第2章-計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)分析-CFD軟件原理及應(yīng)用

計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)分析

-CFD軟件原理與應(yīng)用王福軍編著.北京:清華大學(xué)出版社,2004.9第2章基于有限體積法的

控制方程離散匯報(bào)人：華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院機(jī)械工程2班內(nèi)容提要1離散化概述2有限體積法及其網(wǎng)格簡(jiǎn)介3一維穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的有限體積法4常用離散格式5空間離散的高階離散格式內(nèi)容提要6各種離散格式的性能對(duì)比7一維瞬態(tài)問(wèn)題的有限體積法8有限體積法的進(jìn)一步討論9二、三維問(wèn)題的離散方程一、離散化概述1.離散化的目的2023/2/36二、有限體積法及其網(wǎng)格簡(jiǎn)介1.有限體積法的基本思想2023/2/38三、求解一維穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的

有限體積法1.問(wèn)題描述2023/2/310四、常用的離散格式2023/2/3121.離散格式（discretizationscheme）：也就是插值方式。2.插值的目的：建立離散方程，通過(guò)體積上的節(jié)點(diǎn)物理量，求出體積界面上的物理量。3.本節(jié)介紹最基本、應(yīng)用最廣泛的一階離散格式。2023/2/3131.前提：離散格式并不會(huì)影響控制方程中的源項(xiàng)和瞬態(tài)項(xiàng)，因此選取簡(jiǎn)單的、一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)源項(xiàng)的對(duì)流-擴(kuò)散問(wèn)題為討論對(duì)象。1.術(shù)語(yǔ)與約定2.通過(guò)一些列推導(dǎo)，可以化簡(jiǎn)為如下公式左圖表示控制體積P及界面上的流速。在x方向的對(duì)流-擴(kuò)散行為，通過(guò)w、e兩個(gè)界面。公式中參數(shù)的含義：F：通過(guò)單位面積的對(duì)流質(zhì)量通量；D：界面的擴(kuò)散傳導(dǎo)性φ：通用變量，或者廣義未知量在速度場(chǎng)已知的情況下，F(xiàn)E、FW是可以得到的；因此，只需要計(jì)算φ在E和W處的值即可。因此，必須決定界面物理量如何通過(guò)節(jié)點(diǎn)的插值來(lái)表示。也就是確定離散格式。（？？）2023/2/3142.中心差分格式2.1中心差分格式（centraldifferencingscheme）的數(shù)學(xué)描述中心插值，也就是說(shuō)采用線性插值方式來(lái)計(jì)算。通過(guò)下面的公式可以看出。經(jīng)過(guò)一系列化簡(jiǎn)，中心插分格式的對(duì)流-擴(kuò)散插值方程如下所示：方程的未知量是各點(diǎn)的φ值，即是

FE、Fφ、FW。求解這個(gè)方程組，可以得到未知量φ在空間的分布。原始公式：其中，2023/2/3152.中心差分格式2.2中心插分格式的特點(diǎn)及適用性

在上述公式中，D是由擴(kuò)散項(xiàng)的中心差分所形成的，代表了擴(kuò)散過(guò)程的影響；F則是分段線性插值方式，在均勻的網(wǎng)格下的表現(xiàn)，代表了對(duì)流過(guò)程的影響。

引入一個(gè)新參數(shù)，Pe=F/D，那么，將方程組的解與精確解對(duì)比可知：

當(dāng)Pe<2時(shí)，兩者基本吻合；但當(dāng)Pe>2時(shí)，計(jì)算結(jié)果完全失去意義。這是由于aE小于0的緣故。結(jié)論：根據(jù)數(shù)學(xué)上的分析可知，要滿(mǎn)足Pe<2的條件，只能使得速度很小、網(wǎng)格間距很小。因此，公式的限制程度很大，中心差分格式不能作為一般流動(dòng)問(wèn)題的離散格式。2023/2/3163.一階迎風(fēng)格式3.1一階迎風(fēng)格式格式的數(shù)學(xué)描述從前面的分析可知，界面w處的廣義物理量φ會(huì)同時(shí)受到臨近的兩個(gè)點(diǎn)P、W的共同影響，但是這個(gè)模型是從左往右流動(dòng)的，因此，上游的P點(diǎn)的影響力是要大于下游的W點(diǎn)，可以知道，上一節(jié)的中心差分明顯是不合適的。

