人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第一章測試題及答案解析

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第一章測試題及答案解析第一章空間向量與立體幾何測試題考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，2．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．3．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．4．如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱錐的體積不是定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形5．下列說法中正確的是（）A．若，則、的長度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，則C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形中，一定有6．如圖所示，在正方體中，為線段上的動點，給出下列四個結(jié)論：①DP長度為定值；②三棱錐的體積為定值；③任意點P，都有；④存在點P，使得平面其中正確的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④7．如圖所示，在三棱柱中，底面，，，點，分別是棱，的中點，則直線與所成的角是（）A． B． C． D．8．已知直角梯形ABCD滿足：AD∥BC，CD⊥DA，且△ABC為正三角形．將△ADC沿著直線AC翻折至△AD'C如圖，且，二面角、、的平面角大小分別為α，β，γ，直線，，與平面ABC所成角分別是θ1，θ2，θ3，則（

）A．B．C．D．二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．設(shè)是空間的一組基底，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，可以為任意向量B．對空間任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使C．若，，則D．可以作為構(gòu)成空間的一組基底10．如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．直線與平面所成的角等于C．點D到面的距離為D．三棱柱外接球半徑為11．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（

）A．＝2－－ B．C． D．＋＋＋12．如圖，正方體的棱長為2，動點P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（

