高中數(shù)學(xué)人教B版第一章解三角形 精品獲獎

第一章第3課時基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542079)(B)A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,12)[解析]∵a>b>c，∴C為最小角，由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝eq\f(π,6).2．在△ABC中，若sinA>sinB，則有eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542080)(C)A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)≥bC．a(chǎn)>b D．a(chǎn)、b的大小無法確定[解析]利用正弦定理將角的關(guān)系化為邊的關(guān)系，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)可得eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，因為△ABC中sinA>0，sinB>0，所以結(jié)合已知有sinA>sinB>0，從而eq\f(a,b)>1，即a>b.3．在銳角△ABC中，角A、B所對的邊長分別為a、b.若2asinB＝eq\r(3)b，則角A等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542081)(D)A．eq\f(π,12) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,3)[解析]由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝eq\f(π,3).4．如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542082)(A)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．由增加的長度確定[解析]設(shè)直角三角形的三邊長分別為a、b、c，且a2＋b2＝c2，三邊都增加x，則(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以新三角形中最大邊所對的角是銳角，所以新三角形是銳角三角形．5．若△ABC中，sinA︰sinB︰sinC＝2︰3︰4，那么cosC＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542083)(A)A．－eq\f(1,4) B．eq\f(1,4)C．－eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)[解析]由正弦定理，得sinA︰sinB︰sinC＝a︰b︰c＝2︰3︰4，令a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4k2＋9k2－16k2,2×2k×3k)＝－eq\f(1,4).6．在△ABC中，若△ABC的面積S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，則∠C為eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542084)(A)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)[解析]由S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)×2abcosC，∴tanC＝1，∴C＝eq\f(π,4).二、填空題7．在△ABC中，a＝2eq\r(3)，b＝eq\r(6)，A＝45°，則邊c＝3＋eq\r(3).eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542085)[解析]由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴12＝c2＋6－2eq\r(6)c×eq\f(\r(2),2∴c2－2eq\r(3)c－6＝0，解得c＝3＋eq\r(38．在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，則a＝eq\f(5\r(2),3).eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542086)[解析]由正弦定理，得eq\f(5,sin\f(π,4))＝eq\f(a,\f(1,3))，∴a＝eq\f(5×\f(1,3),sin\f(π,4))＝eq\f(\f(5,3),\f(\r(2),2))＝eq\f(5\r(2),3).三、解答題9．(2023·天津文，16)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知△ABC的面積為3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4).eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542087)(1)求a和sinC的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))的值．[解析](1)在△ABC中，由cosA＝－eq\f(1,4)，得sinA＝eq\f(\r(15),4)，由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝3eq\r(15)，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(\r(15),8).(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝cos2Acoseq\f(π,6)－sin2Asineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)(2cos2A－1)－eq\f(1,2)×2sinAcosA＝eq\f(\r(15)－7\r(3),16).能力提升一、選擇題1．鈍角三角形ABC的面積是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，則AC＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542088)(B)A．5 B．eq\r(5)C．2 D．1[解析]∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×1×sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).當(dāng)B＝eq\f(π,4)時，經(jīng)計算△ABC為等腰直角三角形，不符合題意，舍去．當(dāng)B＝eq\f(3π,4)時，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝eq\r(5)，故選B．2．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542089)(B)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定[解析]由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝eq\f(π,2)，所以△ABC是直角三角形．3．設(shè)a、b、c分別是△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊，則關(guān)于x的一元二次方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542090)(C)A．有兩個正數(shù)根 B．有兩個負(fù)數(shù)根C．無實數(shù)根 D．有兩個相等的實數(shù)根[解析]由于b2＋c2－a2＝2bccosA，則Δ＝(2bccosA)2－4b2c2<0，故原方程無實數(shù)根4．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a>b，則∠B＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542091)(A)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)[解析]由正弦定理，得sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝eq\f(1,2)sinB，∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(1,2)，由a>b知，A>B，∴B＝eq\f(π,6).故選A．二、填空題5．(2023·北京理，12)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則eq\f(sin2A,sinC)＝\x(導(dǎo)學(xué)號27542092)[解析]由正弦定理，得eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(2sinAcosA,sinC)＝2·eq\f(sinA,sinC)·cosA＝2×eq\f(4,6)×eq\f(52＋62－42,2×5×6)＝1.6．在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgeq\f(1,b＋c)，則∠A等于120°.eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542093)[解析]由lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgeq\f(1,b＋c)，得(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，即b2＋c2－a2＝－bc，故cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴∠A＝120°.三、解答題7．(2023·浙江文，16)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋A))＝\x(導(dǎo)學(xué)號27542094)(1)求eq\f(sin2A,sin2A＋cos2A)的值；(2)若B＝eq\f(π,4)，a＝3，求△ABC的面積．[解析](1)由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋A))＝2，得tanA＝eq\f(1,3)，所以eq\f(sin2A,sin2A＋cos2A)＝eq\f(2sinAcosA,2sinAcosA＋cos2A)＝eq\f(2tanA,2tanA＋1)＝eq\f(2,5).(2)由tanA＝eq\f(1,3)及A∈(0，π)可得sinA＝eq\f(\r(10),10)，cosA＝eq\f(3\r(10),10).又a＝3，B＝eq\f(π,4)，由正弦定理知b＝3eq\r(5).又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(2\r(5),5)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3×3eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＝9.8．(2023·四川文，18)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且eq\f(cosA,a)＋eq\f(cosB,b)＝eq\f(sinC,c).eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542095)(1)證明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝eq\f(6,5)bc，求tanB．[解析](1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k(k>0)．則a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC．代入eq\f(cosA,a)＋eq\f(cosB,b)＝eq\f(sinC,c)中，有eq\f(cosA,ksinA)＋eq\f(cosB,ksinB)＝eq\f(sinC,ksinC)，變形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC．(2)由已知，b2＋c2－a2＝eq\f(6,5)bc，根據(jù)余弦定理，有cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(3,5).所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5).由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以eq\f(4,5)sinB＝eq\f(4,5)cosB＋eq\f(3,5)sinB，故tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝4.9.如圖，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542096)(1)求sin∠BAD；(2)求BD、AC的長．[解析](1)在△ADC中，因為cos∠ADC＝eq\f(1,7)，所以sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7).所以s