帶有等式約束的最優(yōu)化問題及其經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用

帶有等式約束的最優(yōu)化問題及其經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用第一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.1

帶有等式約束的函數(shù)求

極值的必要和充分條件一、二元函數(shù)帶等數(shù)約束的極值問題二、多元函數(shù)帶多個(gè)等數(shù)約束的極值問題第二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)一、擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)的定義MNMNyyxxOOvuvu第三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)1.一元擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的定義對于一元函數(shù)y=f(x)的定義域（凸集）中的任意點(diǎn)u

和v

，假設(shè)f(v)≥

f(u)。如果對于任意的t

∈[0,1]，有：

f[(1–t)u+tv]≥

f(u)，則稱f

為擬凹的f[(1–t)u+tv]≤

f(v)，則稱f

為擬凸的在u

≠

v

且t

∈(0,1)的情況下，如果上兩式是嚴(yán)格>或<，則稱f

為嚴(yán)格擬凹的或嚴(yán)格擬凸的。第四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)2.多元擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的定義設(shè)F

是定義在凸集U

Rn

上的n

元函數(shù)，如果對于任意的x,y

∈U

和任意的t

∈[0,1]，有：

F[(1–t)x

+ty]≥min{F(x),F(y)}，F(xiàn)擬凹F[(1–t)x

+ty]≤max{F(x),F(y)}，F(xiàn)擬凸在x

≠

y

且t

∈(0,1)的情況下，如果上兩式是嚴(yán)格>或<，則稱F

為嚴(yán)格擬凹的或嚴(yán)格擬凸的。第五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)二、可微函數(shù)擬凹和擬凸性判斷1.一階微分判別準(zhǔn)則對于一元可微函數(shù)f(x)，任取其定義域內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)u

和v

，假設(shè)f(v)≥

f(u)，則：f(x)擬凹的充要條件為f'(u)(v–u)≥0f(x)擬凸的充要條件為f'(v)(v–u)≥0當(dāng)≥

變?yōu)?gt;時(shí)，即嚴(yán)格擬凹或擬凸。第六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)對于多元可微函數(shù)F(x)，其中x=(x1,x2,…,xn)，任取函數(shù)F(x)定義域內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)u=(u1,u2,…,un)和v=(v1,v2,…,vn)，假設(shè)F(v)≥

F(u)。F(x)擬凹的充要條件為uF(x)擬凸的充要條件為v

其中：，。uxx=uvxx=v第七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)2.二階微分判別準(zhǔn)則設(shè)F

是定義在開凸集U

Rn

上的二階可微函數(shù)，令：第八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)

F

是擬凹的必要條件為(-1)k∣Ck(x)∣≥

0

擬凹的充分條件為(-1)k∣Ck(x)∣>

0

F

是擬凸的必要條件為∣Ck(x)∣≤

0擬凸的充分條件為∣Ck(x)∣<

0若U

Rn+

，對于嚴(yán)格擬凹和嚴(yán)格擬凸成立。第九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)三、擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的性質(zhì)1.若f(x)為擬凹函數(shù)，則–f(x)為擬凸函數(shù)；若f(x)為擬凸函數(shù)，則–f(x)為擬凹函數(shù)。2.任意的凹（凸）函數(shù)均為擬凹（擬凸）函數(shù)，但反之不一定成立。3.若f(x)為線性函數(shù)，則它既是擬凹又是擬凸的。第十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)4.對于任意常數(shù)k

，如果集合S={x∣f(x)≥

k}為凸集，則f(x)是擬凹函數(shù)；若S={x∣f(x)≤

k}為凸集，則f(x)是擬凸函數(shù)。證明：f(x,y)=xy（x>0,y>0）為擬凹函數(shù)。第十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)四、擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的最優(yōu)化maxz=f(x1,x2,…,xn)

s.t.gi(x1,x2,…,xn)=ci，i=1,2,…,m假設(shè)(x1*,x2*,…,xn*)滿足等式約束極值的一階充分條件，若z

是嚴(yán)格擬凹函數(shù)且約束集為凸集，則z*=f(x1*,x2*,…,xn*)是目標(biāo)函數(shù)的整體最大值；若z

是嚴(yán)格擬凸函數(shù)且約束集為凸集，則z*=f(x1*,x2*,…,xn*)是目標(biāo)函數(shù)的整體最小值。第十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析一、均衡解的比較靜態(tài)分析maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=0其中：x=(x1,x2,…,xn)——內(nèi)生變量

a=(a1,a2,…,am)——外生變量等式約束最優(yōu)化問題的比較靜態(tài)分析就是分析均衡解x*的各個(gè)分量x1*,x2*,…,xn*關(guān)于ai

