解析法平面匯交力系平衡的充要條件是力系的合力FR等于零。平衡方程為即平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中上的投影之代數(shù)和均等于零。獨(dú)立的平衡方程只有兩個(gè)！11水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系

已知：FP=20kN，R=0.6m,h=0.08m,求：

1、欲將碾子拉過(guò)障礙物，水平拉力F

至少多大？

2、F沿什么方向拉動(dòng)碾子最省力，此時(shí)力F

多大？

例3-3【解】FPRFhAB取碾子為研究對(duì)象，畫(huà)其受力圖(b)。(a)FPFFAFBO(b)12水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系利用上述平衡方程求得：1、碾子拉過(guò)障礙物，應(yīng)有，如圖(c)所示。建立坐標(biāo)系，列投影方程

例3-3【解】FPFFAO(c)θ13水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系2、求最小力Fmin設(shè)此時(shí)力F與水平線夾角為，建立圖（d）所示坐標(biāo)系。顯然，當(dāng)α=θ時(shí)，有

例3-3【解】FPFFAO(d)θx14水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系

重物A質(zhì)量m=10kg,懸掛在支架鉸接點(diǎn)B處，A、C

為固定鉸支座，桿件位置如圖示，略去支架桿件重量，求重物處于平衡時(shí)，AB、BC

桿的內(nèi)力。

例3-4【解】y（b）x取銷(xiāo)釘B為研究對(duì)象，畫(huà)其受力圖(b)。（a）15水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系

例3-4【解】聯(lián)立上述兩方程，解得：。取銷(xiāo)釘B為研究對(duì)象，畫(huà)其受力圖(b)。列平衡方程y（b）x16水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.1平面匯交力系（4）合理選取投影軸，列平衡方程求解；（5）對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的分析和校核。（1）理解題意，明確已知量和待求量；（2）明確所研究問(wèn)題，恰當(dāng)選取研究對(duì)象；（3）正確畫(huà)出研究對(duì)象的受力圖；求解平面匯交力系平衡問(wèn)題的一般步驟：17水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.3平面任意力系3.6摩擦平衡問(wèn)題

3.5平面靜定桁架

3.4

物體系統(tǒng)的平衡

3.1平面匯交力系

3.2

平面力偶系18水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.2平面力偶系平面力偶系的合成

力偶系是指由多個(gè)力偶組成的力系。若各力偶在同一平面內(nèi)，稱為平面力偶系，否則稱為空間力偶系。平面力偶系M1M2MnMi空間力偶系M1M2Mn19水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.2平面力偶系平面力偶系的合成首先考慮兩個(gè)力偶的情況==20水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.2平面力偶系考慮任意個(gè)力偶的情況平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，其平衡方程為利用這個(gè)平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。平面力偶系的合成21水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.2平面力偶系已知，，求A、B處的反力。

例3-5【解】

A、B

處的反力必須組成一個(gè)力偶才能與主動(dòng)力偶系平衡。作AB

梁的受力圖，如圖（b）所示。AL=4m(a)BAB(b)解得得由平衡方程故說(shuō)明圖中所示FA

、FB

的指向與實(shí)際相同。22水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.2平面力偶系BO1鉸接四連桿機(jī)構(gòu)OABO1在圖(a)所示。已知：OA=4a，O1B=6a。作用在OA上力偶的力偶M1

和O1B上的力偶M2。要使系統(tǒng)平衡，求M1/M2的比值。

例3-6M2M1O30°(a)BAO1(b)BAM2O30°AM1(c)FABFBAF'ABFOF'BAFO1(d)23水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.2平面力偶系（1）選OA為研究對(duì)象，受力圖如圖（c），列平衡方程（2）選O1B為研究對(duì)象，受力圖如圖（d），列平衡方程由以上兩式可得

M1/M2＝1/3

【解】O30°AM1(c)F'ABFOBO1M2F'BAFO1(d)24水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.3平面任意力系3.6摩擦平衡問(wèn)題

3.5平面靜定桁架

3.4

物體系統(tǒng)的平衡

3.1平面匯交力系

3.2

平面力偶系25水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.3

平面任意力系定理：作用在剛體上某點(diǎn)的力FA，可以平行移動(dòng)到剛體上任意一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原來(lái)的力FA

對(duì)平移點(diǎn)B之矩。證明：ABAB==AB力的平移定理26水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組

可見(jiàn)，一個(gè)力可以分解為共面的一個(gè)力和一個(gè)力偶；反之，共面的一個(gè)力和一個(gè)力偶，也可以合成為一個(gè)力。如打乒乓球，若球拍對(duì)球作用的力其作用線通過(guò)球心（球的質(zhì)心），則球?qū)⑵絼?dòng)而不旋轉(zhuǎn)；但若力的作用線與球相切——“削球”，則球?qū)a(chǎn)生平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。CF(a)CFCm(b)力的平移定理第3章平面力系3.3

平面任意力系27水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組

請(qǐng)分析一下上圖的單槳和雙槳?jiǎng)澊c右圖的單手和雙手攻絲的情形。力的平移定理第3章平面力系3.3

平面任意力系28必須注意，力的平移定理只對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)起作用，而不適用于物體的變形效應(yīng)，如圖(a)、(b)所示的情形，盡管將力平移后不會(huì)影響物體的平衡狀態(tài)，但是其變形情況是完全不同的。但是在工程實(shí)際上常用力的平移定理得到近似的等效力系，在滿足一定的計(jì)算精度的前提下，使原來(lái)較為復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，例如圖(b)所示的偏心受壓柱。力的平移定理第3章平面力系(a)(b)AF'BCMFABCFF'M3.3