考慮到流動(dòng)方向的影響，于是提出了迎風(fēng)格式firstorderupwindscheme。經(jīng)過(guò)一系列化簡(jiǎn)，中心插分格式的對(duì)流-擴(kuò)散插值方程如下所示：式中各物理量的意義如前所述。由于這種插值方式存在一階的余項(xiàng)，因此稱(chēng)之為一階迎風(fēng)格式。其中，原始公式：2023/2/3173.2一階迎風(fēng)格式格式的特點(diǎn)及適用性3.一階迎風(fēng)格式一階迎風(fēng)格式解決了中心插分格式中，三個(gè)a值可能為負(fù)數(shù)的問(wèn)題，因此，這樣的方程組求得的解不會(huì)震蕩，看上去是合理的。這一點(diǎn)也使得一階迎風(fēng)格式在過(guò)去有著廣泛的應(yīng)用。

缺點(diǎn)及不足：

（1）一階迎風(fēng)格式簡(jiǎn)單的按照界面流速的正負(fù)性來(lái)決定a的取值，沒(méi)有考慮到Pe的取值。但精確解還是與Pe的大小有關(guān)；

（2）一階迎風(fēng)格式的擴(kuò)散項(xiàng)永遠(yuǎn)按照中心差分的方式來(lái)計(jì)算。但是，在D值很小的情況下，擴(kuò)散作用很??；但此時(shí)，迎風(fēng)格式中的擴(kuò)散項(xiàng)仍然按平均值計(jì)算，明顯有所缺陷。2023/2/3184.混合格式

將上述兩種方法綜合起來(lái)，就是混合格式hybridscheme。當(dāng)|Pe|<2時(shí)，使用二階中心差分格式；|Pe|>2時(shí)，采用一階迎風(fēng)格式。經(jīng)過(guò)一系列化簡(jiǎn)，混合格式插值方程如下所示，各物理量的意義如前所述：優(yōu)點(diǎn)：不會(huì)出現(xiàn)震蕩解，無(wú)條件穩(wěn)定；與高階離散格式相比，計(jì)算效率較高；缺點(diǎn)：只具有一階精度。其中，原始公式：2023/2/3195.指數(shù)格式指數(shù)格式（exponentialscheme）是利用方程的精確解建立起來(lái)的一種離散格式。綜合考慮了傳導(dǎo)和對(duì)流兩方面的影響。其中，原始公式：優(yōu)點(diǎn)：在應(yīng)用一維問(wèn)題時(shí)，對(duì)于任何的P值、任意網(wǎng)格數(shù)量，都可以獲得精確解；缺點(diǎn)：指數(shù)運(yùn)算耗費(fèi)時(shí)間；只在一維且源項(xiàng)為0的情況下才可以實(shí)現(xiàn)。2023/2/3206.乘方格式乘方格式（power-lawscheme）則是與上述指數(shù)格式非常接近的一種離散格式。當(dāng)P>10時(shí)，擴(kuò)散項(xiàng)D按0計(jì)算；當(dāng)0<P<10時(shí)，單位面積上的通量按照一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)計(jì)算。其中，化簡(jiǎn)公式：這種離散格式的計(jì)算精度與指數(shù)格式較為接近，但比指數(shù)格式要省時(shí)。它與混合格式有著類(lèi)似的性質(zhì)，常作為混合格式的替代格式。使用也較為普遍。2023/2/3217.各種離散格式的匯總離散格式系數(shù)aW系數(shù)aE中心差分格式一階迎風(fēng)格式混合格式指數(shù)格式乘方格式對(duì)于一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)源項(xiàng)的對(duì)流-擴(kuò)散方程，最終都生成了相同的離散方程：且有2023/2/3228.低階格式中的假擴(kuò)散與人工粘性總結(jié)：1.本節(jié)介紹的各種離散形式，都屬于低階離散。在對(duì)流-擴(kuò)散方程中，對(duì)流項(xiàng)引起的計(jì)算誤差稱(chēng)之為“假擴(kuò)散”（falsediffusion）。因?yàn)檫@種離散格式截差的首項(xiàng)包括一階導(dǎo)數(shù)，使得數(shù)值計(jì)算過(guò)程中擴(kuò)散的作用被人為的放大了。也就相當(dāng)于引進(jìn)了人工粘性（artificialviscosity）或數(shù)值粘性（numbericalviscosity）；2.假擴(kuò)散的成因：非穩(wěn)定項(xiàng)和對(duì)流項(xiàng)的一階導(dǎo)數(shù)離散；流動(dòng)方向和網(wǎng)格線成傾斜交叉；非常數(shù)的源項(xiàng)的影響；3.為了消除或減輕數(shù)值計(jì)算中的假擴(kuò)散，可以采用截?cái)嗾`差較高的離散格式；或者采用自適應(yīng)網(wǎng)格，使得網(wǎng)格朝向和流動(dòng)方向一致。五、空間離散的高階離散格式1.二階迎風(fēng)格式2023/2/324

