二級(jí)倒立擺的建模與MATLAB仿真畢業(yè)論文

二級(jí)倒立擺的建模與MATLAB仿真摘要：本文根據(jù)牛頓力學(xué)原理，使用機(jī)理建模法對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了建模與仿真研究。利用最優(yōu)化控制理論，研究了線性二次型最優(yōu)控制器對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了有效控制?；贛ATLAB程序的設(shè)計(jì)、仿真的運(yùn)行，結(jié)果表明，二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)建模法是切實(shí)可行的，而且十分可靠，同時(shí)利用LQR控制器實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)的控制，可以達(dá)到系統(tǒng)所需要的穩(wěn)定性，魯棒性。關(guān)鍵詞：二次型最優(yōu)控制；二級(jí)倒立擺；MATLAB1引言倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)常用的、簡(jiǎn)單的、典型的可進(jìn)行控制理論研究的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，很多難以用常規(guī)實(shí)驗(yàn)研究的控制理論問(wèn)題，都可以通過(guò)倒立擺系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行研究從而使這些抽象的控制理論問(wèn)題，通過(guò)該系統(tǒng)可以直觀的鮮明的顯示出來(lái)。所以倒立擺系統(tǒng)一直是控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)，并且在這些年來(lái)在不斷的發(fā)展進(jìn)步對(duì)控制理論的研究起到了重要作用。倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的不穩(wěn)定系統(tǒng)，具有多變量、強(qiáng)耦合、非線性等特點(diǎn)。同時(shí)也是仿人類(lèi)行走機(jī)器人和火箭發(fā)射飛行的過(guò)程調(diào)整和直升機(jī)飛行等實(shí)際運(yùn)用控制對(duì)象的最簡(jiǎn)模型。本文建立在牛頓力學(xué)定律的基礎(chǔ)上，研究對(duì)象設(shè)置為二級(jí)倒立擺，對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，再使用二次型最優(yōu)控制器(linearquadraticregulator，LQR)可以得到一個(gè)最優(yōu)狀態(tài)反饋的矩陣K,然后在通過(guò)對(duì)Q和R兩個(gè)加權(quán)矩陣的嚴(yán)謹(jǐn)選取從而實(shí)現(xiàn)對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)良好的自動(dòng)控制。2二級(jí)倒立擺模型建立一個(gè)典型的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)主要由機(jī)械部分和電氣裝置兩部分組成。機(jī)械裝置的結(jié)構(gòu)主要由小車(chē)擺桿1、擺桿2及連接軸等組成，電氣裝置的主要結(jié)構(gòu)是功率放大器、電動(dòng)機(jī)、驅(qū)動(dòng)電路、保護(hù)電路等其系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。實(shí)驗(yàn)假設(shè)如下：小車(chē)、擺桿1、擺桿2的材料性質(zhì)都是剛體的。小車(chē)的驅(qū)動(dòng)力和放大器的輸出直接的，無(wú)滯后的作用于小車(chē)上。忽略實(shí)驗(yàn)中過(guò)程中出現(xiàn)的不可避免的各種摩擦力如庫(kù)倫摩擦力等。OV擺帖2圖OV擺帖2圖1二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)二級(jí)倒立擺的參數(shù)設(shè)定如表1。表1二級(jí)倒立擺的參數(shù)設(shè)定M小車(chē)質(zhì)量kgl擺桿2中心到桿心距離2mm1擺桿1質(zhì)量kgF作用在系統(tǒng)上的外力N/ms-1m2擺桿2質(zhì)量kgg重力加速度m/s2m3質(zhì)量塊質(zhì)量kgl1擺桿1中心到桿心距離m通過(guò)拉格朗日定律的利用，建立相應(yīng)的系統(tǒng)模型，可(1)可設(shè)小車(chē)的總動(dòng)能為T(mén)，擺桿1的動(dòng)能為T(mén) ，擺桿二的動(dòng)能為T(mén) ，質(zhì)量塊的動(dòng)能為T(mén)，可(1)m1 m2 m3得出系統(tǒng)的總動(dòng)能為:T二T+T+T+Tm m1 m2m3X2一2X(2l0X2一2X(2l0cos0+10cos0oL11222.?2.--mlX02cos0+—mlX02+111113111T=—MX2+—mX222412412024+l202+41l00cos(0-0)3221212121+—mX2—2mlX0cos0+2m12012 3 31 1 1 311系統(tǒng)的勢(shì)能為:V=V+V+Vm1 m2 m3