的偏導(dǎo)數(shù)。考慮等式約束的最優(yōu)化問題：第十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析

如何分析呢？

——假設(shè)二階充分條件得到滿足首先，建立Lagrange

函數(shù)：L=f(x,a)+λg(x,a)然后，求其一階必要條件：……第十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析假定隱函數(shù)定理成立，求解上述方程組可得均衡解：x1*=x1*(a)，……，xn*=xn*(a)，λ*=λ*(a)將這些均衡解代回上述一階必要條件方程組，有：……第十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析對上面這個(gè)方程組中的每一個(gè)式子對ai

求偏導(dǎo)數(shù)。我們以第一個(gè)式子為例，利用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則有：第十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析上式可整理為：簡寫為：第十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析同樣道理，方程組中其他式子對ai

求偏導(dǎo)數(shù)，有：……第十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析寫成矩陣的形式，有：第十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析假定二階充分條件得到滿足，那么，系數(shù)矩陣的行列式不等于0

（記為或）。于是，根據(jù)克萊姆法則，可解得：第二十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析二、最優(yōu)值函數(shù)的比較靜態(tài)分析考慮等式約束的最優(yōu)化問題maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=0其中：x=(x1,x2,…,xn)——內(nèi)生變量

a=(a1,a2,…,am)——外生變量第二十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析→關(guān)于最優(yōu)值函數(shù)的比較靜態(tài)分析問題，可以采用傳統(tǒng)的方法來解決，即：

首先，構(gòu)造Lagrange

函數(shù)，利用一階必要條件和二階充分條件，求解出均衡解x*然后，將x*代入目標(biāo)函數(shù)，得最優(yōu)值函數(shù)f[x*(a);a)]最后，計(jì)算?f[x*(a);a)]/?ai

?！部梢杂冒j(luò)定理。第二十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析

前述帶有等式約束的最優(yōu)化問題的包絡(luò)定理：最優(yōu)化問題的Lagrange

函數(shù)為L=f(x,a)+λg(x,a)

則有：——包絡(luò)定理。x*,λ*axa第二十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析

包絡(luò)定理的證明：最優(yōu)化問題的一階必要條件為：可求解出：xi*=xi*(a)，λ*=λ*(a)。將xi*和λ*代入到目標(biāo)函數(shù)，可得最優(yōu)值函數(shù)：V(a)=f[x*(a);a)]第二十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析對上述最優(yōu)值函數(shù)兩端對ai

求偏導(dǎo)，有：a又由于（前證），兩邊乘以λ第二十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析兩式相加，可得：a由前面一階必要條件可知：0，所以：axa得證。第二十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日舉兩個(gè)例子：包絡(luò)定理1.效用函數(shù)maxU=x10.25x20.25s.t.

P1x1+P2x2=10試分析兩商品價(jià)格P1和P2變化對總效用的影響。2.記w1*=[x1*(a),y1*(a),z1*(a)]和w2*=[x2*(a),y2*(a),z2*(a)]為極大值（或極小值）問題：max(ormin)f(x,y,z)=x+y+a3zs.t.

x2+a2y2+z2=a1第二十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日舉兩個(gè)例子（續(xù)）：包絡(luò)定理（接第2題）的均衡解。對應(yīng)的Lagrange

乘子分別為λ1*(a)和λ2*(a)，對應(yīng)的最優(yōu)值分別為f1*(a)和f2*(a)。⑴求f1*(a)和f2*(a)在a=(3,1,1)處關(guān)于a1、a2、a3

的偏導(dǎo)數(shù)；⑵當(dāng)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閒(x,y,z)=x+y+1.03z、等式約束變?yōu)閤2+1.02y2+z2=3.01時(shí)，極大化和極小化問題目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的改變量分別為多少？新的極大化和極小化問題目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值分別為？第二十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析三、Lagrange

