高等數(shù)學(xué)第六版(下冊(cè))第十一章課后習(xí)題答案

高等數(shù)學(xué)第六版(下冊(cè))第十一章課后習(xí)題答案習(xí)題1111寫(xiě)出下列級(jí)數(shù)的前五項(xiàng)(1)解.解.(2)解.解.(3)解.解.(4)解.解.2寫(xiě)出下列級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)(1)解一般項(xiàng)為.(2)解一般項(xiàng)為.(3)解一般項(xiàng)為.(4)解一般項(xiàng)為.3根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定下列級(jí)數(shù)的收斂性(1)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)發(fā)散(2)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂(3)解.因?yàn)椴淮嬖谒圆淮嬖谝蚨摷?jí)數(shù)發(fā)散4判定下列級(jí)數(shù)的收斂性(1);解這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)公比為于是所以此級(jí)數(shù)收斂(2);解此級(jí)數(shù)是發(fā)散的這是因?yàn)槿绱思?jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)也收斂矛盾(3);解因?yàn)榧?jí)數(shù)的一般項(xiàng)所以由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知此級(jí)數(shù)發(fā)散(4);解這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)公比所以此級(jí)數(shù)發(fā)散(5).解因?yàn)楹投际鞘諗康牡缺燃?jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)是收斂的習(xí)題1121用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性(1)解因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散故所給級(jí)數(shù)發(fā)散(2)解因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散故所給級(jí)數(shù)發(fā)散(3)解因?yàn)槎?jí)數(shù)收斂故所給級(jí)數(shù)收斂(4)解因?yàn)槎?jí)數(shù)收斂故所給級(jí)數(shù)收斂(5)解因?yàn)槎?dāng)a1時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)0a1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散所以級(jí)數(shù)當(dāng)a1時(shí)收斂當(dāng)0a1時(shí)發(fā)散2用比值審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性(1)解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為因?yàn)樗约?jí)數(shù)發(fā)散(2)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂(3)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂(3)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂3用根值審斂法判定下列級(jí)數(shù)的收斂性(1)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂(2)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂(3)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂(4)其中ana(n)anba均為正數(shù)解因?yàn)樗援?dāng)ba時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)ba時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散4判定下列級(jí)數(shù)的收斂性(1)解這里因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂(2)解這里因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂(3)解因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散故所給級(jí)數(shù)發(fā)散(4)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂(5)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)發(fā)散(6)解因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散故所給級(jí)數(shù)發(fā)散5判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果是收斂的是絕對(duì)收斂還是條件收斂？(1)解這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)其中因?yàn)轱@然unun+1并且所以此級(jí)數(shù)是收斂的又因?yàn)槭莗1的p級(jí)數(shù)是發(fā)散的所以原級(jí)數(shù)是條件收斂的(2)解因?yàn)樗约?jí)數(shù)是收斂的從而原級(jí)數(shù)收斂并且絕對(duì)收斂(3)解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)并且因?yàn)榧?jí)數(shù)是收斂的所以原級(jí)數(shù)也收斂并且絕對(duì)收斂(4)解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)其中因?yàn)閡nun+1并且所以此級(jí)數(shù)是收斂的又因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散故級(jí)數(shù)發(fā)散從而原級(jí)數(shù)是條件收斂的(5)解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為因?yàn)樗约?jí)數(shù)發(fā)散習(xí)題1131求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域(1)x2x23x3nxn解故收斂半徑為R1因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)冪級(jí)數(shù)成為是發(fā)散的當(dāng)x1時(shí)冪級(jí)數(shù)成為也是發(fā)散的所以收斂域?yàn)?11)(2)解故收斂半徑為R1因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)冪級(jí)數(shù)成為是收斂的當(dāng)x1時(shí)冪級(jí)數(shù)成為也是收斂的所以收斂域?yàn)閇11](3)解故收斂半徑為R收斂域?yàn)?)