高二物理競(jìng)賽一維雙原子鏈晶格振動(dòng)課件

1、一維雙原子鏈晶格振動(dòng)1、模型x0n4x02n2x0n2x00xn4un4un2un

u1

(na,t)0xmumun2un4aun1

u2

(na

d,t)un3n5um1un1un3un1x0n3x0n5x0m1x00xn1n3adm

nM基元 x0ni(

2nat

)

Aei(naqt

)u

u(na,t)

Aenaq：第

n個(gè)原子的振動(dòng)相位一維單原子鏈動(dòng)力學(xué)方程的一般解一維原子鏈動(dòng)力學(xué)方程在諧振近似、最近鄰近似下的一般解：n

1,2,3,NA：格波振幅

2

：格波圓頻率a

dx

na

x(n

1)a

x

dxun

u(na,t)

u(x,t)un1

u(n

1)a,t

u(x

dx,t)若格波波長(zhǎng)

比晶體原子間距離大得多，即﹤﹤a

，2u 1

2u

u(x,

t)

x

dx

2!

x2

(dx) 2

u 1

2uu(x,

t)

x

dx

2!

x2

(dx)un1

u(n

1)a,t

u(x

dx,t)諧振近似、最近鄰近似、連續(xù)介質(zhì)近似下的一維原子鏈原子的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為：dt

2d

2um

n

(un1

un1

2un)2(dx)m

2u(x,

t)t

2 x2

2u(x,t)

（標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)方程形式）2u(x,

t)

a2

2u(x,t)

2

2u(x,t)t

2 m x2 x2波動(dòng)方程的特解：i(

2x

t

)

Aei(qxt)u(x,

t)

Aeq

2A：格波振幅

2

：格波圓頻率：格波波矢i(naqt

)un

Aenmu

Aei(maqt)

u

ei(mn)aqn

1,2,3,m,N幅和頻率相同。但每個(gè)原子的振動(dòng)相位不同，相鄰兩個(gè)原子的相位差等于

qa

。當(dāng)兩個(gè)原子的振動(dòng)位相差為2

的整數(shù)倍時(shí)，兩個(gè)原子的振動(dòng)位移相等，晶體原子振動(dòng)以格波在晶體中傳播?！趎

個(gè)原子的振動(dòng)對(duì)一維單原子鏈動(dòng)力學(xué)方程一般解的討論（1）原子諧振在晶體中以格波形式傳播每個(gè)原子都圍繞其平衡位置諧振，振um

uneiaqm

n

1un m

naq

2l或

m

na

l

2

2

(1

cos

qa)

4

sin

2

qam m 22mm4

sin

qa

sin

qa

色散關(guān)系（頻率與波矢的關(guān)系）m4m2

截止頻率將動(dòng)力學(xué)方程的一般解ni(

2nat

)

Aei(naqt

)u

u(na,t)

Ae得到：dt

2d

2um

n

(un1

un1

2un)代入動(dòng)力學(xué)方程，eiaqunm2u

eiaqu

2u

n n n2aqamm

2l

q

a

sin

2

sina格波圓頻率

是

q

的周期函數(shù)，周期=

2

。由于一維晶格的倒格矢，在倒格子空間中，圓頻率周期性表示為：a

2G

l

l為整數(shù)

q

a a波矢

q

和波矢

q

Gl 表示同一格波，所以可以將

q

的取值

q

限制在第一布里淵區(qū)：a

a4

sinqam 2

q

2q格波圓頻率具有中心反演對(duì)稱性：(q)

(q)得到一維單原子鏈的色散關(guān)系曲線：p

2 qsin

qamq

2

格波群速度：dq

cosqam 2

d

a從色散關(guān)系得到一維單原子鏈晶格子振動(dòng)格波相速度：在長(zhǎng)波長(zhǎng)情況下，波長(zhǎng)比晶格常數(shù)大得多，q

，

4

qa

aq m 2 m4

sin

qa m 2pmmq

qa

1

am 2 q

2

2qsin

qa

2dqm

d

a

cosqa

am 2與波矢無(wú)關(guān)與波矢無(wú)關(guān)與波矢成線性關(guān)系

unuN

n

Aei(t

(

Naqndq))

Aei(t

naq)l

0,1,2,波矢的個(gè)數(shù)（振動(dòng)模式數(shù)）由周期性邊界條件：得到：eiNaq

1

Naq

2

,q

2l

,

l

0,1,2

Na由于

q

a a

2l

a Na aN

l

N2 2N個(gè)原子組成的一維單原子鏈，有

N個(gè)不同波矢的格波。即有

N個(gè)振動(dòng)模式。2

﹥1設(shè)：4、原胞中兩個(gè)原子的質(zhì)量分別為m、M;1、原胞中兩個(gè)原子距離d﹤a/2;2、相鄰間距為d

的兩個(gè)原子的恢復(fù)力系數(shù)為

;13、相鄰間距為(a-d)的兩個(gè)原子的恢復(fù)力系數(shù)為2;22212u2

(na,

t)

u1

((n

1)a,

t)

dt

2d u(na,

t)M1

u1

(na,

t)

u2

((n

1)a,

t) dtd u(na,

t)m

2

u2

(na,

t)

u1

(na,

t)

u2

(na,

t)

2u1(na,

t)動(dòng)力學(xué)方程在簡(jiǎn)諧近似、最近鄰近似下，n

1,2,3,m,N21u (na)

Beu (na)

Aei

(naqt

)i

(naqt

)3、動(dòng)力學(xué)方程的一般解：色散關(guān)系1 221