高數(shù) 大一 下冊期末考試復(fù)習(xí)試卷

高等數(shù)學(xué)A2試卷（A卷）適用專業(yè)：全校本科一年級題號一二三四五六七八九十總分評分閱卷人一、單項(xiàng)選擇題（本題共6小題，每小題3分，共18分）.1、過點(diǎn)且與平面平行的平面方程是（）A.B.C.D.2、直線與平面的位置關(guān)系是（）A.相交但不垂直B.直線在平面內(nèi)C.平行D.垂直3、函數(shù)的極小值點(diǎn)為（）A.B.C.D.4、級數(shù)的收斂性是()A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.不能確定5、二次積分的次序可以轉(zhuǎn)化為（）A.B.C.D.設(shè)，是長方體的整個(gè)表面的外側(cè)，則（）A.B.C.D.二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）.1、函數(shù)的全微分.2、函數(shù)在點(diǎn)處由點(diǎn)到點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)為.3、設(shè)，而，，則.4、微分方程的通解是.5、周期為的函數(shù)在的表達(dá)式為，它的傅里葉（Fourier）展開式中系數(shù)=.6、對弧長的曲線積分，其中是圓周，.三、計(jì)算題（本題共6小題，每小題8分，共48分）.1、已知微分方程，（1）求出的通解；（2）求出滿足，的特解.2、設(shè)，求3、求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.4、計(jì)算三重積分，其中是由三條坐標(biāo)平面及平面所圍成的區(qū)域.5、利用格林公式，計(jì)算曲線積分，其中為上半圓周，沿逆時(shí)針方向.6、已知冪級數(shù)，（1）求出收斂域（先求收斂半徑，再討論端點(diǎn)）；（2）求出冪級數(shù)的和函數(shù)（先求導(dǎo)、后積分）.四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題8分，共16分）1、求內(nèi)接于半徑為的球且有最大體積的長方體.（利用拉格朗日乘數(shù)法求解）2、計(jì)算拋物面和錐面所圍成立體的體積.高等數(shù)學(xué)A2試卷（A卷）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（本題共6小題，每小題3分，共18分）1.A2.D3.B4.B5.C6.C二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）1.2.3.4.5.或6.三、計(jì)算題（本題共6小題，每小題8分，共48分）1、計(jì)算微分方程滿足初值條件，的特解。.解：由題可得特征方程為：，可得:.----------------3分該方程的通解為：由初值條件：，得：，.-----------------6分故該方程的特解為：-----------------8分2、設(shè)，求。解：由-------------2分可得：，--------------5分則有：，故：------------------8分3、求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法平面方程。解：由題可知：，曲線在點(diǎn)處的切向量為：-------------------4分則該點(diǎn)處的切線方程為：---------------------6分該點(diǎn)處的法平面方程為：或--------------------8分4、計(jì)算三重積分，其中是由三條坐標(biāo)平面及平面所圍成的閉區(qū)域解：積分區(qū)域?yàn)闀r(shí)，-----------------2分------------------8分5、利用格林公式，計(jì)算曲線積分，其中為上半圓，沿逆時(shí)針方向。解：設(shè)為和OA所圍成的半圓形閉區(qū)域，則由格林公式，--------6分故----------------8分6、求冪級數(shù)的和函數(shù)。解：根據(jù)比值審斂法，當(dāng)時(shí)，即時(shí)級數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，即時(shí)級數(shù)發(fā)散，故其收斂半徑當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散，故該級數(shù)的收斂域?yàn)?，假設(shè)冪級數(shù)的和函數(shù)為，則-----------------4分上式兩端分別從至積分，并注意到在處收斂于，故得又原級數(shù)在處均發(fā)散，故它的和函數(shù)----------8分四、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題8分，共16分）1、求內(nèi)接于半徑為的球且有最大體積的長方體。解:設(shè)球面方程為，是它內(nèi)接長方體在第一卦限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn)，則此長方體的長、寬、高分別為：，，，體積為令-----------------3分由即---------------------------4分解得代入，得，故為唯一的極值點(diǎn)，由于內(nèi)接于球且有最大體積的長方體必定存在，所以當(dāng)長方體的長、寬、高都為時(shí)，其體積最大。----------------------8分2、利用三重積分計(jì)算曲面和曲面所圍成立體的體積。