第3章 工程構件靜力學平衡問題

工程力學第三章工程構件的靜力學平衡問題一、平面匯交力系平衡的條件匯交力系平衡的充要條件是：

力系的合力FR等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表達為：

匯交力系平衡的幾何條件是：

力系的力多邊形自行封閉。

（1）幾何法§3-1平面力系的平衡條件和平衡方程

即:匯交力系的平衡條件是力系中各力在x軸和y軸投影的代數(shù)和分別等于零。匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力等于零，即:（2）解析法滿足采用解析法求解平衡問題時，未知鉸鏈約束反力的方向一般不能直接確定假設指向：一般假設為坐標軸的正向計算結果為正假設方向與實際方向相同計算結果為負，假設方向與實際方向相反【例】水平力P作用在門式剛架的D點，如圖所示，剛架的自重忽略不計。試求A、B兩處的約束力。3）建立坐標系，列平衡方程：4）聯(lián)立求解：FA為負值，說明圖中所假設的指向與其實際指向相反，F(xiàn)B為正值，說明圖中所假設的指向與其實際指向相同。FAABCDyxFB解:1）選取剛架為研究對象；2）畫受力圖；aO2a【例】一拱形橋由三個鉸拱組成，如圖所示。各拱重量不計，已知作用于點H的水平力Fp，試求A、B、C和D處各個支座反力。解：首先對AE、EBF、FCG和GD，進行受力分析取為GD研究對象，建立平衡方程：xy解得(2)取FCG為研究對象，建立平衡方程解得xy(3)取EBF為研究對象，建立平衡方程解得(4)最后，取為AE研究對象。例如圖所示是汽車制動機構的一部分。司機踩到制動蹬上的力P=212N，方向與水平面成=45角。當平衡時，BC水平，AD鉛直，試求拉桿BC所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm點E在鉛直線DA上，又B、C、D都是光滑鉸鏈，機構的自重不計。P246ACBOED(a)解：(1)取制動蹬ABD作為研究對象。OPAFBBFDD(b)O45°PFBFDD(b)xy(3)列出平衡方程：又聯(lián)立求解，得PABDC例已知重物P=20kN,不計桿重以及滑輪尺寸,求桿AB和BC的受力.解:取B點分析Bxy)(壓64.74kNFBC-=)(拉64.54kNFAB=(假設均受拉)所以所以求解匯交力系平衡問題的主要步驟和要點如下：1）根據(jù)題意，選取研究對象；2）畫受力圖。3）作力多邊形或列平衡方程。4）求解未知量并分析結果。求解平面匯交力系平衡問題的重點是解析法。平面一般力系平衡的充要條件是：力系的主矢和對任意點的主矩都等于零。即其中二、平面一般力系平衡的條件平面一般力系的平衡方程需要滿足

所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代數(shù)和也等于零。平面一般力系平衡的解析條件：求解物體在平面力系作用下的平衡問題需要注意：無論是求投影還是求力對點之矩的代數(shù)和,都不要遺漏參加平衡的力;應用平衡方程時，要特別注意力的投影及力對點之矩的正負號;應用力矩平衡方程時,適當?shù)倪x取投影軸和矩心。投影軸的選?。罕M可能使更多的力在投影軸上；矩心應盡量選擇力的交匯處?！纠?.1】圖所示為懸臂式吊車結構簡圖。圖中AB為吊車大梁，BC為鋼索，A處為固定鉸鏈約束。已知起重電動機E與重物的總重力為FW

（因為兩滑輪之間的距離很小，F(xiàn)W可視為集中力作用在大梁上），梁的重力為FQ，作用在AB的中點D處，已知角度θ=30o。求：

1）電動機處于任意位置時，鋼索BC所受的力和支座A處的約束力。2）分析電機處于什么位置時，鋼索的受力最大，并確定其數(shù)值。

FWCB

AD

Eq

AB

lFPM

q【例3.2】A端固定的懸臂梁AB受力如圖所示。梁的全長上作用有集度為q的均布載荷；自由端B處承受一集中力FP和一力偶M的作用。已知FP=ql，M=ql2；l為梁的長度。試求固定端處的約束力?！纠?.3】圖示之剛架，由立柱AB和橫梁BC組成。B處為剛性節(jié)點。剛架在A處為固定鉸鏈支座；C處為輥軸支座；受力如圖所示。若圖中FP和l均為已知，求A、C兩處的約束力。FPB

A

Cll

【例3.4】圖示的簡單結構中，半徑為r的四分之一圓弧桿AB與折桿BDC在B處用鉸鏈連接，A、C兩處均為固定鉸鏈支座，折桿BDC上承受力偶矩為M的力偶作用，力偶的作用面與結構平面重合。圖中l(wèi)=2r。若r、M均為已知，試求：A、C兩處的約束力。平面任意力系平衡方程的三種形式：剛體平衡條件二矩式A、B連線與x軸不垂直三矩式A、B、C三點不共線一矩式∑Fxi=0∑Fyi=0∑mo(F)=0∑Fxi=0∑mA(F)=0∑mB(F)

