人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊復(fù)習(xí)測試題含答案（一）

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊復(fù)習(xí)測試題含答案（一）本卷滿分150分，考試時間120分鐘。單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．三棱柱中，為棱的中點，若，則（

）A．B．C．D．2．已知點、、，過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A． B．C． D．以上都不對3．點A，B分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的x，y正半軸上，點C（0，0，2），平面ABC的法向量為，設(shè)二面角C—AB—O的大小為θ，則cosθ的值為（

）A． B． C． D．4．給出下列命題：①若空間向量滿足則②空間任意兩個單位向量必相等③若空間向量滿足則④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有⑤向量（1，1，0）的模為；其中假命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，在正方體中，E為的中點，則直線與平面所成角的正值為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標(biāo)為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關(guān)于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（

）A．3B．2C． D．7．已知圓與圓相交于A?B兩點，則圓上的動點P到直線AB距離的最大值為（

）． B． C． D．8．已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則當(dāng)最小時，（

）A．4 B． C．8 D．多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知兩條直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時， B．若，則或C．當(dāng)時，與相交于點 D．直線過定點10．已知拋物線的焦點為，是拋物線上一個動點，點，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．過點A與拋物線有一個公共點的直線有3條C．的最小值為D．點到直線的最短距離為11．已知線段BC的長度為4，線段AB的長度為，點D,G滿足，，且點在直線AB上，若以BC所在直線為軸，BC的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則（

）A．當(dāng)時，點的軌跡為圓B．當(dāng)時，點的軌跡為橢圓，且橢圓的離心率取值范圍為C．當(dāng)時，點的軌跡為雙曲線，且該雙曲線的漸近線方程為D．當(dāng)時，面積的最大值為312．已知圓，直線，則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時，圓上恰有兩個點到直線的距離等于B．對于任意實數(shù)，直線恒過定點C．若直線交圓于，兩點，則弦長的最小值為D．是圓上的動點，點，若動點滿足，則點的軌跡方程為三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知雙曲線：的右焦點為F，P為右支上一點，與x軸切于點F與y軸交于點A，B，，則的離心率為_____________.14．已知點P是x軸上的任意一點，，，則的最小值為_________.15．已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，則實數(shù)的值為____．16．已知雙曲線，（，）的左右焦點分別為，過的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點，且有軸，則直線的斜率是___________，雙曲線的漸近線方程為___________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值．18．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．在中，已知，，若其歐拉線的方程為．求：(1)外心的坐標(biāo)；(2)重心的坐標(biāo)；(3)垂心的坐標(biāo)．19．已知雙曲線，，分別為其左，右焦點，雙曲線C上存在點P，滿足，且的面積為．(1)求雙曲線C的離心率；(2)設(shè)A為雙曲線C的左頂點，Q為第一象限內(nèi)雙曲線C上的任意一點，問是否存在正實數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．20．在直角梯形中，，A為線段的中點，四邊形為正方形．將四邊形沿折疊，使得，得到如圖（2）所示的幾何體．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)當(dāng)F為線段的中點時，求二面角的余弦值．21．已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知點，直線l與曲線C交于A，B兩點，且，直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．22．設(shè)橢圓，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，并且經(jīng)過點，過的焦點F作直線l，與交于A，B兩點，(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)M是準(zhǔn)線上一點，直線MF的斜率為，MA、MB的斜率依次為、，請?zhí)骄浚号c的關(guān)系；(3)若l與交于C，D兩點，為的左焦點，求的最小值．答案解析版本卷滿分150分，考試時間120分鐘。單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．三棱柱中，為棱的中點，若，則（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故選：B2．已知點、、，過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A． B．C． D．以上都不對【答案】C【解析】如圖所示：∵過點C的直線l與線段AB有公共點，∴直線l的斜率k≥kBC或，∴直線l的斜率或，∴直線l斜率k的取值范圍：，故選：C．3．點A，B分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的x，y正半軸上，點C（0，0，2），平面ABC的法向量為，設(shè)二面角C—AB—O的大小為θ，則cosθ的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)平面ABO的法向量為，設(shè)，則，于是有：，因此，故選：D4．給出下列命題：①若空間向量滿足則②空間任意兩個單位向量必相等③若空間向量滿足則④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有⑤向量（1，1，0）的模為；其中假命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在①中，若空間向量滿足，向量與方向不一定相同，故①是假命題；在②中，空間任意兩個單位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命題；在③中，若空間向量滿足，則向量與不一定相等，故③是假命題；在④中，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定義得必有，故④是真命題；在⑤中，由模的定義得向量（1，1，0）的模為，故⑤是真命題．故選：C．5．如圖，在正方體中，E為的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以點D為坐標(biāo)原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，，設(shè)面的法向量為，有，取，則，所以，，，則直線與平面所成角的正弦值為．故選：D.6．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標(biāo)為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關(guān)于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C7．已知圓與圓相交于A?B兩點，則圓上的動點P到直線AB距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動點P到直線AB距離的最大值為.故選：A8．已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則當(dāng)最小時，（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【解析】：直線過定點，最小時，，圓心到直線的距離，，因為，所以此時，所以直線的傾斜角為，過點作交于點，則，在中，所以.故選：D多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知兩條直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時， B．若，則或C．當(dāng)時，與相交于點 D．直線過定點【答案】ACD【解析】：因為，對于A：當(dāng)時，，則、，所以，所以，故A正確；對于B：若，則，解得或，當(dāng)時，滿足題意，當(dāng)時，與重合，故舍去，所以，故B錯誤；對于C：當(dāng)時，，則，解得，即兩直線的交點為，故C正確；對于D：，即，令，即，即直線過定點，故D正確；故選：ACD10．已知拋物線的焦點為，是拋物線上一個動點，點，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．過點A與拋物線有一個公共點的直線有3條C．的最小值為D．點到直線的最短距離為【答案】BC【解析】A選項，過點M作MA垂直拋物線準(zhǔn)線于點B，根據(jù)拋物線定義可知：，即，解得：，代入拋物線中得：，故A錯誤；B選項，過點A平行于x軸的直線與拋物線有一個公共點，過點A的y軸，與拋物線相切，有一個公共點，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)過點A的直線方程為，與拋物線聯(lián)立得：，由得：，即與拋物線相切，只有一個交點，綜上：共有3條，B正確；C選項，由拋物線方程可知：，連接AF，與拋物線交于一點，由兩點之間，線段最短，可知，此點即為符合要求的M點，此時最小，最小值為，C正確；D選項，設(shè)與平行且與拋物線相切的直線為，此時直線與拋物線的切點即為M，則與的距離即為點到直線的最短距離，聯(lián)立與拋物線方程得：，由解得：，故，D選項錯誤.故選：BC11．已知線段BC的長度為4，線段AB的長度為，點D,G滿足，，且點在直線AB上，若以BC所在直線為軸，BC的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則（