）A．直線BC與平面所成的角等于 B．點到平面的距離為C．異面直線和所成的角為. D．線段長度的最小值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知向量為平面的法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為________________14．在正方體中，點是的中點，已知，，，用表示，則______.15．已知是空間兩個向量，若，則________．16．如圖，已知正方體的棱長為4，，分別是棱和的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且平面，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積最小時，三棱錐的外接球的表面積為____________.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．如圖，四棱錐的側(cè)面是正三角形，底面是直角梯形，，，為的中點.（1）求證：；（2）若，求線與平面所成角的正弦值.18．如圖，在四棱錐中，O是BD的中點，平面ABCD，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，若二面角的余弦值為，求的值.19．如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設(shè)，，.（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，，求的值.20．如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且，是的中點.(1)求證：平面；(2)求平面和平面的夾角的余弦值.21．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，與棱相交于點.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.22．如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.（I）若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：；（II）求二面角的正弦值；（III）若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長.答案解析考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可求得x、y的值.【詳解】，，則，由，可得，解之得故選：B2．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.3．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運算法則和空間向量基本定理相關(guān)知識求解即可.【詳解】由題意得，.故選：D4．如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱錐的體積不是定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】B【解析】【分析】判斷結(jié)論是否正確,需要每個選項都驗證;對于A選項,在該空間幾何體中建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求出異面直線所成的角即可;B選項用面面垂直的判定證明平面平面;C選項用換底法;得出體積為定值;D選項則直接觀測即可判斷.【詳解】對于A，以D為原點，DA為軸，DC為軸，DD1為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),設(shè),,,,直線D1P與AC所成的角為，故A錯誤;對于B，正方體ABCD-ABCD中，，平面，平面，∴平面平面,故B正確;對于C，,P到平面的距離BC=1，∴三棱錐的體積:為定值，故C錯誤;對于D，為線段上的動點（不含端點），連接并延長，若的延長線交于，如圖，此時截面為四邊形，若的延長線交于，設(shè)交點為，此時截面為，設(shè)，則，，故，故不為直角三角形，故D錯誤.故選：B.5．說法中正確的是（）A．若，則、的長度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，則C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形中，一定有【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的概念可判斷A選項的正誤；利用相反向量的概念可判斷B選項的正誤；利用空間向量的線性運算法則可判斷C選項的正誤；利用向量加法的平行四邊形法則可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A，向量的模相等指的是向量的長度相等，方向具有不確定性，因而不一定方向相同或相反，所以A錯誤；對于B，相反向量指的是大小相等，方向相反的兩個向量，因而相反向量滿足模長相等，所以B正確；對于C，空間向量減法結(jié)合律指的是，因而由運算可得空間向量減法不滿足結(jié)合律，所以C錯誤；對于D，滿足的一定是平行四邊形，一般四邊形是不滿足的，因而D錯誤.故選：B.【點睛】本題考查空間向量有關(guān)概念的理解，同時也考查了空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.6．如圖所示，在正方體中，為線段上的動點，給出下列四個結(jié)論：①DP長度為定值；②三棱錐的體積為定值；③任意點P，都有；④存在點P，使得平面其中正確的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【答案】C【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長為，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間中兩點間的距離公式可判斷①的正誤，利用錐體的體積公式可判斷②的正誤，利用空間向量法可判斷③④的正誤．【詳解】如下圖所示：設(shè)正方體的棱長為，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)點，其中.對于①，不是定值，①錯誤；對于②，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，則平面，，則點到平面的距離為定值，而的面積也為定值，所以，三棱錐的體積為定值，②正確；對于③，，，所以，，因此，對任意點，都有，③正確；對于④，，，，，這樣的不存在，所以，不存在點，使得平面，④錯誤．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于建系，設(shè)出點的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的運算求解判斷．7．如圖所示，在三棱柱中，底面，，，點，分別是棱，的中點，則直線與所成的角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出和的坐標(biāo)，進(jìn)而由夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．由于，不妨取，則，，，，∴，，∴，又，∴，即直線與所成的角為.故選：C．8．已知直角梯形ABCD滿足：AD∥BC，CD⊥DA，且△ABC為正三角形．將△ADC沿著直線AC翻折至△AD'C如圖，且，二面角、、的平面角大小分別為α，β，γ，直線，，與平面ABC所成角分別是θ1，θ2，θ3，則（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由題意得到平面圖以及翻折的立體示意圖，點E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，G為DE與AF的交點，可知點D在平面ABC上的投影在DE上，由，判斷D投影點在的位置，根據(jù)投影點到AB，BC，CA的距離判斷二面角的大小關(guān)系，再設(shè)的高為h，由，即可得到線面角的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知，不妨設(shè)，則.如圖所示，取點E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，連結(jié)AF，DE，設(shè)G為DE與AF的交點，DE與AC的交于點H.所以，則，則旋轉(zhuǎn)過程中，點在平面ABC上的投影在DE上.當(dāng)點的投影為點G時，則；當(dāng)點的投影在DG上時，則；當(dāng)點的投影在GE上時，則；當(dāng)點投影為點E時，則.故要使，則點的投影在點G，E兩點之間，此時投影點到AB，BC，CD的距離為所以二面角最大，其次為二面角，而二面角最小，故；設(shè)三棱錐的高為h.則.因為，所以.因為，所以故選：A二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．設(shè)是空間的一組基底，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，可以為任意向量B．對空間任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使C．若，，則D．可以作為構(gòu)成空間的一組基底【答案】BD【解析】根據(jù)可作為基底的一組向量的性質(zhì)，結(jié)合向量垂直、共線的判定，判斷各選項的正誤即可.【詳解】A選項：，，為不共線的非零向量；B選項：由向量的基本定理知，空間任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使；C選項：，，則不一定垂直；D選項：中三個向量間無法找到實數(shù)使得它們之間有的等式形式成立，即可以構(gòu)成基底.故選：BD【點睛】本題考查了向量的基本定理，理解作為基底向量的非零、不共線性質(zhì)，應(yīng)用向量垂直、共線判定正誤.10．如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．直線與平面所成的角等于C．點D到面的距離為D．三棱柱外接球半徑為【答案】BCD【解析】【分析】對于A：根據(jù)異面直線的求法易得：異面直線和所成的角為∠；對于B：可證平面，則直線與平面所成的角為；對于C：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換，求點D到面的距離；對于D：三棱柱的外接球即為正方體的外接球，直接求正方體外接球的半徑即可．【詳解】連接、∵∥且，則四邊形為平行四邊形，∴異面直線和所成的角為∠∵，則△為正三角形，即∠A不正確；連接在正方形中，∵平面，平面∴，則平面∴直線與平面所成的角為B正確；根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：即，則C正確；三棱柱的外接球即為正方體的外接球則外接球的半徑即為正方體體對角線的一半，即D正確；故選：BCD．11．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（

）A．＝2－－ B．C． D．＋＋＋【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)四點共面的條件對選項逐一分析，由此確定正確選項．【詳解】與，，一定共面的充要條件是，對于A選項，由于，所以不能得出共面，對于B選項，由于，所以不能得出共面，對于C選項，由于，則為共面向量，所以共面，對于D選項，由得，而，所以不能得出共面．故選：ABD12．如圖，正方體的棱長為2，動點P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（