上述的各種離散格式，雖然可以保證計(jì)算的穩(wěn)定性、滿(mǎn)足流動(dòng)方向的要求，但一階精度會(huì)導(dǎo)致假擴(kuò)散。因此，本章提出高階離散格式，它的改變主要有兩點(diǎn)：引入更多的相鄰節(jié)點(diǎn)；考慮流動(dòng)方向性的問(wèn)題。高階離散格式可以有效降低這種誤差。

二階迎風(fēng)格式與一階迎風(fēng)格式類(lèi)似。但區(qū)別在于，要求出P處的未知量φ前者需要用到上游兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的值（WW和W），后者只需要用到上游一個(gè)點(diǎn)（W）的值。2023/2/3251.二階迎風(fēng)格式二階迎風(fēng)格式的對(duì)流-擴(kuò)散方程的離散方程：化簡(jiǎn)公式：其中，其中，當(dāng)流動(dòng)沿著正方向時(shí)，有Fw>0和Fe>0，α=1；當(dāng)流動(dòng)沿著負(fù)方向時(shí)，有Fw<0和Fe<0，α=0.二階迎風(fēng)格式是在一階迎風(fēng)格式的基礎(chǔ)上，考慮了物理量在節(jié)點(diǎn)間分布曲線的曲率影響。實(shí)際上，對(duì)流項(xiàng)采用二階迎風(fēng)，擴(kuò)散項(xiàng)仍是中心差分。顯然，其截?cái)嗾`差是二階的，可以減少假擴(kuò)散。2023/2/3262.QUICK格式對(duì)流運(yùn)動(dòng)的二次迎風(fēng)插值（QuadraticUpwindInterpolationofConvectiveKinematics）2.1QUICK格式的數(shù)學(xué)描述化簡(jiǎn)公式：其中，其中，當(dāng)Fw>0時(shí)，有αw=1；當(dāng)Fe>0時(shí)，有αe=1；當(dāng)Fe<0時(shí)，有αw=0；當(dāng)Fe<0時(shí)，有αe=0。

2023/2/3272.QUICK格式2.2QUICK格式的特點(diǎn)及其改進(jìn)格式

優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于與流動(dòng)方向?qū)R的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格而言，QUICK格式將可產(chǎn)生比二階迎風(fēng)格式更為精確的計(jì)算結(jié)果，例如六面體網(wǎng)格（三維問(wèn)題）和四邊形網(wǎng)格（二維問(wèn)題）。對(duì)于其他類(lèi)型的網(wǎng)格，一般使用二階迎風(fēng)格式。缺點(diǎn)：QUICK格式并不是絕對(duì)穩(wěn)定。因此，很多人提出了改進(jìn)的辦法。其中，化簡(jiǎn)公式：其中，當(dāng)Fw>0時(shí)，有αw=1；當(dāng)Fe>0時(shí)，有αe=1；當(dāng)Fe<0時(shí)，有αw=0；當(dāng)Fe<0時(shí)，有αe=0。

但它總能得到穩(wěn)定解。2023/2/3283.對(duì)高階格式的討論離散格式的三個(gè)要求：（1）良好的穩(wěn)定性；（2）較高的精度；（3）適應(yīng)不同的流動(dòng)形式。綜合分析上述的幾種離散方式之后，可以知道兩點(diǎn)結(jié)論：

（1）在滿(mǎn)足穩(wěn)定性的范圍內(nèi)，一般來(lái)說(shuō)，在截?cái)嗾`差較高的格式下，對(duì)應(yīng)的解準(zhǔn)確度更高。例如，三階截差的QUICK格式往往具有較高的精度。在采用低階截差格式時(shí)，應(yīng)使得網(wǎng)格足夠密，以減少假擴(kuò)散；

（2）穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性常?；ハ嗝堋＠?，一階迎風(fēng)格式是無(wú)條件穩(wěn)定，但精度不高；三階QUICK格式不是無(wú)條件穩(wěn)定的，但是精度較高。常見(jiàn)離散格式的性能對(duì)比如表所示：2023/2/3293.對(duì)高階格式的討論離散格式穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件精度與經(jīng)濟(jì)性中心差分條件穩(wěn)定P≤2不發(fā)生震蕩的范圍內(nèi)內(nèi)，可以有較準(zhǔn)確的結(jié)果一階迎風(fēng)絕對(duì)穩(wěn)定P較大時(shí)，假擴(kuò)散嚴(yán)重。需要加密計(jì)算網(wǎng)格二階迎風(fēng)絕對(duì)穩(wěn)定精度比一階迎風(fēng)高，但仍有假擴(kuò)散混合格式絕對(duì)穩(wěn)定P≤2時(shí)，性能與中心差分相同；P>2時(shí)，性能與一階迎風(fēng)相同指數(shù)格式絕對(duì)穩(wěn)定適用于無(wú)源項(xiàng)的對(duì)流-擴(kuò)散模型。當(dāng)源項(xiàng)不是常數(shù)時(shí)，若P較