高中數(shù)學人教A版2第二章推理與證明直接證明與間接證明 省獲獎

2.2.2[學習目標]1．了解反證法是間接證明的一種基本方法．2．理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學問題．[知識鏈接]1．有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對嗎？為什么？答這種說法是錯誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題．命題的否定與原命題是對立的，原命題正確，其命題的否定一定不對．2．反證法主要適用于什么情形？答①要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；②如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形．[預習導引]1．反證法定義假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫做反證法．2．反證法常見的矛盾類型反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等．要點一用反證法證明“至多”“至少”型命題例1已知x，y>0，且x＋y>2.求證：eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一個小于2.證明假設eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)都不小于2，即eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2.∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2與已知x＋y>2矛盾．∴eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一個小于2.規(guī)律方法對于含有“至多”、“至少”的命題適合用反證法，對于此類問題，需仔細體會“至少有一個”、“至多有一個”等字眼的含義，弄清結論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤．跟蹤演練1已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)．證明假設a，b，c，d都是非負數(shù)，∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1.又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，∴ac＋bd≤1.這與已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)．要點二用反證法證明不存在、唯一性命題例2求證對于直線l：y＝kx＋1，不存在這樣的實數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點A、B關于直線y＝ax(a為常數(shù))對稱．證明假設存在實數(shù)k，使得A、B關于直線y＝ax對稱，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有(1)直線l：y＝kx＋1與直線y＝ax垂直；(2)點A、B在直線l：y＝kx＋1上；(3)線段AB的中點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))在直線y＝ax上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ka＝－1①,y1＋y2＝kx1＋x2＋2②,\f(y1＋y2,2)＝a\f(x1＋x2,2)③))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝3x2－1，))得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④當k2＝3時，l與雙曲線僅有一個交點，不合題意．由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2⑤由④知x1＋x2＝eq\f(2k,3－k2)，代入⑤整理得：ak＝3，這與①矛盾．所以假設不成立，故不存在實數(shù)k，使得A、B關于直線y＝ax對稱．規(guī)律方法證明“唯一性”問題的方法：“唯一性”包含“有一個”和“除了這個沒有另外一個”兩層意思．證明后一層意思時，采用直接證法往往會相當困難，因此一般情況下都采用間接證法，即用反證法(假設“有另外一個”，推出矛盾)或同一法(假設“有另外一個”，推出它就是“已知那一個”)證明，而用反證法有時比用同一法更方便．跟蹤演練2求證方程2x＝3有且只有一個根．證明∵2x＝3，∴x＝log23，這說明方程2x＝3有根．下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的：假設方程2x＝3至少有兩個根b1，b2(b1≠b2)，則2b1＝3,2b2＝3，兩式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，則2b1－b2>1，這與2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，則2b1－b2<1，這也與2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，則b1＝b2.∴假設不成立，從而原命題得證．要點三用反證法證明否定性命題例3等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．(1)解設公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設數(shù)列{bn}中存在三項bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，這與p≠r矛盾．所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．規(guī)律方法(1)當結論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適于應用反證法．例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾．(2)反證法必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法．跟蹤演練3已知f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)，證明方程f(x)＝0沒有負數(shù)根．證明假設x0是f(x)＝0的負數(shù)根，則x0<0且x0≠－1且ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，由0<ax0<1?0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，解得eq\f(1,2)<x0<2，這與x0<0矛盾，所以假設不成立，故方程f(x)＝0沒有負數(shù)根．1．證明“在△ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應假設()A．三角形中至少有一個直角或鈍角B．三角形中至少有兩個直角或鈍角C．三角形中沒有直角或鈍角D．三角形中三個角都是直角或鈍角答案B2．用反證法證明“三角形中至少有一個內角不小于60°”，應先假設這個三角形中()A．有一個內角小于60° B．每一個內角都小于60°C．有一個內角大于60° D．每一個內角都大于60°答案B3．“a<b”的反面應是()A．a(chǎn)≠b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝b或a>b答案D4．用反證法證明“在同一平面內，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”時，應假設()A．a(chǎn)不垂直于c B．a(chǎn)，b都不垂直于cC．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)與b相交答案D5．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證a也是偶數(shù)．證明(反證法)假設a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)．設a＝2n＋1(n∈Z)，則a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶數(shù)，∴4n2＋4n＋1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)．1．反證法證明的基本步驟(1)假設命題結論的反面是正確的；(反設)(2)從這個假設出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與已知條件、公理、定義、定理、反設及明顯的事實矛盾；(推謬)(3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論是正確的．(結論)2．用反證法證題要把握三點：(1)必須先否定結論，對于結論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的．(2)反證法必須從否定結論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法．(3)反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾，但推導出的矛盾必須是明顯的.一、基礎達標1．反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是()①與已知條件矛盾②與假設矛盾③與定義、公理、定理矛盾④與事實矛盾A．①② B．①③C．①③④ D．①②③④答案D2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為()A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線答案C解析假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應選C.3．有下列敘述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內”；④“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”．其中正確的敘述有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個答案B解析①錯：應為a≤b；②對；③錯：應為三角形的外心在三角形內或在三角形的邊上；④錯：應為三角形可以有2個或2個以上的鈍角．4．用反證法證明命題：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設的內容應為()A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除 D．a(chǎn)不能被5整除答案B解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”．5．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶數(shù)”時，否定結論應為________答案a，b，c都不是偶數(shù)解析a，b，c中存在偶數(shù)即至少有一個偶數(shù)，其否定為a，b，c都不是偶數(shù)．6．“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應是________．答案存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角解析“任何三角形”的否定是“存在一個三角形”，“至少有兩個”的否定是“最多有一個”．7．設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證f(x)＝0無整數(shù)根．證明設f(x)＝0有一個整數(shù)根k，則ak2＋bk＝－c. ①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均為奇數(shù)，∴a＋b為偶數(shù)，當k為偶數(shù)時，顯然與①式矛盾；當k為奇數(shù)時，設k＝2n＋1(n∈Z)，則ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)為偶數(shù)，也與①式矛盾，故假設不成立，所以方程f(x)＝0無整數(shù)根．二、能力提升8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝eq\f(xn·x\o\al(2,n)＋3,3x\o\al(2,n)＋1)(n＝1,2，…)，試證“數(shù)列{xn}對任意的正整數(shù)n都滿足xn>xn＋1”，當此題用反證法否定結論時應為()A．對任意的正整數(shù)n，有xn＝xn＋1B．存在正整數(shù)n，使xn＝xn＋1C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn＋1D．存在正整數(shù)n，使xn≤xn＋1答案D解析“任意”的反語是“存在一個”．9．設a，b，c都是正數(shù)，則三個數(shù)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都大于2B．至少有一個大于2C．至少有一個不小于2D．至少有一個不大于2答案C解析假設a＋eq\f(1,b)<2，b＋eq\f(1,c)<2，c＋eq\f(1,a)<2，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))<6.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2＋2＋2＝6，這與假設得到的不等式相矛盾，從而假設不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.10．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是________答案a≤－2或a≥－1解析若兩方程均無實根，則Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>eq\f(1,3).Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－2<a<0，故－2<a<－1.若兩個方程至少有一個方程有實根，則a≤－2或a≥11．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證a>0，b>0，c>0.證明用反證法：假設a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設a<0，b<0，c>0，則由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，這與已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假設不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．12．已知a，b，c∈(0,1)，求證(1－a)b，(1