jwj-4桿件變形計(jì)算

第四講桿件的變形計(jì)算桿件的變形直桿在其軸線的外力作用下，縱向發(fā)生伸長(zhǎng)或縮短變形，而其橫向變形相應(yīng)變細(xì)或變粗桿件在軸線方向的伸長(zhǎng)縱向應(yīng)變由胡克定律得到軸向拉壓變形公式第一節(jié)拉壓桿的軸向變形公式的適用條件

1）線彈性范圍以內(nèi)，材料符合胡克定律

2）在計(jì)算桿件的伸長(zhǎng)時(shí)，l長(zhǎng)度內(nèi)其FN、A、l均應(yīng)為常數(shù)，若為變截面桿或階梯桿，則應(yīng)進(jìn)行分段計(jì)算或積分計(jì)算。第一節(jié)拉壓桿的軸向變形第一節(jié)拉壓桿的軸向變形橫向也會(huì)發(fā)生變形橫向應(yīng)變通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料在彈性范圍內(nèi)時(shí)，拉壓桿的縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變存在如下的比例關(guān)系泊松比泊松比ν

、彈性模量E、切變模量G都是材料的彈性常數(shù)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得。對(duì)于各向同性材料，可以證明三者之間存在著下面的關(guān)系第一節(jié)拉壓桿的軸向變形例題：如圖所示階梯形直桿，已知該桿AB段橫截面面積A1=800mm2，BC段橫截面面積A2=240mm2，桿件材料的彈性模量E=200GPa，求該桿的總伸長(zhǎng)量。第一節(jié)拉壓桿的軸向變形1）求出軸力，并畫出軸力圖2）求伸長(zhǎng)量mm伸長(zhǎng)縮短縮短第一節(jié)拉壓桿的軸向變形例題：

已知：l=54mm，di

=15.3mm，E＝200GPa，

=0.3，擰緊后，△l＝0.04mm。

試求：(a)螺栓橫截面上的正應(yīng)力

σ(b)螺栓的橫向變形△d第一節(jié)拉壓桿的軸向變形解：1)求橫截面正應(yīng)力2)

螺栓橫向變形

螺栓直徑縮小

0.0034mm第一節(jié)拉壓桿的軸向變形l=54mm，di

=15.3mm，E＝200GPa，

=0.3，△l＝0.04mm例：

節(jié)點(diǎn)位移問(wèn)題如圖所示桁架，鋼桿AC的橫截面面積A1=960mm2，彈性模量E1=200GPa。木桿BC的橫截面面積A2=25000mm2，長(zhǎng)1m，彈性模量E2=10GPa。求鉸接點(diǎn)C的位移。F=80kN。第一節(jié)拉壓桿的軸向變形分析通過(guò)節(jié)點(diǎn)C的受力分析可以判斷AC桿受拉而BC桿受壓，AC桿將伸長(zhǎng)，而BC桿將縮短。因此，C節(jié)點(diǎn)變形后將位于C3點(diǎn)由于材料力學(xué)中的小變形假設(shè)，可以近似用C1和C2處的圓弧的切線來(lái)代替圓弧（以切代弧法），得到交點(diǎn)C0第一節(jié)拉壓桿的軸向變形[解]

1）分析節(jié)點(diǎn)C,求AC和BC的軸力（均預(yù)先設(shè)為拉力）拉壓伸長(zhǎng)縮短第一節(jié)拉壓桿的軸向變形[解]2）求AC和BC桿分別的變形量第一節(jié)拉壓桿的軸向變形[解]3）分別作AC1和BC2的垂線交于C0C點(diǎn)總位移：(此問(wèn)題若用圓弧精確求解)第一節(jié)拉壓桿的軸向變形思考：1.拉壓桿橫截面上有沒有切應(yīng)力？2.拉壓桿斜截面上有沒有切應(yīng)力？沒有有，=？設(shè)斜截面的外法線與軸線的夾角為任意斜截面上都有切應(yīng)力，切應(yīng)力最大。第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角第二節(jié)

圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角在談到圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的推導(dǎo)時(shí)，相距為dx

的兩個(gè)相鄰截面之間有相對(duì)轉(zhuǎn)角dj取單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角

用來(lái)表示扭轉(zhuǎn)變形的大小單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角的單位:rad/m抗扭剛度越大，單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角越小第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角在一段軸上，對(duì)單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角公式進(jìn)行積分，就可得到兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j。相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的單位:rad當(dāng)為常數(shù)時(shí)：請(qǐng)注意單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角和相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的區(qū)別同種材料階梯軸扭轉(zhuǎn)時(shí):第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角例：

一受扭圓軸如圖所示，已知：T1=1400N·m，T2=600N·m，T3=800N·m，d1=60mm，d2=40mm，剪切彈性模量G=80GPa，計(jì)算最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角1）根據(jù)題意，首先畫出扭矩圖2）AB段單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：3）BC段單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：綜合兩段，最大單位扭轉(zhuǎn)角應(yīng)在BC段為0.03978rad/m第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角例：圖示一等直圓桿，已知d=40mma=400mmG=80GPa,jDB=1O,求:1)最大切應(yīng)力2）jAC第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角1）畫出扭矩圖2）求最大切應(yīng)力首先要求出M的數(shù)值第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角第三節(jié)梁的變形第三節(jié)梁的變形