乘子的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義在等式約束的最優(yōu)化問題中：maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=b其中：x=(x1,x2,…,xn)，a=(a1,a2,…,am)和b外生。

Lagrange

函數(shù)為：L=f(x,a)+λ[b–g(x,a)]。根據(jù)包絡(luò)定理，有：axax*,λ*第二十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析即：λ*——表示約束條件右端變動(dòng)引起目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的變化情況。假設(shè)b增加一個(gè)單位，約束變松，從而目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值會(huì)增加，增加的部分（λ*）就是單位b

的價(jià)值——在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，稱為資源的邊際價(jià)值；或稱為資源的影子價(jià)格。它反映了系統(tǒng)內(nèi)部資源的緊缺程度（與外部市場因素?zé)o關(guān)），λ*

越大，說明這種資源越是相對緊缺，反之則說明這種資源相對不緊缺。（特例說明）第三十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題一、效用極大化問題的靜態(tài)分析令消費(fèi)者對兩種商品x

和y

的消費(fèi)量均大于0，且是在競爭市場上以Px

和Py

的恒定價(jià)格購得，消費(fèi)者貨幣收入為M。在消費(fèi)者偏好具有非飽和性的假設(shè)下，消費(fèi)者會(huì)將所有的收入用來購買x

和y。在既定收入水平下的效用極大化模型為：maxU=U(x,y)s.t.

Px·

x+Py·

y=M第三十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題構(gòu)建上述效用極大化問題的Lagrange

函數(shù)為：

L(x,y,λ)=U(x,y)+λ(M–Px·

x–Py·

y)一階必要條件為：

Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·

x–Py·

y=0第三十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題由前兩個(gè)方程可推出：所以，一階必要條件實(shí)際上是要求在預(yù)算約束下滿足上式。為使效用最大化，消費(fèi)者必須分配其預(yù)算，以使每一物品的邊際效用與價(jià)格之比相等。按照無差異曲線的概念，可對這一階必要條件進(jìn)行幾何解釋。在一條無差異曲線上必然有：

dU=U’x

dx+U’y

dy=0第三十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題整理可得，這是無差異曲線切線的斜率；另外，預(yù)算線是一條直線，其斜率為；由于，因此，若使效用最大化，消費(fèi)者必須對其預(yù)算進(jìn)行分配，使預(yù)算線的斜率等于無差異曲線切線的斜率，即預(yù)算線與無差異曲線相切，滿足一階必要條件。第三十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題xyOE斜率=斜率=第三十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題對效用極大化問題的充分條件的幾何解釋：由一階必要條件，可求得均衡解(x*,y*)

[駐點(diǎn)]；進(jìn)一步，二階充分條件判斷的海賽加邊行列式為：若>0，則駐點(diǎn)(x*,y*)

必然是極大值點(diǎn)。第三十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題對于無差異曲線來講，在滿足一階必要條件的基礎(chǔ)上，若使其達(dá)到極大值，必須滿足二階充分條件大于0，即：d2y/dx2>0。由前面的分析可知，，所以：第三十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題由于無差異曲線本身就是y

關(guān)于x

的函數(shù)，因此：，其中，dy/dx

是無差異曲線切線的斜率。根據(jù)前面的分析可知，若使效用極大化，無差異曲線切線的斜率等于預(yù)算線斜率，即：dy/dx=–Px/Py

。于是：，第三十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題將其代入到前述二階導(dǎo)數(shù)式，有：又由于，所以，于是：第三十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題顯然，當(dāng)>0時(shí)，d2y/dx2>0，可知，無差異曲線在切點(diǎn)處嚴(yán)格凸。值得注意的是，無差異曲線嚴(yán)格凸性的實(shí)質(zhì)并非效用極大化的必要條件。具體而言，即使無差異曲線為非嚴(yán)格凸的（右圖），在最大值處盡管有d2y/dx2=0，但效用仍可能最大化。E1E2E3第四十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題在效用函數(shù)一階必要條件和二階充分條件的基礎(chǔ)上，我們就可推導(dǎo)得到兩種商品的需求函數(shù)。由前面的分析可知，效用最大化的一階條件：

Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·

x–Py·

y=0事實(shí)上，一階必要條件方程組的一階偏導(dǎo)數(shù)所構(gòu)成的雅可比行列式即為二階充分條件的海賽加邊行列式。第四十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題根據(jù)隱函數(shù)定理，如果雅可比行列式≠0，則方程組可求解。由前面的分析可知，二階充分條件確保了海賽加邊行列式≠0，因此，可利用克萊姆法則求解一階必要條件的方程組，其解為：

x*=x*(Px,Py,M)y*=y*(Px,Py,M)

λ*=λ*(Px,Py,M)所求的均衡解是關(guān)于商品價(jià)格和貨幣收入的函數(shù)。第四十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題稱x*和y*為馬歇爾需求函數(shù)，記為：xM=xM(Px,Py,M)yM=yM(Px,Py,M)這兩個(gè)式子表明了，消費(fèi)者對于任一給定的商品價(jià)格和貨幣收入所作出的消費(fèi)決策。第四十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題如果把馬歇爾需求函數(shù)代入到效用函數(shù)U(x,y)或相應(yīng)的Lagrange

函數(shù)，則可得到效用最大值：U*(Px,Py,M)=U*[xM(Px,Py,M),yM(Px,Py,M)]由于效用最大值是商品價(jià)格和收入的函數(shù)，所以也將效用最大值稱為效用最大值函數(shù)或間接效用函數(shù)，記為：V(Px,Py,M)=U*(Px,Py,M)第四十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題二、效用極大化問題的比較靜態(tài)分析由前面的效用最大化問題的模型可知，內(nèi)生變量為x

和y

，外生變量為Px、Py和M

。引入馬歇爾需求函數(shù)，則效用最大化一階條件：

U’x(xM,yM)–λMPx=0U’y(xM,yM)–λMPy=0M–Px·

xM–Py·

yM=0一般的傳統(tǒng)方法如何進(jìn)行比較靜態(tài)分析？第四十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題

1.商品價(jià)格Px和Py

不變，貨幣收入M

變化對一階必要條件中的等式兩邊對M

求偏導(dǎo)：第四十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題寫成矩陣形式為：根據(jù)克萊姆法則，可解得：第四十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題盡管根據(jù)二階充分條件可知，海賽加邊行列式大于0，但分子的符號(hào)仍無法判定。然而，根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論可以推斷，完全可能出現(xiàn)?xM/?M<0或?yM/?M<0的情況，即這時(shí)的商品為劣等品（或低檔品）。（何為劣等品？）不過，一般來講，?xM/?M<0和?yM/?M<0同時(shí)出現(xiàn)的情況不會(huì)存在，因?yàn)檫@意味著隨著消費(fèi)者收入的增加反而同時(shí)減少兩種商品的購買，這與經(jīng)濟(jì)學(xué)中“多總比少好”的假設(shè)矛盾。第四十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題

2.商品價(jià)格Py

和M

不變，商品價(jià)格Px變化對一階必要條件中的等式兩邊對Px

求偏導(dǎo)：第四十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題寫成矩陣形式為：根據(jù)克萊姆法則，可解得：第五十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題三、間接目標(biāo)函數(shù)比較靜態(tài)分析與羅伊恒等式將均衡解

xM

、yM

和λM

代入

Lagrange

函數(shù)，可得到間接目標(biāo)函數(shù)：V(Px,Py,M)=U(xM,yM)+λM(M–xMPx–yMPy)上式兩端分別對

Px

求偏導(dǎo)，有：第五十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題由一階必要條件可知偏導(dǎo)系數(shù)為零，故：

同樣道理，間接目標(biāo)函數(shù)對M

求偏導(dǎo)，有：同樣，由一階必要條件有：第五十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題將兩偏導(dǎo)數(shù)相除有：羅伊恒等式羅伊恒等式說明：商品x

的馬歇爾需求函數(shù)等于間接目標(biāo)函數(shù)分別對Px和M

偏導(dǎo)數(shù)比率相反數(shù)。當(dāng)然，同樣道理，也可得到：羅伊恒等式提供了一個(gè)求馬歇爾需求函數(shù)的有效途徑，如果知道間接效用函數(shù)，通過求關(guān)于商品價(jià)格和收入的偏導(dǎo)數(shù)就可以求得馬歇爾需求函數(shù)。第五十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題

舉個(gè)例子：利用效用極大化模型maxU=xys.t.