由（2）可得系統(tǒng)的勢(shì)能為：(4)V=mglcos9+2mglcos9+mg(2lcos9+1cos9)(4)1 1 1 3 1 1 2 1 1 2 2拉格朗日算子：(5)(5)?- N9= 1?- N9= 1\o"CurrentDocument"1 M2M——21C-4m-12m-12m+9mcos2(91 1 2 3 2M——-16mCm+3(m+m)}212+4m1212cos2(9-9)9 2 1 2 3 12 212 1 21-92)(7)(8)因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)上9192可忽略外力的作用，那么即可建立以下的模型方程(6)N(6)—— 2M2因?yàn)門(mén)OC\o"1-5"\h\zN——3C-2gmsin9-4gmsin9 -4m sin9 +3m gcos(9 -9)sin9 +6m1cos(9 -9 )sin(9 -9 )921 1 1 2 1 3 1 2 2 1 2 21 1 2 1 2 1+4m1sin(9-9)92-2mXcos9-4mXcos9-4mXcos9+3mXcos(9-9)cos92212 2 1 1 2 1 3 1 2 1 2221(9)Cm+3(m+m)}21L3gsin9-6192sin(9-9)-3Xcos9]+1 2 3 1 2 2 11 1 2 2121cos(9-9)6m192sin(9-9)-3Cm+2(m+m)]gsin9+Xcos9)}12 1 2 3 1 1(10)根據(jù)泰勒公式，在平衡處展開(kāi)，并利用線性化對(duì)方程進(jìn)行計(jì)算可得到以下方程組根據(jù)泰勒公式，在平衡處展開(kāi)，并利用線性化對(duì)方程進(jìn)行計(jì)算可得到以下方程組將公式（6）代入（11將公式（6）代入（11）可得:百<19I2=K9+K9+KX121 132 17=K9+K9+KX221 232 27(11)-——K9-——K9+K9+KXM 121 132 172N———K9+K9+KXM2(12)12232 27將公式（7）（8）（9）（10）代入（12）可解出:K123(-2gmK123(-2gm-4gm-4gm)—— 1 2 3—2(-4m-3m-12m)l

1 2 31K224m1222gIm+2(m+m)]-16山+3(m+m)}/91 2 3 2K139mg2(-4m一3m一12m)l1 2 31K173(-2m一m一4m)= 12 3—2(—4m—3m一12m)l1 2 31K 4gIm+3(m+m)]23 3K139mg2(-4m一3m一12m)l1 2 31K173(-2m一m一4m)= 12 3—2(—4m—3m一12m)l1 2 31K 4gIm+3(m+m)]23 3(4ml-16匚+3心+m)}/9)221232+2(m+m)]-A^m+3(m+m)]/3= + 2 3 14ml22K272f一16Im+3(m+m123 3/92(13)設(shè)變量x1=x，x2=01x=032x=x，4=0,1x=06代入X=AX+BU,Y=CX+DU可得輸出方程:一16.6601一1.29730.085739.055518.0514一7.8603一68.512一14.445825.9635(x、(0、1x0.7272x03+x-1.70444x05丿(―丿0.2069丿000010(14)x0101020丿-37(x、(0、1x02x03+x04x05<0丿丿(x丿00000u001001(15)3LQR算法我們運(yùn)用線性二次型最優(yōu)控制器(linearquadraticregulator-LQR)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。LQR是能以控制和狀態(tài)變量為指標(biāo)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制方法,在現(xiàn)代控制理論中有非常重要的意義。若給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為X=AX+BU,Y=CX+DU。 (16)用y表示系統(tǒng)的期望輸出。r定義e(t)=y(t)-y(t)為系統(tǒng)的向量誤差。r則指標(biāo)函數(shù)為:J=—eT(t)Se(t)+—J/Lt(t)Qe(t)+UtR(t)U(t)b (17)2f f20在倒立擺系統(tǒng)中C=I,y=0，所以Y(t)=X(t)=-e(t)，而且倒立擺的控制是t趨向于無(wú)窮大rf時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)問(wèn)題，所以指標(biāo)函數(shù)為：J二Js(XtQX+UtRU)dt (18)0其中u二KX是系統(tǒng)的反饋控制，K二-R-1BtU其中P是系統(tǒng)方程的唯一正定解。因?yàn)樵诙?jí)倒立擺的系統(tǒng)中，小車(chē)的主要被控量是小車(chē)的位移和它上下擺的角度，Q是狀態(tài)變量的影響力，R是對(duì)U的加權(quán)在試驗(yàn)中我們可選取R=1,運(yùn)用MATLAB結(jié)果分析可證明二級(jí)單擺系統(tǒng)是能控，能觀的，將表一帶入公式(13)可得出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣為：K=( )仿真分析根據(jù)上述分析的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和LQR算法，運(yùn)用MATLAB仿真軟件，該系統(tǒng)的控制仿真程序如下：K=[];A=[010000;0 00;000100;0 00;000001;0 