解：由和消去，解得，即在面上的投影區(qū)域?yàn)?于是-----------------3分因此--------------------8分高等數(shù)學(xué)A2試卷（B卷）適用專業(yè)：全校本科一年級（除財(cái)務(wù)管理專業(yè)和中德合作班）題號一二三四五六七八九十總分評分閱卷人一、單項(xiàng)選擇題（本題共6小題，每小題3分，共18分）1、直線化為對稱式（點(diǎn)向式）方程是（）.A.B.C.D.2、已知兩點(diǎn)和，與同方向的單位向量是（）.A.B.C.D.3、點(diǎn)是函數(shù)的（）.A.極大值點(diǎn)B.極小值點(diǎn)C.不是極值點(diǎn)D.無法判斷4、若級數(shù)在時(shí)收斂，則在時(shí)該級數(shù)().A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.不能確定5、把積分化為極坐標(biāo)形式是（）.A.B.C.D.6、設(shè)，是球面的外側(cè)，利用高斯定理計(jì)算（）.A.B.C.D.二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）7、函數(shù)的全微分.8、函數(shù)在點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大的方向是.9、設(shè)，則.10、微分方程的通解是.11、對弧長的曲線積分，其中是半圓和軸所圍成的區(qū)域的邊界.12、設(shè)是周期為的函數(shù)在上的表達(dá)式，的傅里葉級數(shù)在點(diǎn)處收斂于.三、計(jì)算題（本題共7小題，每小題8分，共56分）13、計(jì)算（1）求出的通解；（2）求出的一個(gè)特解；（3）求出的通解.14、設(shè)，，，其中有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算15、求出曲面在點(diǎn)的切平面方程和法線方程.16、考察三重積分，（1）設(shè)是三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域，將三重積分化為直角坐標(biāo)系下的三次積分；（2）設(shè)是旋轉(zhuǎn)拋物面和平面所圍成的閉區(qū)域，將三重積分化為柱坐標(biāo)系下的三次積分.17、求拋物面介于平面和之間那部分的曲面面積.18、利用格林公式，計(jì)算曲線積分，其中是，和所圍成的區(qū)域的正向邊界.19、求冪級數(shù)的和函數(shù).（1）求出收斂域（先求收斂半徑，再討論端點(diǎn)）；（2）求出冪級數(shù)的和函數(shù)（先求積分、后求導(dǎo)）.四、應(yīng)用題（本題共1小題，每小題8分，共8分）20、橫斷面為圓形的圓柱形張口浴桶，其表面積等于平方米，當(dāng)其當(dāng)?shù)酌姘霃胶透邽槎嗌贂r(shí)，此浴桶有最大容積.(利用拉格朗日乘數(shù)法求解)高等數(shù)學(xué)A2試卷（B卷）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本題共6小題，每題3分，共18分）123456ADACBD二、填空題（本題共6小題，每空3分，共18分）7.8.9.10.11.12.三、計(jì)算題13、計(jì)算（1）求出的通解；（2）求出的一個(gè)特解；（3）求出的通解。解：（1）的特征方程為，有兩不相等的實(shí)根，，所以對應(yīng)的齊次方程的通解為-----3分（2）假定其特解形式是求出，，代入原方程得解之得：，，故-----6分（3）的通解為它對應(yīng)的齊次方程與它的特解之和-----8分14、設(shè)，，，其中有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算解-----4分-----8分15、求出曲面在點(diǎn)的切平面方程和法線方程。解設(shè)，切平面的法向量是--4分故切平面方程是，即；---6分法線方程是-----8分16、考察三重積分，（1）設(shè)是三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域，將三重積分化為直角坐標(biāo)系下的三次積分；（2）設(shè)是旋轉(zhuǎn)拋物面和平面所圍成的閉區(qū)域，將三重積分化為柱坐標(biāo)系下的三次積分。解（1）將投影在面上，得，又，故-----4分（2）將投影在面上，得柱坐標(biāo)系下，又故-----8分17、求拋物面介于平面和之間那部分的曲面面積。解投影在面上，得-----3分曲面面積是-----8分18、利用格林公式，計(jì)算曲線積分，其中是，和所圍成的區(qū)域的正向邊界。解，-----3分-----8分19、求冪級數(shù)的和函數(shù)。（1）求出收斂域（先求收斂半徑，再討論端點(diǎn)）；（2）求出冪級數(shù)的和函數(shù)（先求積分、后求導(dǎo)）；解（1）收斂半徑，端點(diǎn)處發(fā)散，端點(diǎn)處也發(fā)散，收斂域是.-----4分（2）設(shè)和函數(shù)為S(x)即則-----8分四、應(yīng)用題（本題共1小題，每小題8分，共8分）20、橫斷面為圓形的圓柱形張口浴桶，其表面積等于平方米，當(dāng)其尺寸怎樣設(shè)計(jì)時(shí)，此盆有最大容積。解設(shè)橫斷面為圓形的圓柱形張口浴桶底面半徑是，高是，則表面積是，即，容積構(gòu)造L—函數(shù)：-----4分求解方程組：得唯一駐點(diǎn)由于駐點(diǎn)唯一，且