）A．當(dāng)時，點的軌跡為圓B．當(dāng)時，點的軌跡為橢圓，且橢圓的離心率取值范圍為C．當(dāng)時，點的軌跡為雙曲線，且該雙曲線的漸近線方程為D．當(dāng)時，面積的最大值為3【答案】BCD【解析】根據(jù)題意可知：點A的軌跡為以B為圓心，半徑為的圓B，點D為線段AB的中點，點為線段的中垂線與直線AB的交點，則當(dāng)時，線段為圓B的弦，則的中垂線過圓心B，點即點B，A錯誤；當(dāng)時，如圖1，點在線段AB上，連接則∴點的軌跡為以B，C為焦點，長軸長為的橢圓，即則橢圓的離心率，B正確；當(dāng)為橢圓短軸頂點時，面積的最大若時，則，最大面積為，D正確；當(dāng)時，過點作圓的切線，切點為若點在劣弧（不包括端點）上，如圖2，點在BA的延長線上，連接則∴點的軌跡為以B，C為焦點，長軸長為的雙曲線的左半支若點在優(yōu)?。ú话ǘ它c）上，如圖3，點在AB的延長線上，連接則∴點的軌跡為以B，C為焦點，長軸長為的雙曲線的右半支則點的軌跡為雙曲線∴，漸近線方程為，C正確；故選：BCD．12．已知圓，直線，則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時，圓上恰有兩個點到直線的距離等于B．對于任意實數(shù)，直線恒過定點C．若直線交圓于，兩點，則弦長的最小值為D．是圓上的動點，點，若動點滿足，則點的軌跡方程為【答案】BCD【解析】選項A中，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)時，直線，圓心到直線的距離，，圓上有4個點到直線的距離等于2，故錯誤；選項B中，化直線為，聯(lián)立，解得，直線過定點，故正確；選項C中，定點與圓心的距離，則，故C正確；選項D中，設(shè)，，由可得：，所以，又因為點在圓上，所以可得：，所以，故正確.故選：.三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知雙曲線：的右焦點為F，P為右支上一點，與x軸切于點F與y軸交于點A，B，，則的離心率為_____________.【答案】【解析】不妨設(shè)點P在x軸的上方，因為軸，將代入，得，因為，，則有，且為等邊三角形，所以，即，所以，又，所以.故答案為：.14．已知點P是x軸上的任意一點，，，則的最小值為_________.【答案】##【解析】如圖，過B點作傾斜角為的一條直線，過點P作于，則，即，所以，A到直線的距離，因此的最小值為.故答案為：15．已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，則實數(shù)的值為____．【答案】或##或【解析】，，，解得或．故答案為：或．16．已知雙曲線，（，）的左右焦點分別為，過的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點，且有軸，則直線的斜率是___________，雙曲線的漸近線方程為___________.【答案】

【解析】如圖所示，不妨設(shè)直線與圓相切于點，，由于代入進入，可得，漸近線方程為故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】（1）如圖，取中點，連，，∵為中位線，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．如上圖，在四邊形中，過作交于，在中，得，，，則，得，∵，∴，又由已知條件，，平面，故平面，又平面，∴平面平面．∵為等腰三角形，∴，又因為平面，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：可得，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，根據(jù)，得，解得，，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值．18．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．在中，已知，，若其歐拉線的方程為．求：(1)外心的坐標(biāo)；(2)重心的坐標(biāo)；(3)垂心的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)中點為且，垂直平分線方程為：，即，由得：，即外心.(2)設(shè)，則重心，將代入歐拉線得：，即…①；由得：…②；由①②得：或（與重合，不合題意），，重心.(3)由（2）知：；由（1）知：，邊的高所在直線方程為：，即；由得：，垂心.19．已知雙曲線，，分別為其左，右焦點，雙曲線C上存在點P，滿足，且的面積為．(1)求雙曲線C的離心率；(2)設(shè)A為雙曲線C的左頂點，Q為第一象限內(nèi)雙曲線C上的任意一點，問是否存在正實數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，設(shè)，則，在中，由余弦定理，得，即，所以，因為的面積為，所以.所以，所以.(2)由（1）知，.當(dāng)時，，，所以，此時，即；下面求滿足條件的軌跡，設(shè)為軌跡上任意一點，則，因為，因為，所以，化簡，得，即，與雙曲線完全一致，所以存在，使成立.20．在直角梯形中，，A為線段的中點，四邊形為正方形．將四邊形沿折疊，使得，得到如圖（2）所示的幾何體．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)當(dāng)F為線段的中點時，求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】(1)：依題意可得、，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令