Px·

x+Py·

y=M檢驗(yàn)羅伊恒等式的有效性。第五十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日羅伊恒等式的有效性檢驗(yàn)首先，構(gòu)造Lagrange

函數(shù)：L(x,y,λ)=xy+λ(M–Px·

x–Py·

y)然后，計(jì)算一階必要條件：第五十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日羅伊恒等式的有效性檢驗(yàn)然后，檢驗(yàn)二階充分條件：第五十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日羅伊恒等式的有效性檢驗(yàn)將xM

和yM

代回目標(biāo)函數(shù)：分別對Px、Py和M

求偏導(dǎo)，有：于是，有：第五十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題一、支出極小化問題的靜態(tài)分析令U=U(x,y)，假設(shè)消費(fèi)者對兩種商品x

和y

的消費(fèi)量均大于0，且是在競爭市場上以Px

和Py

的恒定價(jià)格購得，那么，在既定效用水平U0條件下，消費(fèi)者如何進(jìn)行商品選擇使其支出最小化呢？既定效用水平下的支出極小化模型為：minE=xPx+yPys.t.

U(x,y)=U0第五十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題構(gòu)造Lagrange

函數(shù)：L=xPx+yPy

+μ[U0–U(x,y)]

一階必要條件為：二階充分條件為：Lx=Px–μU

’x=0Ly=Py–μU

’y=0Lμ=U0–U(x,y)=0第五十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題在支出極小化的一階必要條件和二階充分條件成立的基礎(chǔ)上，可求得均衡解：x=xH(Px,Py,U0)y=yH(Px,Py,U0)

μ=μH(Px,Py,U0)其中：x=xH(Px,Py,U0)和y=yH(Px,Py,U0)稱為?？怂剐枨蠛瘮?shù)，表示了消費(fèi)者對于任一給定的商品價(jià)格和效用水平下所作出的消費(fèi)決策。第六十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題二、支出極小化問題的比較靜態(tài)分析由支出極小化問題的模型可知，內(nèi)生變量為x

和y

，外生變量為Px、Py和U0

。引入?？怂剐枨蠛瘮?shù)，則支出極小化一階條件：

Px–μHU

’x(xH,yH)=0Py–μHU

’y(xH,yH)=0U0–U(xH,yH)=0一般的傳統(tǒng)方法如何進(jìn)行比較靜態(tài)分析？第六十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題

1.商品價(jià)格Px和Py

不變，效用水平

U0

變化對一階必要條件中的等式兩邊對U0

求偏導(dǎo)：第六十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題寫成矩陣形式為：根據(jù)克萊姆法則，可解得：分子符號(hào)無法判定第六十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題

2.商品價(jià)格Py

和U0

不變，商品價(jià)格Px變化對一階必要條件中的等式兩邊對Px

求偏導(dǎo)：第六十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題寫成矩陣形式：根據(jù)克萊姆法則，可解得：第六十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題三、間接目標(biāo)函數(shù)比較靜態(tài)分析與謝潑德引理將均衡解

xH

、yH

和μH

代入Lagrange

函數(shù)，可得到間接目標(biāo)函數(shù)（或支出函數(shù)）：E(Px,Py,U0)=xHPx+yHPy

+μH[U0–U(xH,yH)]上式兩端分別對

Px

求偏導(dǎo)，有：第六十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題由一階必要條件可知偏導(dǎo)系數(shù)為零，故：

同樣道理，間接目標(biāo)函數(shù)對Px

和U0

求偏導(dǎo)，有：由此可知，和在均衡處的值是消費(fèi)者的?？怂剐枨?。，，謝潑德引理第六十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題

謝潑德引理用于在給定支出函數(shù)（或間接目標(biāo)函數(shù)）的情況下，求?？怂剐枨蠛瘮?shù)的方法。舉個(gè)例子：利用支出極小化模型minE=xPx+yPys.t.

xy=U0檢驗(yàn)謝潑德引理的有效性。第六十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日謝潑德引理的有效性檢驗(yàn)首先，構(gòu)造Lagrange

函數(shù)：L(x,y,μ)=Px·

x+Py·

y+μ(U0–xy)然后，計(jì)算一階必要條件：第六十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日謝潑德引理的有效性檢驗(yàn)然后，檢驗(yàn)二階充分條件：第七十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日謝潑德引理的有效性檢驗(yàn)將xH