平面任意力系29水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

任意力系是指力的作用線既不都交于一點(diǎn)也不全平行而且不全由力偶組成的力系。重力壩FW水壓力地基反力3.3

平面任意力系30水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系xFWFAxyzFAzFAyFByFBxFTFP3.3

平面任意力系31水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化第3章平面力系==F'R=

ΣF'i=ΣFi

MO

=ΣMO(Fi)主矢主矩F1F2FnOOF'1F'nF'2M1MnM2F'ROMO3.3

平面任意力系32水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果的解析計(jì)算第3章平面力系F'ROMO主矢大小及方向主矩Mo=ΣMo(Fi)作用點(diǎn)作用于簡(jiǎn)化中心上主矢與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān),而主矩一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。yx3.3

平面任意力系33水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果的討論第3章平面力系平面一般力系一般可以簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶，該力可由力系的主矢來(lái)表示，該力偶的矩等于力系的主矩。根據(jù)主矢和主矩是否為零可分為以下幾種情況：該力系等效一個(gè)合力偶OMO該力系平衡OF'ROMO該力系等效一個(gè)合力F'RO3.3

平面任意力系34水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果的討論第3章平面力系＝＝該力系仍可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，但合力的作用線距簡(jiǎn)化中心O的距離為，并使得該合力對(duì)O點(diǎn)的矩與主矩MO的轉(zhuǎn)向一致。F'ROMOF'ROMOFRF"ROFRd3.3

平面任意力系35水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平面固定端約束第3章平面力系

將物體的一端牢固地插入基礎(chǔ)或固定在其他靜止的物體上，就構(gòu)成固定端。構(gòu)件既不能轉(zhuǎn)動(dòng)，也不能移動(dòng)。3.3

平面任意力系36水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平面固定端約束第3章平面力系FqFqAFqAFAMqFAFAxMFAy3.3

平面任意力系37水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組分布荷載是指力的作用位置不能簡(jiǎn)化為一個(gè)點(diǎn)，而必須看作是一定范圍的力系。根據(jù)其作用范圍的情況可分為以下三種：1）體分布荷載2）面分布荷載荷載分布在狹長(zhǎng)范圍內(nèi)，如沿構(gòu)件的軸線分布。荷載（力）分布在整個(gè)構(gòu)件內(nèi)部各點(diǎn)上。例如，構(gòu)件的自重等。分布在構(gòu)件表面上的荷載（力）。例如，風(fēng)壓力、雪壓力等。3）線分布荷載分布荷載第3章平面力系3.3

平面任意力系38水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組分布荷載第3章平面力系作用線平行、指向相同、連續(xù)分布在一定范圍上的力系，這稱為平行分布力系或平行分布荷載。2、平行分布荷載qq若以⊿F表示微長(zhǎng)度⊿L上平行分布荷載的合力，則線分布荷載的集度(N/m)為3、線分布荷載的集度均布荷載非均布荷載3.3

平面任意力系39水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組分布荷載FxdxxC線分布荷載的簡(jiǎn)化xC稱為荷載圖的形心坐標(biāo)。

bayOx第3章平面力系3.3

平面任意力系40水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組分布荷載第3章平面力系4、線平行分布荷載的簡(jiǎn)化Lq均布荷載xCFFxC均布荷載三角形分布荷載梯形分布荷載q0非均布荷載Lq2q13.3

平面任意力系41水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組水壩壩前水深h=10m，求1m長(zhǎng)的壩面上水壓力的合力之大小和作用線位置。

例3-7第3章平面力系qABC取1m長(zhǎng)的壩考慮時(shí)，水壓力可以簡(jiǎn)化為平行分布荷載。深度y處，水的壓強(qiáng)為?！窘狻縴1mhdy該分布荷載是三角形分布的，其合力大小為三角形的面積，作用線在距水面2/3處。3.3

平面任意力系42水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組在長(zhǎng)方形平板上作用有四個(gè)力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN，試求該力系對(duì)O點(diǎn)的簡(jiǎn)化結(jié)果，以及最后合成結(jié)果?！窘狻?/p>

例3-8F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°

1)

求主矢。主矢的大?。褐魇傅姆较颍旱?章平面力系3.3

平面任意力系43水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組xy【解】2）求主矩MO合力FR到O點(diǎn)的距離為：3）最后結(jié)果是一個(gè)合力FR。MOFRdF1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°第3章平面力系3.3

平面任意力系44水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系圖(a)平面任意力系向O、A兩點(diǎn)簡(jiǎn)化后的主矢和主矩分別為FR、MO和FA、MA，求它們之間的關(guān)系，并求圖(b)力系的簡(jiǎn)化結(jié)果?！窘狻?/p>

例3-9FRMOO(a)FAMAA(1)FR＝FAMA＝MO＋MA(FR)FFFABC(b)(2)圖(b)力系的簡(jiǎn)化結(jié)果3.3

平面任意力系45重力壩受力情況如圖所示。設(shè)FP1=450kN，F(xiàn)P2=200kN，F(xiàn)1=300kN，F(xiàn)2=70kN。求力系的合力FR的大小和方向余弦,合力與基線OA的交點(diǎn)到O點(diǎn)的距離x0，以及合力作用線方程。水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組