00];B=[0;;0;;0;];C=[100000;010000;001000;000100;000010;000001];D=[0;0;0;0;0;0];p=eig(A);[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);printsys(num,den)Q=[100000000;000000;0010000;000000;0000100;000000];Tc=ctrb(A,B);rank(Tc)To=obsv(A,C);rank(To)R=1;K=lqr(A,B,Q,R);Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];5T=0::20;U=*ones(size(T));[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);plot(T,Y(:,1)':',T,Y(:,2)'-',T,Y(:,3),'--')legend('小車(chē)位移','下擺角','上擺角')Grid通過(guò)MATLAB的仿真，我們可以得到小車(chē)位移與上下擺角之間的關(guān)系圖如圖2所示。圖2小車(chē)位移及上下擺角通過(guò)圖2可以看出小車(chē)在受到一個(gè)恒定的外力作用時(shí)小車(chē)的位移變化是一個(gè)階躍的變化然后趨于穩(wěn)定。上下擺的運(yùn)動(dòng)是一種是上擺桿整體相對(duì)位移是比較較小的，小車(chē)在運(yùn)動(dòng)時(shí)帶動(dòng)下擺桿的運(yùn)動(dòng)，下擺桿的整體的擺動(dòng)幅度較大的，于是可以看出在上下兩個(gè)擺桿之間連接點(diǎn)處下擺桿有明顯的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)然后上下擺桿基本一致趨于穩(wěn)定。我們可以發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)模型的建立可以得到一個(gè)良好的控制數(shù)值，在進(jìn)行MATLAB分析選取對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，系統(tǒng)可以很好的穩(wěn)定，在給倒立擺干擾后大概在六秒鐘的時(shí)候系統(tǒng)趨于穩(wěn)定恢復(fù)到平衡點(diǎn)的位置，由圖像可以明顯的看到在給定輸入后系統(tǒng)劇烈的變化上擺角和下擺角成階躍式變化在一秒的時(shí)候達(dá)到最大值然后快速衰減在四秒的時(shí)候基本趨于穩(wěn)定，在六秒的時(shí)候系統(tǒng)到達(dá)平衡點(diǎn)位置，說(shuō)明用數(shù)學(xué)模型和LQR算法還是可以很好的控制系統(tǒng)的。5結(jié)論實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:本文從二級(jí)倒立擺的實(shí)際運(yùn)用出發(fā)對(duì)系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)，工作原理進(jìn)行分析，希望用機(jī)理建模法在牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)之上運(yùn)用最優(yōu)控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行良好的控制，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)模型的建立運(yùn)算在利用LQR算法，使用MATLAB軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真和運(yùn)算，找到最優(yōu)的系統(tǒng)控制，使得系統(tǒng)在給一個(gè)階躍輸入后系統(tǒng)可以很快的穩(wěn)定下來(lái)，結(jié)果證明此次的實(shí)驗(yàn)是成功的完成了系統(tǒng)的控制性能好，穩(wěn)定性高，具有較強(qiáng)的魯棒性的要求?？梢?jiàn)運(yùn)用線性二次型最優(yōu)控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制有很好的效果，證明二級(jí)倒立擺系統(tǒng)可以對(duì)非線性的，抽象的問(wèn)題在此實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行研究對(duì)未來(lái)的實(shí)驗(yàn)打下良好基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)［1］ 王海英，袁立英，吳勃，控制系統(tǒng)的MATLAB仿真與設(shè)計(jì)［M］,北京：高等教育出版社，2009。［2］ 李俊，倒立擺系統(tǒng)的線性二次型狀態(tài)反饋控制［J］，自動(dòng)測(cè)量與控制，2007，26(3):56-58。［3］ 黃忠霖，周向明，控制系統(tǒng)MATLAB計(jì)算及仿真實(shí)訓(xùn)［M］，北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2006。［4］ 黃孝平,牛秦洲，線性二次型最優(yōu)控制在倒立擺系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)［J］，計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2006,14(12):1641-1642。⑸樓順天，于衛(wèi)，基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)［M］,西安:西安電子科技大學(xué)出版社,1998。［6］ 鄭大鐘，線性系統(tǒng)理論第二版［M］，北京:清