量子力學(xué)典型例題分析報(bào)告解答

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)例題第二章一．求解一位定態(tài)薛定諤方程1．試求在不對(duì)稱(chēng)勢(shì)井中的粒子能級(jí)和波函數(shù)[解]薛定諤方程:當(dāng) , 故有利用波函數(shù)在 處的連續(xù)條件由 處連續(xù)條件 :由 處連續(xù)條件 :文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè) n值,可解一個(gè) , 為分離能級(jí).2． 粒子在一維 勢(shì)井中的運(yùn)動(dòng)求粒子的束縛定態(tài)能級(jí)與相應(yīng)的歸一化定態(tài)波函數(shù)[解]體系的定態(tài)薛定諤方程為當(dāng) 時(shí)對(duì)束縛態(tài)解為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)在 處連續(xù)性要求將 代入得又相應(yīng)歸一化波函數(shù)為 :歸一化波函數(shù)為 :分子間的范得瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢(shì)能可近似地表示為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)求束縛態(tài)的能級(jí)所滿(mǎn)足的方程[解]束縛態(tài)下粒子能量的取值范圍為當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)薛定諤方程為令解為當(dāng) 時(shí)令文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解為當(dāng) 時(shí)薛定諤方程為令薛定諤方程為解為由波函數(shù)滿(mǎn)足的連續(xù)性要求 ,有文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)要使 有非零解 不能同時(shí)為零則其系數(shù)組成的行列式必須為零計(jì)算行列式 ,得方程例題主要類(lèi)型:1.算符運(yùn)算; 2.力學(xué)量的平均值; 3.力學(xué)量幾率分布.一. 有關(guān)算符的運(yùn)算1.證明如下對(duì)易關(guān)系文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(1)(2)(3)(4)(5)[證](1)(2)(3)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)一般地,若算符 是任一標(biāo)量算符 ,有(4)一般地,若算符 是任一矢量算符 ,可證明有(5)=0同理： 。2. 證明哈密頓算符為厄密算符[解]考慮一維情況文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)為厄密算符, 為厄密算符, 為實(shí)數(shù)為厄密算符 為厄密算符3已知軌道角動(dòng)量的兩個(gè)算符 和 共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為 ,取: 試證明: 也是 和 共同本征函數(shù) ,對(duì)應(yīng)本征值分別為: 。[證]文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)。是 的對(duì)應(yīng)本征值為 的本征函數(shù)是 的對(duì)應(yīng)本征值為 的本征函數(shù)又:可求出:二.有關(guān)力學(xué)量平均值與幾率分布方面1. (1)證明 是 的一個(gè)本征函數(shù)并求出相應(yīng)的本征值；(2)求x在 態(tài)中的平均值[解]文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)即是 的本征函數(shù)。本征值2. 設(shè)粒子在寬度為 a的一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，如粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫(xiě)。求粒子能量的可能值相應(yīng)的概率及平均值【解】寬度為a的一維無(wú)限深勢(shì)井的能量本征函數(shù)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)注意:是否歸一化波函數(shù)能量本征值出現(xiàn) 的幾率 , 出現(xiàn) 的幾率能量平均值另一做法3.一維諧振子在 時(shí)的歸一化波函數(shù)為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)所描寫(xiě)的態(tài)中式中，式中是諧振子的能量本征函數(shù)，求（1）的數(shù)值；2）在態(tài)中能量的可能值，相應(yīng)的概率及平均值；（3）時(shí)系統(tǒng)的波函數(shù)；（4）時(shí)能量的可能值相應(yīng)的概率及平均值[解](1) , 歸一化， ，，（2） ，， ； ， ；， ；（3） 時(shí)，所以：時(shí)，能量的可能值、相應(yīng)的概率、平均值同（ 2）。4． 設(shè)氫原子處于狀態(tài)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)求氫原子的能量 ,角動(dòng)量平方以及角動(dòng)量 z分量的可能值 ,這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。[解] 能量本征值能量本征態(tài)當(dāng)n=2 時(shí)本征值為的， 出現(xiàn)的幾率為 100％可能值為 出現(xiàn)的幾率分別為： 。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)5.在軌道角動(dòng)量 和 共同的本征態(tài) 下,試求下列期望值(1). ; (2) .[解]：三 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系1. 粒子處于狀態(tài) 式中 為常數(shù),求粒子的動(dòng)量的平均值 ,并計(jì)算測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系[解]先歸一化(1) 動(dòng)量平均值文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(2)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(3)附:常用積分式：1）2）3）文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)第四章 例題．