例3-10AOCMO9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCOF1FP1FP2F2第3章平面力系3.3

平面任意力系46水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組【解】9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCOF1FP1FP2F2

1)

求主矢。主矢的大?。褐魇傅姆较颍旱?章平面力系3.3

平面任意力系47水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組2）求主矩MOOACMO【解】9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCOF1FP1FP2F2第3章平面力系3.3

平面任意力系48水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組3）力系最后合成結(jié)果是一個(gè)合力FR。OACMOFRx0合力FR對(duì)O點(diǎn)的矩必等于主矩MO?！窘狻康?章平面力系3.3

平面任意力系49水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組OACFR設(shè)合力作用線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），將合力作用線過(guò)此點(diǎn)，則可得合力作用線方程或FRxFRy(x,y)【解】第3章平面力系3.3

平面任意力系50水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系平面任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和主矩同時(shí)都等于零，即FR=0，MO

=0

1、基本形式

2、二力矩形式3、三力矩形式

與該平衡條件等效的平衡方程有三種形式，分別是3.3

平面任意力系平面任意力系的平衡條件和平衡方程51水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平面任意力系雖然有三種形式的平衡方程，且每一種都有三個(gè)方程，但獨(dú)立的平衡方程只有三個(gè)，一次最多可以求解三個(gè)未知量。另外，它們都各有相應(yīng)的適用條件。第3章平面力系1、基本形式x、y軸不平行F'ROMOOMOO3.3

平面任意力系52水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系2、二力矩形式F'RAMAAF'RAAF'RBF'RABxAB連線不垂直于x軸3.3

平面任意力系53水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3、三力矩形式ABC三點(diǎn)不共線F'RAMAAF'RAAF'RBF'RABC3.3

平面任意力系54水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組10kN/m35kN·m30kN6m5m3mAFAxFAyMA剛架受力如圖，求固定端A處的約束反力。

取剛架為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖,由平衡方程得：ΣXi=0,FAx

－30=0ΣYi=0,FAy

－10×6=0ΣMA=0,MA－35－10×6×3+30×3=0由以上三式解得

FAx=30kNFAy

=60kNMA＝125kN·m【解】

例3-11第3章平面力系3.3

平面任意力系55FPFTCB0.1mFTFW6m4mMAA水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組取弧形閘門(mén)為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。當(dāng)剛開(kāi)啟閘門(mén)時(shí)，必有FNB=0，所以共有三個(gè)未知力FAx、FAy和FT?！窘狻縁NBFAxFAy圖示弧形閘門(mén)，F(xiàn)P=3000kN，自重FW=150kN，水壓力鉸A處的摩擦力偶mA=

60kN·m。求剛開(kāi)啟閘門(mén)時(shí)的拉力及鉸A處的約束反力。

例3-12第3章平面力系30o3.3

平面任意力系56水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組由平面一般力系的三個(gè)平衡方程可得：

∑MA=0,－FT×6－FP×0.1+FW×4+mA

=0ΣXi=0,FAx

+FPcos30°=0ΣYi=0,FAy－FW+FT+FPsin30°=0代入數(shù)據(jù)，求得

FT=60kN

FAx

=－2598kNFAy

=－1410kN【解】第3章平面力系FPFTCB0.1mFTFW6m4mMAAFAxFAy30o3.3

平面任意力系57水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組已知所示水平桿，F(xiàn)P1=50kN，F(xiàn)P2=75kN，試求①、②、③三根吊桿所受之力。

例3-13F3CBAFP1FP260°45°F1F245°BFP1FP245°3mA3m3m3m45°60°①②③CO1O2第3章平面力系3.3

平面任意力系58水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組采用二力矩形式的平衡方程，得∑MO1=0,

-F1cos45o×6-F1sin45o×12+FP1×9-FP2cos60o×6+FP2sin60o×3=0∑MO2=0,

F3×9+FP2cos60o×3-FP2sin60o×6=0ΣXi=0,

F2cos45o-FP2cos60o-F1cos45o=0解方程得設(shè)三桿均受拉，分別用F1、F2、F3表示，畫(huà)受力圖?！窘狻縁3CBAFP1FP260°45°F1F245°O1O23m3m3m3mF1=33.0kNF2=30.8kNF3=86.0kN第3章平面力系3.3

平面任意力系59水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平面平行力系的簡(jiǎn)化第3章平面力系

平行力系是指各力的作用線都互相平行的力系。若各力的作用線都在同一平面內(nèi)，稱為平面平行力系，否則稱為空間平行力系。F1F2FnFixiyixyzO空間平行力系平面平行力系yOxF1FnF2Fix1xixnx23.3

平面任意力系60水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平面平行力系的平衡第3章平面力系平面平行力系向一點(diǎn)O簡(jiǎn)化的結(jié)果一般是一個(gè)力和一個(gè)力偶。FR=ΣYi

MO=ΣFixi

yOxF1FnF2FixiFRMO平面平行力系的平衡方程為

平面平行力系平衡的充要條件是：力系中各力的代數(shù)和以及各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和都為零。或y軸不與力的作用線垂直A、B連線與力的作用線不平行3.3