和yH

代回目標(biāo)函數(shù)：分別對Px、Py

和U0

求偏導(dǎo)，有：第七十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導(dǎo)在效用極大化問題中，由一階必要條件可知：且二階充分條件為：第七十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導(dǎo)而在支出極小化問題中，由一階必要條件可知：且二階充分條件為：第七十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導(dǎo)由兩個(gè)問題的二階充分條件和一階必要條件可知：且在效用極大化問題中，我們得到了如下四個(gè)等式：($)(*)第七十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導(dǎo)在支出極小化問題中，我們得到了如下等式：將($)和(#)代入(*)，可得：(#)第七十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導(dǎo)以上兩個(gè)等式即為馬歇爾需求函數(shù)和?？怂剐枨蠛瘮?shù)之間的關(guān)系，亦即斯勒茨基等式，表示在貨幣收入固定不變的條件下，需求曲線對于價(jià)格變化作出的反應(yīng)。如果Py

發(fā)生變化，也可得到：第七十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導(dǎo)更一般地，n

種商品的情況下，可得一般性結(jié)論：斯勒茨基等式表明，一個(gè)追求效用極大化的消費(fèi)者對于價(jià)格變化作出的反應(yīng)，在理論上可以分為兩部分：一部分是純替代效應(yīng)，即消費(fèi)者在保持原有的效用水平下，對于相對價(jià)格變化作出的反應(yīng)；另一部分是純收入效應(yīng)，即在相對價(jià)格保持不變的前提下，消費(fèi)者通過變化收入使得預(yù)算線在新的效用曲線上達(dá)到切點(diǎn)，即相對于購買力變化作出的反應(yīng)。第七十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日斯勒茨基等式檢驗(yàn)

舉個(gè)例子：利用效用函數(shù)U=xy檢驗(yàn)斯勒茨基等式的有效性。

效用極大化模型可寫為：支出極小化模型可寫為：maxU=xyminE=Px·

x+Py·

ys.t.

Px·

x+Py·

y=M

s.t.

xy=U0由§4.4的例子可知：第七十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日斯勒茨基等式檢驗(yàn)由§4.5的例子可知：所以：，，又由，代入Px·

x+Py·

y=M

，有：第七十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日斯勒茨基等式檢驗(yàn)所以：即：，得證。

試?yán)每虏肌栏窭剐в煤瘮?shù)U=xay1-a

檢驗(yàn)斯勒茨基等式的有效性。第八十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業(yè)利潤極大化問題一、企業(yè)利潤極大化利潤最大化等價(jià)于收益最大或成本最小，但是這種最優(yōu)化是以一定生產(chǎn)成本或資源約束為條件的。考慮一個(gè)廠商，其生產(chǎn)函數(shù)為y=f(x1,x2)。如果廠商以價(jià)格p

銷售產(chǎn)品；以價(jià)格w1使用生產(chǎn)要素x1；企業(yè)家投入生產(chǎn)要素x2固定在x20水平上。

maxπ=p

f(x1,x2)–w1x1

s.t.

x2=x20于是企業(yè)利潤最大化模型可寫為：第八十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業(yè)利潤極大化問題構(gòu)造Lagrange

函數(shù)：

L(x1,λ)=p

f(x1,x2)–w1x1+λ(x20–x2)

一階必要條件為：二階充分條件為：解釋第八十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業(yè)利潤極大化問題將二階充分條件的海賽加邊行列式展開，有：由此可知，。這一結(jié)果說明，實(shí)際上只有x1

是變量，廠商唯一可控制的就是x1的使用量，存在極大值的唯一要求就是x1的邊際產(chǎn)值遞減。通過對以上條件求解，可得到利潤極大化水平下的兩種要素投入量和企業(yè)家投入的邊際產(chǎn)值：第八十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業(yè)利潤極大化問題將上述均衡解代入目標(biāo)函數(shù)，可得最大利潤：