力學(xué)量的矩陣表示由坐標(biāo)算符的歸一化本征矢 及動(dòng)量算符 構(gòu)造成算符 和試分別：1）.求 和 在態(tài) 下的期望值；2）.給出 和 的物理意義【解】（1）.設(shè)態(tài)矢 已歸一化（粒子位置幾率密度）2）（利用 化到坐標(biāo)表象）又： ,上式文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)試證明：由任意一對(duì)以歸一化的共軛右矢和左矢構(gòu)成的投影算符（1）.是厄密算符，（2）.有，（3）.的本征值為0和1【證】（1）.厄密算符的定義為厄密算符(2) 已歸一化（3）.由 的本征值方程,又：即：（本題主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符號(hào)的應(yīng)用）文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)3.分別在坐標(biāo)表象，動(dòng)量表象，能量表象中寫(xiě)出一維無(wú)限深勢(shì)井中（寬度 ）基態(tài)粒子的波函數(shù)。（本題主要考查波函數(shù)在具體表象中的表示）【解】 所描述的狀態(tài)，基態(tài)波函數(shù)（1）.在x表象：（2）.動(dòng)量表象：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（3）.能量表象同樣一個(gè)態(tài)在不同表象中的表示是不同的， 不同的表象是從不同側(cè)面來(lái)進(jìn)行描述的.文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)4.取 和 的共同表象，在 角動(dòng)量空間中寫(xiě)出 , , 的矩陣（本題主要考查算符矩陣的求法 ）【解】 , 的共同本征函數(shù)為在 空間（1）. ,同樣2）文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)利用:利用正交歸一條件:同樣3）利用:矩陣:文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)矩陣:5.已知體系的哈密頓量 ,試求出1）.體系能量本征值及相應(yīng)的在所在的表象的正交歸一化的本征矢組.2）.將對(duì)角化，并給出對(duì)角化的么正變換矩陣【解】（1）.久期方程解之 ,設(shè)正交歸一的本征矢對(duì)應(yīng)于文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)本征矢 歸一化對(duì)應(yīng)歸一本征矢同樣 ::即為 的本征函數(shù)集（2）. 對(duì)角化后，對(duì)角元素即為能量本轉(zhuǎn)換矩陣為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)6． 證明：將算符矩陣 對(duì)角化的轉(zhuǎn)換矩陣的每一列對(duì)應(yīng)于算符的一個(gè)本征函數(shù)矢量?！咀C】 算符的本征矢：則F算符在自身表象中為一對(duì)角矩陣：對(duì)另一表象力學(xué)量的本征矢的本征矢文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)7. 為厄密算符。 ①求算符 的本征值， ②在A表象下求算符 的矩陣表示。[解]：① 設(shè) 的本征值為 ,本征函數(shù)為 ,則又同理算符 的本征值也為 .② 在A表象，算符 的矩陣為一對(duì)角矩陣,對(duì)角元素為本征值，即設(shè)利用為厄密算符即文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)又?。旱谖逭?例題重點(diǎn)：微擾論1． 一根長(zhǎng)為 ，無(wú)質(zhì)量的繩子一段固定于支點(diǎn)，另一端系質(zhì)量為的 質(zhì)點(diǎn) ，在重力作用下，質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)。 i)在小角近似下，求系統(tǒng)能級(jí)； ii)求由于小角近似的誤差產(chǎn)生的基態(tài)能量的一級(jí)修正。解：i) 勢(shì)能：系統(tǒng)的哈密頓量在小角近似下 :文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn))若不考慮小角近似又利用公式文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn),同樣2. 一維諧振子的哈密頓量為 ，假設(shè)它處于基態(tài)，若在加上一個(gè)彈力作用 ，使用微擾論計(jì)算 對(duì)能量的一級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。解：i)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn),又嚴(yán)格解發(fā)生了變化文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)3．已知體系的能量算符為,其中,為軌道的角動(dòng)量算符。（1）求體系能級(jí)的精確值。（2）視項(xiàng)為微擾項(xiàng)，求能級(jí)至二級(jí)近似值。[解]：i)精確解令 ，并在 平面上取方向 ：與z軸的夾角為 ， 則與 相互對(duì)易，它們的本征值分別為體系能級(jí)為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)微擾法的精確解為 本征函數(shù)本征能量按微擾論利用了公式能量二級(jí)修正為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)在二級(jí)近似下4． 三維諧振子，能量算符為 ，試寫(xiě)出能級(jí)和能量本征函數(shù)。如這振子又受到微擾 ， 的作用，求最低的兩個(gè)能級(jí)的微擾修正。并和精確值比較。[解]：（1設(shè) 的能量本征函數(shù)為代入方程文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(2).基態(tài)的微繞修正對(duì)基態(tài) 波函數(shù)基態(tài)能級(jí)的零級(jí) ,無(wú)簡(jiǎn)并能量的二級(jí)修正 :唯一不等于零的矩陣元為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(3).第一激發(fā)態(tài)三度簡(jiǎn)并計(jì)算 不為零的矩陣元為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)久期方程可求出能量的一級(jí)修正(4).