平面任意力系61水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系圖示一塔式起重機(jī)。機(jī)架m1=50t，重心在O點(diǎn)。已知起重機(jī)的最大起吊質(zhì)量m2=25t，欲使起重機(jī)在空載與滿載時(shí)都不會(huì)翻到，平衡錘的質(zhì)量m3

應(yīng)為多大？圖中

a=3m，b=1.5m，c=6m，l=10m，F(xiàn)W=m2g，F(xiàn)Q=m3g，F(xiàn)W1=m1g。

例3-14cbxyaLFW1OFQFWFR

的方向鉛垂向下。合力FR的大小為FRx【解】由合力矩定理得（＊）3.3

平面任意力系62水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系cbxyaLFW1OFQFWFRx欲使起重機(jī)不翻倒應(yīng)有即得1）空載時(shí)，m2=0，F(xiàn)W=0，x>0，由（*）式得【解】

2）滿載時(shí)，m2=25t，x<a，由（＊）式得欲使起重機(jī)不致翻倒，應(yīng)有3.3

平面任意力系63水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.3平面任意力系3.6摩擦平衡問(wèn)題

3.5平面靜定桁架

3.4

物體系統(tǒng)的平衡

3.1平面匯交力系

3.2

平面力偶系64水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡靜定和靜不定的概念

當(dāng)物體在某一力系作用下處于平衡時(shí)，如果未知量的數(shù)目等于或少于獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)，則由平衡方程可以求解全部未知量，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。

FF(a)(b)FqFq(c)(d)65水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組靜定和靜不定的概念第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡

反之，如果未知量的數(shù)目超過(guò)獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)，則僅由平衡方程不可能求解全部未知量，這類問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)。FF(a)(b)FqFq(c)(d)66水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平面系統(tǒng)中，若把每個(gè)物體都看作受平面一般力系作用，則由n個(gè)物體組成的系統(tǒng)就有3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解3n個(gè)未知量。由幾個(gè)物體通過(guò)一定的約束聯(lián)系在一起的物體系統(tǒng)。物體系統(tǒng)平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個(gè)剛體都處在平衡狀態(tài)，因而可以選取整個(gè)系統(tǒng)、系統(tǒng)內(nèi)每一個(gè)剛體、系統(tǒng)內(nèi)若干個(gè)剛體的組合為研究對(duì)象，分別寫(xiě)出平衡方程求得未知量。物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡67水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組

1、物體系統(tǒng)是由幾個(gè)物體組成，可分別分析各個(gè)物體的受力情況，畫(huà)出受力圖。

2、根據(jù)每個(gè)受力圖的力系類型，可知各有幾個(gè)獨(dú)立的平衡方程，總計(jì)獨(dú)立平衡方程數(shù)，與問(wèn)題中未知量的總數(shù)相比較。

（1）若未知量總數(shù)超過(guò)獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問(wèn)題是超靜定的。（2）若未知量總數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問(wèn)題是靜定的。物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡68水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組（3）若未知量總數(shù)小于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則系統(tǒng)可能不平衡；若計(jì)算表明，所有的平衡方程都能滿足，則說(shuō)明系統(tǒng)處于平衡，但題給的條件有些是多余的或系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

4、這里主要研究靜定結(jié)構(gòu)的受力平衡問(wèn)題。根據(jù)每個(gè)物體的受力圖，分析問(wèn)題，制定可行的解題思路，選擇合適的矩心或投影軸，列平衡方程求解未知量，直至求出需要求解的全部未知量。物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡69水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組5、注意事項(xiàng)

(1)在總計(jì)獨(dú)立的平衡方程數(shù)時(shí)，應(yīng)分別考慮系統(tǒng)中每一個(gè)物體，而系統(tǒng)的整體則不應(yīng)再加考慮。因?yàn)橄到y(tǒng)中每一個(gè)物體既已處于平衡，整個(gè)系統(tǒng)當(dāng)然處于平衡，其平衡方程可由各個(gè)物體的平衡方程推出，不是相互獨(dú)立的。

(2)在求解物體系的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要研究整體，還要研究局部個(gè)體，才能使問(wèn)題得到解決。應(yīng)該從未知量較少或未知量數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)的受力圖開(kāi)始，逐步求解。物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡70水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡圖示三鉸剛架上，作用著集度為q均布荷載，自重及摩擦均不計(jì)。求鉸鏈A、B處的反力?！窘狻?/p>

例3-15Ahl/2l/2BqCAqC71水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡【解】Ahl/2l/2BqCAqC（1）畫(huà)整體的受力圖(b)。(b)(c)72水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡【解】Ahl/2l/2BqCAqC（2）畫(huà)AC的受力圖(c)。(c)(b)73水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡【解】Ahl/2l/2BqCAqC（3）以整體為研究對(duì)象，(b)(c)74水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡A3mB10kN/mC(a)20kN3m3m3m10kN/m3mED(b)DC10kN/m思考題一75水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組求A、B、D處的反力。

例3-16第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡AB10kN/mD10kN2m1mC2m2m1m20kN·m【解】FAFBFDFA=-15kNFB=55kNFD=10kND20kN·m10kN/m76水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組CB20kNA2kN/mEG10kNCECD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG思考題二如何分析問(wèn)題？第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡77圖示混合結(jié)構(gòu)受荷載F作用，求支座B的反力，以及桿件1、2所受的力。水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組【解】

