同濟(jì)理論力學(xué)第十二章動量矩定理

1）其大小一、力矩的概念（復(fù)習(xí)）2）方向按右手法則確定；3）作用在點O。§12-2質(zhì)點系的動量矩

質(zhì)點動量對O點的矩質(zhì)點動量對z軸的矩設(shè)質(zhì)點A的動量為，對固定點的矢徑為r。二、動量矩的定義質(zhì)點系的動量矩abOzAOzAzAzxy質(zhì)點系動量對z軸的矩同力矩類似,三、質(zhì)點系對固定點O的動量矩與對動點動量矩的關(guān)系

其中Q為任一動點1、Q點與質(zhì)點系的質(zhì)心C點重合：

討論：質(zhì)點系對任一固定參考點O的動量矩，等于質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩與質(zhì)點系的動量對O點之矩的矢量和

當(dāng)O點與質(zhì)心C重合時，

2、當(dāng)Q為固定點

：3、當(dāng)時：即：２、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩：

３、平面運動剛體對任一固定點O的動量矩

四、剛體的動量矩１、平動剛體對任一固定點O的動量矩

例12-5：

已知半徑為r的均質(zhì)輪，在半徑為R的固定凹面上只滾不滑，輪重W，均質(zhì)桿OC重P，桿長l，在圖示瞬時桿OC的角速度為，求系統(tǒng)在該瞬時對O點的動量矩

解：

OmirOiFiddt(mivi)MOi(F)rOi×ddtpi式中一、質(zhì)點系對任意動點的動量矩定理§12-3質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系對任意動點動量矩定理的微分形式1.當(dāng)Oˊ為靜點（靜點記為O）時討論:2.當(dāng)Oˊ為質(zhì)心時（質(zhì)心記為C，一般）時

質(zhì)點系對任一固定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有外力對于同一點之矩的矢量和。

例12-6

已知：半徑為r，滑輪重為G，將其視為圓環(huán)。A物重為P，B物重為Q，且P>Q。

求：兩重物的加速度及輪的角加速度。解：研究對象為輪、物體A和B。分析受力，運動分析ABOQPG對O點應(yīng)用動量矩定理得二、質(zhì)點系動量矩守恒定理

1、2、質(zhì)點系動量矩守恒有心力

1、行星運行軌道必為一平面軌跡

2、的大小始終不變，為兩倍的ΔOMA面積

稱為面積速度

動量矩守恒定理實例冰上芭蕾1J12J21J1=

2J2

J1>

J2,1<

2,2J211J11J1=

2J2

J1>

J2,1<

2,地球變遷例12-7:

旋轉(zhuǎn)調(diào)速器在外伸剛性臂上懸掛兩個重量P的小球,初始轉(zhuǎn)動時角速度0,求當(dāng)懸掛小球與垂直線夾角為時的角速度.解:角速度:初始轉(zhuǎn)動時:夾角為時:動量矩守衡定理:aaPP

將動量定理和動量矩定理應(yīng)用到剛體上,有:或(O為靜點)

對空間內(nèi)運動的剛體上,有6個投影式!(C為質(zhì)心)§12-4剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面運動微分方程F2F1rivimiFiz（1）已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用在剛體上的主動力矩；

（2）已知作用在剛體上的主動力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。

解決兩類問題：

或剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程

?==nieiCFma1r一、剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程

對可以簡化為平面內(nèi)運動的剛體上,有3個投影式!(C為質(zhì)心)

(外力均在此平面內(nèi),初速均在此平面內(nèi))剛體平面微分方程

二、剛體平面運動微分方程n?==ieiCFma1r?==niiCCFMtL1(e))(ddrrr例12-8

已知：半徑為r，滑輪重為G，將其視為圓環(huán)。A物重為P，B物重為Q，且P>Q。

求：兩重物的加速度及輪的角加速度。解：分析受力，運動分析ABOQPG而例12-6的結(jié)果為:Why?解：ABOQPG對輪O:APBQOG(1)對物塊A:對物塊B:(2)(3)又聯(lián)立(1)(2)(3)得:例12-9：齒輪傳動裝置，開始時角速度分別為01，02，重分別為P1，P2，求耦合后的1值。解:左輪:右輪:運動學(xué)關(guān)系:方程右端化簡相等:1R12R20201R1R2FNFFFN實驗法測試轉(zhuǎn)動慣量1.扭轉(zhuǎn)振動法k已知：標(biāo)準(zhǔn)盤的J標(biāo)，求測試盤的J。z2.落體觀測法為測試不均質(zhì)材料的鼓輪轉(zhuǎn)動慣量，可以在一側(cè)懸桂一個重物，當(dāng)t=0時系統(tǒng)靜止不動，然后測試重物下落h高度的t值，求:鼓輪的轉(zhuǎn)動慣量。動量矩定理:運動學(xué)關(guān)系：自由落體時有：則：avPh例12-10：均勻圓盤沿斜坡滾下，已知盤重P，半徑r,滑動摩擦系數(shù)為fs,求:下滾時盤質(zhì)心的加速度與摩擦力。解:若為純滾動有:得:yxw若為又滾又滑運動則如何?輪C:(1)(2)(3)？？？？(4)補充方程:(4’)得:補充方程:例12-11：桿OA長l，重P?？衫@過O點的水平軸轉(zhuǎn)動，A端鉸接一半徑為R、重為Q的均質(zhì)圓盤，初瞬時OA桿處于水平位置，系統(tǒng)靜止。略去各處摩擦，求OA桿轉(zhuǎn)到任意位置（用角表示）時的角速度及角加速度a。解：由圓輪受力圖，JAa＝0因此＝0＝0，圓盤在運動過程中作平移Q整體對O點應(yīng)用動量矩定理由上式解出求OA桿的角速度w分離變量

積分得

例12-12：均勻圓盤重量均為P，半徑均為r。求：B物體滾下時質(zhì)心的加速度與繩子張力。解:加速度:繩子張力:ABPPaBFFaBaA得:補充方程:當(dāng)瞬心離質(zhì)心矩離是常數(shù)，或瞬心的加速度恒指向質(zhì)心時也可以選瞬心為動量矩的矩心。例1:例2:vBvCvAwAB0’vDD例12-13：均質(zhì)鼓輪放置粗糙的地面上，在半徑為r

的軸柱上繞著繩索，索的拉力為F1，F(xiàn)2。求：輪的角加速度，摩擦力。[0]:[x]:[或]:運動學(xué)關(guān)系:得:RF2F10IFNFa解:例12-14：一根筷子在光滑地面上，開始時手拿著如圖示位置，然后松手,求：筷子此時的角加速度和地面的正壓力。解:條件:1.aCx=0y:xyPFacaAaA2.t=0,w=0。aA[c]:[y]:例12-15：均質(zhì)桿重為P，被繩索如圖約束，突然剪斷右側(cè)繩索,求：此時左側(cè)繩索張力。解:條件:vA=0運動學(xué)關(guān)系:n600ABCPFAaA例12-16：4kg的均質(zhì)板靜止懸掛。求：B點的繩或彈簧被剪斷的瞬時，質(zhì)心加速度各為多少。解：1.考慮第一種情況，作受力分析和運動分析，如圖所示。應(yīng)用剛體平面運動微分方程(4)聯(lián)立解(2)(3)(4)式

2.考慮第二種情況，受力分析如下，初瞬時彈簧還未變形，彈簧力為根據(jù)平面運動微分方程由(2)式得

m/s2

發(fā)動機