高中數(shù)學(xué)人教B版3第二章概率 學(xué)業(yè)分層測評10

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1.某一隨機變量ξ的概率分布列如下表，且m＋2n＝，則m－eq\f(n,2)的值為()ξ0123PmnA.－ D.－【解析】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可得m＋n＋＝1，又m＋2n＝，解得m＝n＝，可得m－eq\f(n,2)＝.【答案】B2.下列問題中的隨機變量不服從二點分布的是()A.拋擲一枚骰子，所得點數(shù)為隨機變量XB.某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機變量XC.從裝有5個紅球，3個白球的袋中取1個球，令隨機變量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，取出白球，,0，取出紅球))D.某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)為隨機變量X【解析】A中隨機變量X的取值有6個，不服從二點分布，故選A.【答案】A3.若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中m<n，則P(m≤X≤n)＝()【導(dǎo)學(xué)號：62980036】A.(1－a)(1－b) －a(1－b)－(a＋b) －b(1－a)【解析】∵P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X≤m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b).【答案】C4.拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和X是一個隨機變量，則P(X≤4)等于()\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)【解析】根據(jù)題意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4).拋擲兩顆骰子，按所得的點數(shù)共36個基本事件，而X＝2對應(yīng)(1,1)，X＝3對應(yīng)(1,2)，(2,1)，X＝4對應(yīng)(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P(X＝2)＝eq\f(1,36)，P(X＝3)＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)，P(X＝4)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，所以P(X≤4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(1,18)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,6).【答案】A5.隨機變量ξ的概率分布列為P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)，n＝1,2,3,4，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))的值為()\f(2,3) \f(3,4)\f(4,5) \f(5,6)【解析】eq\f(a,1×2)＋eq\f(a,2×3)＋eq\f(a,3×4)＋eq\f(a,4×5)＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))))＝eq\f(4,5)a＝1.∴a＝eq\f(5,4).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)))＝eq\f(5,6).【答案】D二、填空題6.從裝有除顏色外其余均相同的3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設(shè)其中有X個紅球，隨機變量X的概率分布列如下：X012Px1x2x3則x，x2，x3的值分別為________.【導(dǎo)學(xué)號：62980037】【解析】X的可能取值為0,1,(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝.【答案】,,7.設(shè)離散型隨機變量X的概率分布列為：X－10123Peq\f(1,10)meq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(2,5)則P(X≤2)＝________.【解析】P(X≤2)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)8.某籃球運動員在一次投籃訓(xùn)練中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差數(shù)列，且c＝ab，X023Pabc則這名運動員得3分的概率是________.【解析】由題中條件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性質(zhì)，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非負(fù)數(shù)，由三個方程聯(lián)立成方程組，可解得a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,6)，所以得3分的概率是eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)三、解答題9.一個袋中有形狀、大小完全相同的3個白球和4個紅球.(1)從中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，摸出白球，,1，摸出紅球，))求X的分布列；(2)從中任意摸出兩個球，用“X＝0”表示兩個球全是白球，用“X＝1”表示兩個球不全是白球，求X的分布列.【解】(1)X的分布列如下表：X01Peq\f(3,7)eq\f(4,7)(2)X的分布列如下表：X01Peq\f(1,7)eq\f(6,7)10.一批產(chǎn)品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品是二級品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗質(zhì)量，其級別為隨機變量X，求X的分布列及P(X>1).【解】依題意，有P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)P(X＝2).由分布列的性質(zhì)得1＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(7,2)P(X＝2)，所以P(X＝2)＝eq\f(2,7)，所以X的分布列如下：X123Peq\f(4,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)故P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,7).[能力提升]1.隨機變量X的分布列如下表：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝()\f(1,3) \f(2,3)\f(3,4) \f(4,5)【解析】∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).【答案】B2.(2023·周口中英文學(xué)校月考)設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為：X－101Peq\f(1,2)1－2qq2則q為() ±eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2) －eq\f(\r(2),2)【解析】由分布列性質(zhì)(2)知eq\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1±eq\f(\r(2),2)，又由性質(zhì)(1)知1－2q≥0，∴q≤eq\f(1,2)，∴q＝1－eq\f(\r(2),2)，故選D.【答案】D3.以下莖葉圖2-1-1記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示.甲組乙組990X891110圖2-1-1如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列.【解】當(dāng)X＝9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)分別是9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)分別是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共有4×4＝16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵樹Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y＝17)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).同理可得P(Y＝18)＝eq\f(1,4)；P(Y＝19)＝eq\f(1,4)；P(Y＝20)＝eq\f(1,4)；P(Y＝21)＝eq\f(1,8).所以隨機變量Y的分布列為Y1718192021Peq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,8)4.小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團還是參加學(xué)校排球隊.游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖2-1-2)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X＝0就參加學(xué)校合唱團，否則就參加學(xué)校排球隊.圖2-1-2(1)求小波參加學(xué)校合唱團的概率；(2)求X的分布列.【解】(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有Ceq\o\al(2