）A．直線BC與平面所成的角等于 B．點到平面的距離為C．異面直線和所成的角為. D．線段長度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線和平面所成的夾角，點到平面的距離，異面直線所成的角以及異面直線距離的計算方法進(jìn)行逐項判斷.【詳解】解：由題意得：正方體的棱長為2對于選項A：連接，設(shè)交于O點平面即為直線BC與平面所成的角，且，故A正確；對于選項B：連接，設(shè)交于O點平面點到平面的距離為,故B正確；對于選項C：連接、，由正方體性質(zhì)可知∥故異面直線和所成的角即為和所成的角又為等邊三角形故C錯誤；對于選項D：過作，過作，連接PQ為異面直線之間的距離，這時距離最??；設(shè)，為等腰直角三角形，則，也為等腰直角三角形，則為直角三角形故當(dāng)時，取最小值，故，故D正確；故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知向量為平面的法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為________________【答案】【解析】【分析】把點到平面距離問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題求解．【詳解】解：，0，，點到平面的距離為．故答案為：.14．在正方體中，點是的中點，已知，，，用表示，則______.【答案】【解析】【分析】先求出，再求出，即得解.【詳解】又是的中點,，，，.故答案為：.【點睛】本題主要考查平面向量的運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15．已知是空間兩個向量，若，則________．【答案】【解析】【分析】將將兩邊平方，求出，再根據(jù)平面向量的夾角公式計算可得結(jié)果.【詳解】將化為，得，即，解得，所以.故答案為：16．如圖，已知正方體的棱長為4，，分別是棱和的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且平面，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積最小時，三棱錐的外接球的表面積為____________.【答案】【解析】【分析】由已知，證明，取的中點，連接，證明，然后證明面平面，找到動點在側(cè)面的軌跡，根據(jù)的外接圓面積最小確定點的位置，然后先計算外接圓半徑，然后使用勾股定理再計算三棱錐的外接球半徑，從而求得其表面積即可.【詳解】由已知，如圖所示，連接，因為，分別是棱和的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以,平面，平面，所以平面，取的中點，連接，取的中點，連接，，因為，分別是棱和的中點，所以，平面，平面，所以平面，而平面，，所以平面平面，而是側(cè)面內(nèi)的動點，且平面，所以是棱內(nèi)的動點，因為平面，平面，所以，在中，，所以外接圓半徑為斜邊的一半，要使外接圓面積最小，即外接圓半徑最小，即取得最小值，又，所以為中點時取得最小值，由，，，為中點，所以，設(shè)的外接圓半徑為，，三棱錐的外接球半徑為，所以，所以三棱錐的外接球表面積為.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．如圖，四棱錐的側(cè)面是正三角形，底面是直角梯形，，，為的中點.（1）求證：；（2）若，求線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取中點，連，，可證明，，進(jìn)而可得平面，即可求證；（2）以為原點，所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量和的坐標(biāo)，利用即可求解.【詳解】（1）證明：取中點，連，，因為是正三角形，所以.又是中點，所以.因為，即.所以，因為，?平而，所以平面，平面，所以.（2），又，所以，則.又，所以平面，所以平面平面，，平面，平面平面，所以平面.如圖以為原點，所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以即，令，可得，，可取，又，所以.即直線與平面所成角的正弦值為.18．如圖，在四棱錐中，O是BD的中點，平面ABCD，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，若二面角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，由平面PDB，得到，再由，得到，然后利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；（2）以N為坐標(biāo)原點，NA，NB所在直線分別為x，y軸，過點N且與直線OP平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BDM的一個法向量和平面PDC的一個法向量為，然后由求解.【詳解】（1）如圖所示：設(shè)，連接.因為，O為BD的中點，所以，即O為的中心.又因為，所以.由平面ABCD，可得.又，所以平面PDB，所以.因為，，所以，，，，所以，則.又，所以平面APC.因為平面ADP，所以平面平面APC.（2）以N為坐標(biāo)原點，NA，NB所在直線分別為x，y軸，過點N且與直線OP平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）得，，，，，.所以，，..設(shè)平面BDM的一個法向量為，則即得,令，得.所以平面BDM的一個法向量為.設(shè)平面DPM的一個法向量為，則即令，得,所以平面PDC的一個法向量為.所以，整理得，解得或.當(dāng)時，二面角的平面角為鈍角，不符合題意.故.【點睛】方法點睛：1、利用向量求異面直線所成的角的方法：設(shè)異面直線AC，BD的夾角為β，則cosβ＝.2、利用向量求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．19．如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設(shè)，，.（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】(1）根據(jù)向量的運算性質(zhì)求出即可；(2）根據(jù)向量的運算性質(zhì)代入計算即可.【詳解】（1），故∵點E為AD的中點，故（2）由題意得故故20．如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且，是的中點.(1)求證：平面；(2)求平面和平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取的中點F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向為軸，求出對應(yīng)點坐標(biāo)，結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.(1)證明：因為為正三角形，為的中點，則，又，，，取的中點，連接，，所以，又，故，，所以四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，故平面；(2)以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，同理求出平面的法向量為，所以，故平面和平面夾角的余弦值為.21．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，與棱相交于點.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出二面角的正弦值.(1)連接交于點，連接在直三棱柱中，，是的中點是中點又是的中點，.平面，平面平面(2)在直三棱柱中，，，以為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為且，，取，則同理可得出平面的法向量設(shè)二面角的平面角為，則22．如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，