例3-17先取整體為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖（a

）。21DEBACF第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡78水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組【解】再取結(jié)構(gòu)右半部分為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖(b)。ECBF（b）最后選取節(jié)點(diǎn)D為對(duì)象，畫(huà)受力圖(c)，列平衡方程：D（c）第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡79水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡求AD、BD、DC桿所受的力。思考題三AB10kN/m100kN3m2m40kN·mD4m4m2mCFAFBB40kN·m10kN/mF3FBB40kN·m10kN/mF3FBF280水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡求AD、BD、DC桿所受的力。思考題三AB10kN/m100kN3m2m40kN·mD4m4m2mCFAFBB40kN·m10kN/mF3FBF'3F'2DF'1FB=20kNF1=-50/3kNF2=20kNF3=-50/3kN81水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡ABF1mCq45om1m2mqFBFAyFAxMAAFCFAyFAxMAFBB45oCmF'CyF'CxFCyFCx圖(a)

所示結(jié)構(gòu)中，已知各主動(dòng)力的大小為F=10

kN，q=0.4kN/m，

m=12kN·m，求A、B、C三處的約束反力。

例3-18(a)【解】(b)(c)82水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組

1）取BC桿為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖(b)，列平衡方程

ΣXi

=0，F(xiàn)Cx

–q×2/2

=0

ΣMC=0,

FB×2–m+q×2×4/(3×2)=0

ΣYi

=0，F(xiàn)Cy

+FB=0

FCx

=0.4kN，F(xiàn)Cy

=－5.73kN，F(xiàn)B=5.73kN2）取AC桿為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖(c)，列平衡方程得

ΣXi

=0，F(xiàn)Ax–F'Cx

=0

ΣMA=0,MA－F×1

－

F'Cy×2=0ΣYi

=0，F(xiàn)Ay

－F－F'Cy=0

FAx

=0.4kN，F(xiàn)Ay

=4.27kN，MA

=－1.46kN·m【解】第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡qFBB45oCmFCyFCx(b)AFCFAyFAxMAF'CyF'Cx(c)83水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡ABD2mCFPFW2m3m3m1m1m已知FP=10kN，F(xiàn)W=50kN，求A、B、D處反力。

例3-19FPFWDCF1F2FDF'2FCxFCy【解】FA＝-48.3kNFB＝100kNFD＝8.3kNFAFBFD84水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組求A、B、C處的反力。

例3-20第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡A2mB2kN/mC(a)5kN2m2m2mED3kN·mBECFCyFCx(b)ED3kN·mFDyFDxF'EyF'Ex(c)FEyFExFAx=-5kNFAy=0.75kNFB=7.25kNFCx=4.5kNFCy=-2.5kN【解】85水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組

例3-21求A、B、C處反力。第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡FF'GCAFF'EGDCFAxFAyFDxFDyFGFCFAxFAyFBxFByA3m4m2mFF'3m5m3m2mBEGDC45oF130oFAx=-7.2kNFAy=11.2kNFBx

=2.8kNFBy

=-1.2kNFC=-18kN【解】86RDFP水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組

例3-22圖中R=0.3m，F(xiàn)P=100kN，求A、B、C處反力。第3章平面力系

3.4物體系統(tǒng)的平衡A1m1mFPRBCD1mFAxFAyFBxFByFTRDFPFDxFDxBCFBxFByF'CxF'CyFAxFAyFCxFCyACFTFAx=-230kN，F(xiàn)Ay=-100kNFBx=230kN，F(xiàn)By=200kN【解】87水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.3平面任意力系3.6摩擦平衡問(wèn)題

3.5平面靜定桁架

3.4

物體系統(tǒng)的平衡

3.1平面匯交力系

3.2

平面力偶系88水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組桁架是指由很多直桿在端部以適當(dāng)方式連接而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。

工程中的桁架結(jié)構(gòu)第3章平面力系3.5平面靜定桁架89水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組工程中的桁架結(jié)構(gòu)第3章平面力系3.5平面靜定桁架90水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組工程中的桁架結(jié)構(gòu)第3章平面力系3.5平面靜定桁架91水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組工程中的桁架結(jié)構(gòu)第3章平面力系3.5平面靜定桁架92水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組工程中的桁架結(jié)構(gòu)第3章平面力系3.5平面靜定桁架93水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組工程中的桁架結(jié)構(gòu)第3章平面力系3.5平面靜定桁架94水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

1907年8月29日晨，當(dāng)主跨懸臂已懸拼至接近完成時(shí)，南側(cè)一下弦桿由于綴條薄弱等原因突然壓潰，導(dǎo)致懸臂墜入河中，當(dāng)時(shí)橋上的86人中有75人身亡。