π*(w1,p,x20)=p

f(x1*,x2*)–w1x1*式中，π*(w1,p,x20)被稱為利潤函數(shù)，它是該模型的間接目標(biāo)函數(shù)。將一階必要條件的前兩個(gè)等式分別乘以x1*和x2*，然后兩式相加，得：第八十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業(yè)利潤極大化問題若生產(chǎn)函數(shù)是一次齊次的（規(guī)模收益不變），那么，根據(jù)歐拉定理，有：于是，這個(gè)式子表明，“總收入=總成本”，其中x2的總要素成本是它的機(jī)會(huì)成本λ*x2*。因此，由于規(guī)模收益不變，產(chǎn)品被耗盡，即廠商收入剛好等于總要素成本。（注意：這種關(guān)系成立的前提是一、二階條件均滿足）第八十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業(yè)利潤極大化問題二、比較靜態(tài)分析由前面的分析可知，企業(yè)利潤極大化問題的內(nèi)生變量為x1

、x2

和λ，外生變量為w1

、p

和x20。首先，分析w1

變化對均衡解的影響。對一階必要條件的各等式兩邊對

w1求偏導(dǎo)，可得：第八十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業(yè)利潤極大化問題根據(jù)克萊姆法則，解得：這三個(gè)結(jié)果表明了要素x1價(jià)格w1的變化對兩種要素最佳投入量x1*和x2*以及企業(yè)家投入的邊際產(chǎn)值λ*的影響。第八十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業(yè)利潤極大化問題下面，分析x20

變化對均衡解的影響。對一階必要條件的各等式兩邊對

x20求偏導(dǎo)，可得：根據(jù)克萊姆法則，解得：第八十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業(yè)利潤極大化問題同理，我們還可以分析p

變化對均衡解的影響。已知該利潤極大化問題的均衡解存在，就可以利用包絡(luò)定理來分析外生變量變化對目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的影響。由前面的分析可知，Lagrange

函數(shù)為：L=p

f(x1,x2)–w1x1+λ(x20–x2)那么，根據(jù)包絡(luò)定理有：x*,λ*第八十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業(yè)利潤極大化問題

舉個(gè)例子：設(shè)某壟斷廠商生產(chǎn)兩種商品x

和y

，并在有關(guān)市場上銷售。這兩種商品的反需求函數(shù)分別為Px=100–4x–y

和Py=50–x–y

，該廠商的總成本為C(x,y)=10x+5y

，成本不超過100。試求利潤極大化時(shí)的產(chǎn)出水平和利潤。廠商的利潤函數(shù)為：π=xPx+yPy–(10x+5y)=90x+45y–4x2–2xy–y2故利潤極大化模型：maxπ=90x+45y–4x2–2xy–y2

s.t.

10x+5y=100第九十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題一、（總）成本函數(shù)給定生產(chǎn)函數(shù)f(x)，產(chǎn)出為y，要素價(jià)格為w

時(shí)的最小成本記為

c(w,y)=min{w

·x|f(x)≥

y,x

≥0}根據(jù)成本函數(shù)的定義，成本函數(shù)有如下性質(zhì)：⑴在y

不變的條件下，①

c(w,y)關(guān)于w是一次齊次的；②c(w,y)關(guān)于w是凹的；③c(w,y)關(guān)于w是遞增的。⑵在w>0且不變的條件下，c(w,y)關(guān)于y是遞增的。第九十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題二、成本極小化問題在給定產(chǎn)出水平下，企業(yè)成本極小化行為與利潤極大化行為是一致的，即可以將成本最小化問題看做是滿足等式約束的最優(yōu)化問題。

那么，能否直接利用利潤極大化模型推導(dǎo)成本極小化模型呢？考慮利潤極大化模型：maxπ=pf(x1,…,xn)–(w1x1+…+wnxn)

s.t.

f(x1,…,xn)=y第九十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題根據(jù)成本函數(shù)的定義，產(chǎn)出y

是一個(gè)參數(shù)，即外生變量。由企業(yè)追求利潤極大化行為可知，在企業(yè)追求利潤極大化時(shí)，y

是決策變量，意味著當(dāng)產(chǎn)出改變、要素價(jià)格不變時(shí)，可以觀測成本的變化。但是，實(shí)際上，追求利潤極大化企業(yè)不會(huì)主動(dòng)改變產(chǎn)出，只有當(dāng)某個(gè)要素價(jià)格發(fā)生變化變化時(shí)，產(chǎn)出y才會(huì)改變。故上述利潤極大化模型