梁必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過(guò)大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無(wú)法正常工作。例如軋鋼機(jī)的軋輥，若彎曲變形過(guò)大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機(jī)床的主軸，則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度。1、梁的變形1、梁的變形第三節(jié)梁的變形1、梁的變形第三節(jié)梁的變形

梁在平面內(nèi)彎曲時(shí)，梁軸線從原來(lái)沿x軸方向的直線變成一條在xy

平面內(nèi)的曲線，該曲線稱為撓曲線。

某截面的豎向位移，稱為該截面的撓度

某截面的法線方向與x軸的夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角

撓度和轉(zhuǎn)角的大小和截面所處的x方向的位置有關(guān)，可以表示為關(guān)于x的函數(shù)。撓度方程（撓曲線方程）轉(zhuǎn)角方程1、梁的變形第三節(jié)梁的變形撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定在圖示的坐標(biāo)系中，撓度w

向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角規(guī)定截面法線與x

軸夾角，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù),即在圖示坐標(biāo)系中撓曲線具有正斜率時(shí)轉(zhuǎn)角q為正。1、梁的變形第三節(jié)梁的變形撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系1、梁的變形在小變形假設(shè)條件下?lián)锨€的斜率（一階導(dǎo)數(shù)）近似等于截面的轉(zhuǎn)角第三節(jié)梁的變形2、撓曲線近似微分方程純彎曲情況下梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的關(guān)系是:橫力彎曲情況下，若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的高度時(shí)，剪力對(duì)梁的變形可以忽略不計(jì)。但此時(shí)彎矩不再為常數(shù)。高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于曲率的公式在梁小變形情況下，第三節(jié)梁的變形2、撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為第三節(jié)梁的變形第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形梁的撓曲線近似微分方程對(duì)上式進(jìn)行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程（等直梁EI為常數(shù)）再進(jìn)行一次積分,可得到撓度方程其中，C和D是積分常數(shù)，需要通過(guò)邊界條件或者連續(xù)條件來(lái)確定其大小。邊界條件在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形連續(xù)條件在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等。若梁分為n段積分，則要出現(xiàn)2n個(gè)待定常數(shù)，總可找到2n個(gè)相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形例

如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。

第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形（1）按照?qǐng)D示坐標(biāo)系建立彎矩方程

請(qǐng)同學(xué)們自己做一下（時(shí)間:1分鐘）（2）撓曲線近似微分方程（3）積分第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形（4）確定積分常數(shù)由邊界條件代入上面兩式（5）列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，將C、D的值代入方程第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形（6）求B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角在自由端，x

=l第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形例：

如圖所示，簡(jiǎn)支梁受集中力F作用，已知EI為常量。試求B

端轉(zhuǎn)角和跨中撓度。第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形（1）求約束反力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對(duì)AC和CB分別計(jì)算第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形FAFBAC段CB段第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形FAFB利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個(gè)積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:由于撓曲線在C點(diǎn)處是連續(xù)光滑的，因此其左右兩側(cè)轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)相等。即代入上面的式子第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形FAFB得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段CB段（5）求B指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角若第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形第五節(jié)疊加法求梁的變形通過(guò)積分法我們可以求出梁任意一截面上的撓度和轉(zhuǎn)角，但是當(dāng)載荷情況復(fù)雜時(shí)，彎矩方程分段就很多，導(dǎo)致出現(xiàn)大量積分常數(shù)，運(yùn)算較為繁瑣。而在工程中，較多情況下并不需要得出整個(gè)梁的撓曲線方程，只需要某指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角，或者梁截面的最大撓度和轉(zhuǎn)角，這時(shí)采用疊加法比積分法方便。在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無(wú)關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時(shí)桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。用疊加法求等截面梁的變形時(shí)，每個(gè)載荷作用下的變形可查教材78~79頁(yè)表4-2計(jì)算得出。第五節(jié)疊加法求梁的變形查表時(shí)應(yīng)注意坐標(biāo)和載荷的方向、跨長(zhǎng)及字符一一對(duì)應(yīng)。第五節(jié)疊加法求梁的變形例：

求圖中所示梁跨中點(diǎn)的撓度及A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。已知，梁的抗彎剛度EI為常數(shù)

。第五節(jié)疊加法求梁的變形=+第五節(jié)疊加法求梁的變形例：

如圖，梁的左半段受到均布載荷q的作用，求B

端的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度EI

為常數(shù)。第十節(jié)疊加法求梁的變形考慮其變形:

由于CB段梁上沒有載荷，各截面的彎矩均為零，說(shuō)明在彎曲過(guò)程中此段并不產(chǎn)生變形，即C’B’仍為直線。根據(jù)幾何關(guān)系可知：由于在小變形的假設(shè)前提下查表:代入上面的計(jì)算式第五節(jié)疊加法求梁的變形在使用疊加法求解梁的變形時(shí)，我們通常需要參考教材表4-2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點(diǎn)的位移。類似于外伸梁和其它一些較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的梁的問(wèn)題中，有些梁是不能直接查表進(jìn)行位移的疊加計(jì)算，需要經(jīng)過(guò)分析和處理才能查表計(jì)算。一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁，然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復(fù)雜梁的各段逐段剛化求解位移，最后進(jìn)行疊加來(lái)處理（逐段剛化法）。第五節(jié)疊加法求梁的變形例：求圖示外伸梁的C截面的撓度轉(zhuǎn)角EI為常數(shù)。