(4)解故收斂半徑為R3因?yàn)楫?dāng)x3時(shí)冪級(jí)數(shù)成為是發(fā)散的當(dāng)x3時(shí)冪級(jí)數(shù)成為也是收斂的所以收斂域?yàn)閇33)(5)解故收斂半徑為因?yàn)楫?dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)成為是收斂的當(dāng)x1時(shí)冪級(jí)數(shù)成為也是收斂的所以收斂域?yàn)?6)解這里級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為因?yàn)橛杀戎祵彅糠ó?dāng)x21即|x|1時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)x21即|x|1時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散故收斂半徑為R1因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)冪級(jí)數(shù)成為是收斂的當(dāng)x1時(shí)冪級(jí)數(shù)成為也是收斂的所以收斂域?yàn)閇11](7)解這里級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為因?yàn)橛杀戎祵彅糠ó?dāng)即時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)即時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散故收斂半徑為因?yàn)楫?dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)成為是發(fā)散的所以收斂域?yàn)?8)解故收斂半徑為R1即當(dāng)1x51時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)|x5|1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散因?yàn)楫?dāng)x51即x4時(shí)冪級(jí)數(shù)成為是收斂的當(dāng)x51即x6時(shí)冪級(jí)數(shù)成為是發(fā)散的所以收斂域?yàn)閇46)2利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)(1)解設(shè)和函數(shù)為S(x)即則(2)解設(shè)和函數(shù)為S(x)即則提示由得(3)解設(shè)和函數(shù)為S(x)即則提示由得習(xí)題1141求函數(shù)f(x)cosx的泰勒級(jí)數(shù)并驗(yàn)證它在整個(gè)數(shù)軸上收斂于這函數(shù)解(n12)(n12)從而得f(x)在x0處的泰勒公式因?yàn)?01)而級(jí)數(shù)總是收斂的故從而因此x()2將下列函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)并求展開(kāi)式成立的區(qū)間(1)解因?yàn)閤()所以x()故x()(2)ln(ax)(a0)解因?yàn)?1x1)所以(axa)(3)ax解因?yàn)閤()所以x()(4)sin2x解因?yàn)閤()所以x()(5)(1x)ln(1x)解因?yàn)?1x1)所以(1x1)(6)解因?yàn)?1x1)所以(1x1)3將下列函數(shù)展開(kāi)成(x1)的冪級(jí)數(shù)并求展開(kāi)式成立的區(qū)間(1)解因?yàn)樗约瓷闲g(shù)級(jí)數(shù)當(dāng)x0和x2時(shí)都是收斂的所以展開(kāi)式成立的區(qū)間是[02](2)lgx解即4將函數(shù)f(x)cosx展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)解5將函數(shù)展開(kāi)成(x3)的冪級(jí)數(shù)解即6將函數(shù)展開(kāi)成(x4)的冪級(jí)數(shù)解而即即因此習(xí)題1151利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求下列各數(shù)的近似值(1)ln3(誤差不超過(guò)00001)解又故因而取n6此時(shí)(2)(誤差不超過(guò)0001)解由于故因此取n4得(3)(誤差不超過(guò)000001)解由于故(4)cos2(誤差不超過(guò)00001)解由于故2利用被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求下列定積分的近似值(1)(誤差不超過(guò)00001)解因?yàn)樗?2)(誤差不超過(guò)00001)解因?yàn)樗?將函數(shù)excosx展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)解因?yàn)樗砸虼肆?xí)題1171下列周期函數(shù)f(x)的周期為2試將f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)如果f(x)在[)上的表達(dá)式為(1)f(x)3x21(x)解因?yàn)?n12)(n12)所以f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為(2)f(x)e2x(x)解因?yàn)?n12)(n12)所以f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為(x(2n1)n012)(3)(ab為常數(shù)且ab0)解因?yàn)?n12)(n12)所以f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為(x(2n1)n012)2將下列函數(shù)f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)(1)(x)解將f(x)拓廣為周期函數(shù)F(x)則F(x)在()中連續(xù)在x間斷且故F(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在()中收斂于f(x)而在x處F(x)的傅里葉級(jí)數(shù)不收斂于f(x)計(jì)算傅氏系數(shù)如下因?yàn)?x)是奇函數(shù)所以an0(n012)(n12)所以(x)(2)解將f(x)拓廣為周期函數(shù)F(x)則F(x)在()中連續(xù)在x間斷且故F(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在()中收斂于f(x)而在x處F(x)的傅里葉級(jí)數(shù)不收斂于f(x)計(jì)算傅氏系數(shù)如下(n12)(n12)所以(x)3設(shè)周期函數(shù)f(x)的周期為2證明f(x)的傅里葉系數(shù)為(n012)(n12)證明我們知道若f(x)是以l為周期的連續(xù)函數(shù)則的值與a無(wú)關(guān)且因?yàn)閒(x)cosnxsinnx均為以2為周期的函數(shù)所以f(x)cosnxf(x)sinnx均為以2為周期的函數(shù)從而(n12)同理(n12)4將函數(shù)(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)解因?yàn)闉榕己瘮?shù)故bn0(n12)而(n12)由于在[]上連續(xù)所以(x)5設(shè)f(x)的周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達(dá)式這將f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)解因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)故an0(n012)而(n12)又f(x)的間斷點(diǎn)為x(2n1)n012所以(x(2n1)n012)6將函數(shù)(0x)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)解作奇延拓得F(x)