1916年9月11日第二次發(fā)生事故，造成6人遇難，原因是當(dāng)新的錨固孔及懸臂均已建成，用千斤頂提升懸掛孔（重5000噸的鋼梁）時(shí)，懸掛孔下面的支承鑄件突然破裂，導(dǎo)致懸掛孔傾斜，滑落水中。加拿大圣勞倫斯河魁北克橋(建于1904～1918年)3.5平面靜定桁架95水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系于是謠言四起，有一個(gè)流傳最廣。據(jù)說(shuō)建橋時(shí)政府不顧印第安人的反對(duì)，推倒了岸邊81座印第安人的祖墳。于是印第安人的巫師對(duì)此橋下了咒語(yǔ)，說(shuō)這橋一定要倒塌3次。沒(méi)想到1907和1916年,魁北克橋果然坍塌兩次，死亡人數(shù)正好是81人，成為加拿大橋梁史上難以磨滅的悲劇。也許是懼怕第三次的倒塌,，魁北克市在同一地點(diǎn)修建了第二座大橋。為了接受這個(gè)教訓(xùn)，加拿大政府把斷橋上的鐵打制成了一枚枚鐵戒指，贈(zèng)送給全國(guó)每一個(gè)攻讀土木工程專業(yè)的大學(xué)生。3.5平面靜定桁架96水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.5平面靜定桁架97水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系工程中常見(jiàn)的桁架簡(jiǎn)化計(jì)算模型3.5平面靜定桁架98水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組桁架分類1、靜定桁架

和

靜不定桁架

2、平面桁架

和

空間桁架

3、簡(jiǎn)單桁架

和

復(fù)雜桁架

第3章平面力系3.5平面靜定桁架99水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組關(guān)于平面桁架的幾點(diǎn)假設(shè)：（1）構(gòu)成桁架的桿件都是直桿；

（2）各剛桿端部用光滑平面圓柱鉸鏈連接；（3）所有荷載和支座反力都作用在桁架的節(jié)點(diǎn)上，且各力作用線都在中心平面內(nèi)；（4）桿件的自重不計(jì)或平均分配在兩端的節(jié)點(diǎn)上。

因此，桁架中的桿件都是二力桿，只受到沿其軸線方向的力的作用，稱為軸力，并規(guī)定拉力為正值，壓力為負(fù)值。第3章平面力系3.5平面靜定桁架100水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組桁架中軸力為零的桿件稱為零桿。平面問(wèn)題中，零桿主要有三種情況：

1)節(jié)點(diǎn)上只有兩根不共線的桿件,且節(jié)點(diǎn)處無(wú)外力作用,則兩桿均為零桿（圖a）；

2)節(jié)點(diǎn)上有兩根不共線桿件,且節(jié)點(diǎn)處外力沿其中一桿軸線方向,則另一桿為零桿（圖b）；

3)節(jié)點(diǎn)上有三根桿件，其中兩桿共線，且節(jié)點(diǎn)上無(wú)外力作用，則第三桿必為零桿（圖c）。123(c)F3=0F12(b)F2=012(a)F1=F2=0第3章平面力系3.5平面靜定桁架101水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組(a)1F2534678911101213試判斷以下兩圖中的零桿。(b)F12345687第3章平面力系3.5平面靜定桁架102水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組桁架的計(jì)算就是二力桿軸力的計(jì)算。如果桁架是平衡的，則假想地截取桁架的一部分為分離體也是平衡的。若分離體只包含一個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱為節(jié)點(diǎn)法，為平面匯交力系的平衡問(wèn)題；若分離體包含兩個(gè)以上的節(jié)點(diǎn)，稱為截面法，通常為平面任意力系的平衡問(wèn)題。

桁架軸力的計(jì)算步驟和方法（1）首先判斷桁架是否靜定；（2）其次判斷桁架的零桿；（3）除了懸臂桁架外一般要先求支座反力；第3章平面力系3.5平面靜定桁架103水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組桁架軸力的計(jì)算步驟和方法（1）首先判斷桁架是否靜定；其次判斷桁架的零桿；（2）除了懸臂桁架外一般要先求支座反力；（3）所有桿件的內(nèi)力先設(shè)為拉力，計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明該桿為壓力；（4）用節(jié)點(diǎn)法時(shí)，節(jié)點(diǎn)上的未知力一般不能多于兩個(gè)，用截面法時(shí)，節(jié)點(diǎn)上的總未知力一般不能多于三個(gè)，否則不能全部解出。（5）節(jié)點(diǎn)法和截面法通常要聯(lián)合應(yīng)用，一般先用截面法再用節(jié)點(diǎn)法。第3章平面力系3.5平面靜定桁架104水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組已知：FC=4kN，F(xiàn)E=2kN。求各桿內(nèi)力?！窘狻?/p>

例3-23節(jié)點(diǎn)法先取整體為研究對(duì)象,畫(huà)受力圖，由平衡方程aaaaFCACDBEFFE聯(lián)立求解得

FAx=－2kN，F(xiàn)Ay=2kN，F(xiàn)B=2kNFAyFAxFB第3章平面力系3.5平面靜定桁架105水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組取節(jié)點(diǎn)A，受力分析如圖。由平衡方程FAxFAyAFACFAFFFEFFAFFCF取節(jié)點(diǎn)F，受力分析如圖。由平衡方程解得解得【解】第3章平面力系3.5平面靜定桁架106水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組FCFFCAFCCFCDFCE取節(jié)點(diǎn)C，受力分析如圖。由平衡方程FDEFDCDFDB解得取節(jié)點(diǎn)D，受力分析如圖。由平衡方程解得【解】第3章平面力系3.5平面靜定桁架107水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組FBBFBDFBE解得取節(jié)點(diǎn)B，受力分析如圖。由平衡方程【解】【說(shuō)明】利用節(jié)點(diǎn)法可以求得桁架中全部桿件的軸力，這是它的優(yōu)點(diǎn)。但是當(dāng)問(wèn)題中只需求得某一根桿件或某幾根桿件的軸力時(shí)，則利用截面法會(huì)更方便。第3章平面力系3.5平面靜定桁架108水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組如圖平面桁架，求FE，CE，CD桿內(nèi)力。已知：鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN?！窘狻?/p>