精確解令文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)基態(tài)第一激發(fā)態(tài)5．設(shè)粒子的勢(shì)能函數(shù) 是坐標(biāo)的 n次齊次函數(shù)， 即試用變分法證明， 在束縛態(tài)下，動(dòng)能 T及勢(shì)能V的平均值滿(mǎn)足下列關(guān)系 （維里定理）[證]設(shè)粒子所用的態(tài)用歸一化波函數(shù) 描寫(xiě) 則取試態(tài)波函數(shù)為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)由歸一化條件文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)當(dāng) 時(shí)，試態(tài)波函數(shù)即是粒子所處的束縛態(tài)波函數(shù)。應(yīng)在 時(shí)， 取極值6. 氫原子處于基態(tài)，加上交變電場(chǎng) , 電離能,用微擾論一級(jí)近似計(jì)算氫原子每秒離幾率。[解]：解這一類(lèi)問(wèn)題要搞清楚三個(gè)要素，初態(tài)末態(tài)是什么？微擾矩陣元 ?初態(tài)：氫原子基態(tài)末態(tài): 自由狀態(tài)為能量為 , 在單位立體角的末態(tài)密度。微擾文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)7．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I,電偶極矩為 D的平面轉(zhuǎn)子，置于均勻場(chǎng)強(qiáng) E（沿x方向）中，總能量算符成為 , 為旋轉(zhuǎn)角(從x軸算起）如果電場(chǎng)很強(qiáng)， 很小，求基態(tài)能量近似值。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)[解]：方法一與一位諧振子的能量本征方程 比較有方法二 用變分法，取歸一化的試探波函數(shù)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)所得結(jié)果與方法二一致。8．設(shè)在 表象中， 的矩陣表示為其中 , 試用微擾論求能級(jí)二級(jí)修正[解]：在 表象中，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)第六章 例題1.有關(guān)泡利矩陣的一些關(guān)系的證明（注意應(yīng)用一些已知結(jié)論）1). ; (2). ;(3). ;(4).設(shè) 則 ， .【證】1）.(2).(3).文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(4).2．證明： 并利用此結(jié)論求 本征值【證】設(shè) 的本征函數(shù)為則又文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn), ,3．設(shè)為 常數(shù)，證明【證】 將 展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)，有， 為偶數(shù) ； 為奇數(shù)上式4．求自旋角動(dòng)量在任意方向 （方位角為 ）的投影的本征值及本征矢（在 表象），【解】 在 表象中， ，在 表象中的矩陣表示為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)設(shè) 的本征值為 ，相應(yīng)本征矢為 ，本征方程為＝解久期方程，將 代入本征方程由歸一化條件對(duì)應(yīng)的本征矢為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)同樣： 對(duì)應(yīng)的本征矢為通過(guò)本題討論我們發(fā)現(xiàn)， 的本征值為 ，自旋算符 在任意方向上的分量 的本征值也是 。也進(jìn)一步推廣，對(duì)任一種角動(dòng)量算符 ，如有 的本征值為 ， 的本征值為 則 在任意方向上的分量 的本征值的可能值也為。5． 有一個(gè)定域電子（不考慮軌道運(yùn)動(dòng)）受均勻磁場(chǎng)作用，磁場(chǎng)指向正 方向，磁作用勢(shì)為，設(shè) 時(shí)電子的自旋向上，即 求 時(shí) 的平均值。[解] 設(shè)自旋函數(shù) 在表象中體系的哈密頓算符可表示為則自旋態(tài)所滿(mǎn)足的薛定諤方程為同理文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)又 ， 自旋再由即6．在自旋態(tài) 中，求【解】文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)同理7．已知電子的態(tài)函數(shù)為其中 已歸一化 ，求（1）.同時(shí)測(cè)量 為 ， 為 的幾率。（2）.電子自旋向上的幾率。（3）. 和 平均值。[解]首先驗(yàn)證態(tài)函數(shù)是否歸一化 [erfwfff1]文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)①同時(shí)測(cè)量 為 , 為 的幾率②電子自旋向上的幾率：③8．考慮由兩個(gè)相同粒子組成得體系。 設(shè)可能的單粒子態(tài)為 ，試求體系的可能態(tài)數(shù)目。分三種情況討論（ 1）。粒子為玻色子 ;（2）粒子為費(fèi)米子 ;（3）粒子為經(jīng)典粒子 .文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)[解] ①玻色子構(gòu)成的系統(tǒng)，系統(tǒng)態(tài)函數(shù)必須是對(duì)稱(chēng)的a.如兩個(gè)粒子處于同一單粒子態(tài) : 共三種b.如兩個(gè)粒子處于不同一單粒子態(tài) 對(duì)稱(chēng)的波函數(shù)為共三種,因而，對(duì)玻色子可能態(tài)數(shù)為六種，①費(fèi)米子構(gòu)成的系統(tǒng)，系統(tǒng)態(tài)函數(shù)必須是反對(duì)稱(chēng)的全同費(fèi)米子不能處于同一態(tài)上（泡利原理） .反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)的形式只能是共三種.②對(duì)經(jīng)典粒子，全同粒子是可區(qū)分的，粒子體系波函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性要求，波函數(shù)形式只要求都可以）的有三種， 的有六種的共九種。9． 試寫(xiě)出自旋 的兩個(gè)自由電子所構(gòu)成的全同體系的狀態(tài)波函數(shù)。[解]自旋 的兩電子構(gòu)成的是費(fèi)