例3-24截面法先取整體為研究對(duì)象,求約束反力得aaaaFCACDBEFFEFAx=－2kN，F(xiàn)Ay=FB=2kNFAyFAxFB作一截面m-m將三桿截?cái)啵∽蟛糠譃榉蛛x體，受力分析如圖。mmFFEFCDaFCACFFAyFAxDEFCE第3章平面力系3.5平面靜定桁架109水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組FFEFCDaFCACFFAyFAxDEFCE【解】

例3-24由平衡方程聯(lián)立求解得第3章平面力系3.5平面靜定桁架110懸臂式桁架如圖所示。a=2m，b=1.5m，試求桿件GH，HJ，HK的內(nèi)力。mmFHKFHJFGIFFII水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組【解】

例3-25先用截面m-m

將桿HK，HJ，GI，F(xiàn)I截?cái)?，取右半桁架為研究?duì)象，受力分析如圖，由平衡方程KaaaabbFABCDEFGHIJLHABCDFGFmm第3章平面力系3.5平面靜定桁架111水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組用截面n-n

將桿EH，EG，

DF，

CF截?cái)唷Ｈ∮野腓旒転檠芯繉?duì)象，受力分析如圖，由平衡方程KaaaabbFABCDEFGHIJL【解】FCFFDFABCDEFnnFFEHFEGnn第3章平面力系3.5平面靜定桁架112水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組最后取節(jié)點(diǎn)H為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，由平衡方程HFHKFHJFEHFGH【解】KaaaabbFABCDEFGHIJL第3章平面力系3.5平面靜定桁架113水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組10kN10kN1m1m1m1m110kN1m1m1.5m1.5m1(a)(b)求以下兩圖中1桿的軸力。第3章平面力系3.5平面靜定桁架114水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系

3.3平面任意力系3.6摩擦平衡問(wèn)題

3.5平面靜定桁架

3.4

物體系統(tǒng)的平衡

3.1平面匯交力系

3.2

平面力偶系115水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題前幾章我們把接觸表面都看成是絕對(duì)光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。當(dāng)物體的接觸面比較光滑，或有良好的潤(rùn)滑條件，以致摩擦力與物體所受其它力相比的確很小時(shí)，可以忽略。然而，在很多日常生活和工程實(shí)際問(wèn)題中，摩擦成為主要因素，摩擦力不僅不能忽略，而且還應(yīng)作為重點(diǎn)來(lái)研究。

兩個(gè)相互接觸的物體存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)或發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接觸面之間由于并非絕對(duì)光滑，而在接觸面的公切線上存在阻礙兩物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的力，稱為摩擦力，這種現(xiàn)象稱為摩擦。116水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組重力壩FqFS工程中的摩擦現(xiàn)象

FNFW第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題117水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組摩擦樁基礎(chǔ)摩擦樁地基FP工程中的摩擦現(xiàn)象第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題118水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組平衡時(shí)必須考慮摩擦工程中的摩擦現(xiàn)象FGFN1FN2FS1FS2第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題119水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組工程中的摩擦現(xiàn)象第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題120水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組臺(tái)式風(fēng)扇放在光滑的桌面上，風(fēng)扇工作時(shí)將會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？為什么？這與落地扇工作時(shí)有什么區(qū)別？工程中的摩擦現(xiàn)象第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題121水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組摩擦的微觀機(jī)理第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題122水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組摩擦的微觀機(jī)理第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題123水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組第3章平面力系有害：給機(jī)械帶來(lái)多余阻力，使機(jī)械發(fā)熱，引起零件磨損，消耗能量，降低效率和使用壽命。有利：用于傳動(dòng)，制動(dòng)，調(diào)速等，沒(méi)有摩擦，人不能走路，車(chē)不能行駛。研究摩擦的目的摩擦在生產(chǎn)和生活中起著十分重要的作用，既表現(xiàn)為有害的一面，也表現(xiàn)為有利的一面。興利除害3.6摩擦平衡問(wèn)題124水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組摩擦摩擦摩擦滑動(dòng)摩擦滾動(dòng)摩擦{干摩擦濕摩擦{內(nèi)摩擦外摩擦{靜滾動(dòng)摩擦動(dòng)滾動(dòng)摩擦{靜滑動(dòng)摩擦動(dòng)滑動(dòng)摩擦{第3章平面力系摩擦分類3.6摩擦平衡問(wèn)題125水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組滑動(dòng)摩擦的概念兩個(gè)物體接觸面作相對(duì)滑動(dòng)或具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)的摩擦。動(dòng)滑動(dòng)摩擦─具有相對(duì)滑動(dòng)靜滑動(dòng)摩擦—具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)滑動(dòng)摩擦力沿接觸處的公切線，與相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反，其大小一般隨物體所處的狀態(tài)有關(guān)，下面主要討論一下滑動(dòng)摩擦力的大小問(wèn)題。FW

FNFPFS

第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題126水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組滑動(dòng)摩擦的概念FW

FNFPFS

第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題127水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組上述第一種情況稱為靜滑動(dòng)摩擦力（靜摩擦力）第二種情況稱為最大靜摩擦力第三種情況稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力（動(dòng)摩擦力）靜摩擦力的大小滿足由大量實(shí)驗(yàn)，庫(kù)侖給出一近似公式，稱為靜摩擦定律：靜滑動(dòng)摩擦定

律第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題128水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組對(duì)于運(yùn)動(dòng)物體，同樣由實(shí)驗(yàn)得到近似公式：對(duì)多數(shù)材料，一般fd比f(wàn)s略小，工程中取fd≈fs。FdFPOFFmaxFs=FP靜摩擦(靜止)動(dòng)摩擦(運(yùn)動(dòng))臨界平衡狀態(tài)

以上討論的是干摩擦力——庫(kù)侖摩擦力，工程中往往加潤(rùn)滑劑，此時(shí)極限摩擦力將減小，動(dòng)摩擦力與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度有關(guān)。我們主要研究干摩擦。動(dòng)滑動(dòng)摩擦定

律第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題129水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組摩擦角FPFNFS

FW

FR

FR=FN+FS全約束反力（全反力）物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值Fmax，全反力FR與接觸面法線的夾角，稱為摩擦角。FNFmax

mFRmax第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題130水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組摩擦角第3章平面力系一種測(cè)定摩擦系數(shù)簡(jiǎn)易方法3.6摩擦平衡問(wèn)題131水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組m

m自鎖假定接觸面各個(gè)方向的摩擦角都相同，則會(huì)形成摩擦錐。

由于夾角j不能大于摩擦角，即0jjm，因此可得：

如果作用于物體的全部主動(dòng)力FQ的合力的作用線與公法線的夾角q<jm，則無(wú)論這個(gè)力多么大，物體必保持靜止，這種現(xiàn)象稱為自鎖。FQFR第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題132m

m水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組FQFR

反之如果q>jm

，則無(wú)論這個(gè)力多么小，物體必不能保持平衡。q自鎖

如果作用于物體的全部主動(dòng)力FQ的合力的作用線與公法線的夾角q<jm，則無(wú)論這個(gè)力多么大，物體必保持靜止，這種現(xiàn)象稱為自鎖。第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題133水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組當(dāng)m時(shí)：物塊靜止(自鎖)當(dāng)m時(shí)：物塊滑動(dòng)當(dāng)=m時(shí)：臨界平衡狀態(tài)自鎖第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題134水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組螺紋自鎖條件斜面自鎖條件自鎖的應(yīng)用第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題135水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組千斤頂FθFFRααα自鎖的應(yīng)用第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題136水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組FW

FRFR礦石提升裝置自鎖的應(yīng)用第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題137水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組思考題若已知砂粒間的靜摩擦系數(shù)為fs，那么自然堆放松散的沙子時(shí)，能夠堆起的最大傾角是多少？α自鎖的應(yīng)用第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題138水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組考慮有摩擦的平衡問(wèn)題時(shí)，其解法與前幾章基本一樣，但需指出的是，在受力分析和列平衡方程時(shí)要考慮摩擦力。因而除平衡方程外，摩擦力還需滿足不等式0

Fs

fsFN，因此有摩擦的平衡問(wèn)題的解通常是一個(gè)范圍。為了避免解不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)(Fs

=fsFN)，求得結(jié)果后再討論解的平衡范圍。第3章平面力系

應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷，只有摩擦力是待求未知數(shù)時(shí)，可以假設(shè)其方向。3.6摩擦平衡問(wèn)題139水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組1、畫(huà)受力圖時(shí)，必須考慮摩擦力；2、摩擦力必須首先滿足平衡條件；3、嚴(yán)格區(qū)分物體處于臨界、非臨界狀態(tài)；4、因0

Fs

fsFN

，存在一個(gè)平衡范圍問(wèn)題。注意事項(xiàng)：?檢驗(yàn)物體是否平衡；?臨界平衡問(wèn)題；?求平衡范圍問(wèn)題。常見(jiàn)三類問(wèn)題｛第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題140已知物塊重FQ。斜面傾角(m)，fs=tanm

，欲使物塊平衡，求FP

的范圍。水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組∵mFP

太大，物塊有上滑趨勢(shì)?！郌P太小，物塊有下滑趨勢(shì)。FPFQ

例3-26【解】為了避免解不等式，將問(wèn)題分解為兩步，即轉(zhuǎn)化為剛好下滑時(shí)求力FP的最小值和剛好上滑時(shí)力FP的最大值兩個(gè)臨界平衡狀態(tài)問(wèn)題分別求解，所求力FP必介于二者之間。方法一第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題141水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組1）求FPmin

補(bǔ)充

FS1

=fs·FN1

FPminFQFN1FS1xy由Yi=0，F(xiàn)N1

–FPminsin-FQ

cos=0FPmincos+FS1

-FQ

sin=0由Xi=0，F(xiàn)Pmin=sinα-fs

cosαcosα+fs

sinαFQ=FQtan(α-m

)【方法一】FPFQ第3章平面力系3.6摩擦平衡問(wèn)題142水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組2）求FPmax

由X