=0∑mA(F)=

0∑mB(F)=

0∑mC(F)=

0【例3.5】圖所示結構中，A、C、D三處均為鉸鏈約束。橫梁AB在B處承受集中載荷FP。結構各部分尺寸均示于圖中，若已知FP和l，試求：撐桿CD的受力以及A處的約束力。

l/2

l/2

B

D

A

C

l/2

FP

塔式起重機的結構簡圖如圖所示。起重機自重為W，載重為W1，平衡物重W2。要使起重機在空載、滿載且載重在最遠處時均不翻到，試求平衡物重。eCbla工程實際問題：翻倒問題(2)列平衡方程：1)空載時（W1=0）：不翻到的條件是：可得空載時平衡物重量W2的條件：解：（1）取塔式起重機整體為研究對象,受力分析如圖。（整機在平面平行力系作用下處于平衡。）eCbla2)滿載且載重位于最遠端時,不翻到的條件是：eCbla綜合考慮，平衡物重量W2應滿載的條件：可得滿載時平衡物重量W2的條件：【練習題】翻到問題一種車載式起重機，車重Q=26kN，起重機伸臂重G=4.5kN，起重機的旋轉部分與固定部分共重W=31kN。尺寸如圖所示，單位是m，設伸臂在起重機對稱面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起重量Pmax。AB3.02.51.82.0（3）聯(lián)立求解：

（2）列平衡方程：（4）不翻條件：FA≥0故最大起重重量為Pmax=7.5kNAB3.02.51.82.0解：（1）取汽車及起重機為研究對象，受力分析如圖。平面匯交力系:兩個獨立方程，只能求兩個獨立未知數(shù)。平面力偶系:一個獨立方程，只能求一個獨立未知數(shù)。平面一般力系：三個獨立方程,只能求三個獨立未知數(shù)?！?–2簡單的剛體系統(tǒng)平衡問題（1）靜定問題——當系統(tǒng)中未知量數(shù)目等于或少于獨立平衡方程數(shù)目時的問題。（2）靜不定問題——當系統(tǒng)中未知量數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目時，不能求出全部未知量的問題。一、靜定與靜不定概念：靜定靜不定靜不定靜不定物體系統(tǒng)平衡問題的特點是：

僅僅考察系統(tǒng)整體平衡，無法求得全部未知力。求解物系平衡問題的基礎：1）物系平衡時，組成該物系的每一個物體，以及每一個子系統(tǒng)都將處于平衡狀態(tài)。整體平衡，局部必然平衡2）研究對象有多種選擇3）分清內(nèi)力和外力內(nèi)力和外力是相對而言的,視研究對象不同而不同。外力：研究對象以外的物體作用于研究對象上的力。內(nèi)力：研究對象內(nèi)部各部分間的相互作用力。4）剛體系統(tǒng)的受力分析過程確定約束力，注意作用與反作用力，使力系平衡。一般先整體后局部。求解物系平衡問題時要注意的問題：（1）恰當選取研究對象（2）綜合考察整體與局部的平衡（3）畫受力圖注意施力體與受力體，作用力與反作用力關系（4）列平衡方程時避免求解聯(lián)立方程【例3.6】圖所示之靜定結構是由二根梁AB和BC通過中間鉸鏈(B)處連接成一體，這種梁稱為組合梁，其中C處為輥軸支座，A處為固定端。DE段梁上承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為M。若q、M、l等均為已知。試求：A、C兩處的約束力。

CllllABDMFRCEq【例3.7】圖所示為房屋和橋梁中常見的三鉸拱結構模型。結構由兩個構件通過中間鉸連接而成：A、B兩處為固定鉸鏈支座；C處為中間鉸。各部分尺寸均示于圖中。拱的頂面承受集度為q的均布載荷。若已知q、l、h，且不計拱結構的自重，試求：A、B兩處的約束力。ABChl/2l/2q【作業(yè)題】物塊重W=12kN，由3根桿AB、BC和CE組成的構架及滑輪E支承。已知：AD=DB=2m，CD=DE=1.5m，不計桿及滑輪的重量，設滑輪半徑為r，求支座A、B的反力以及BC桿的內(nèi)力。DCBAE一、滑動摩擦定律（1）滑動摩擦力定義：兩表面粗糙的物體，當其接觸表面之間有相對滑動趨勢或相對滑動時，接觸面間產(chǎn)生的彼此阻礙相對滑動的阻力。

（2）分類：滑動摩擦力的大小根據(jù)主動力作用的不同分為靜滑動摩擦力最大靜滑動摩擦力動滑動摩擦力方向：作用在接觸處，與相對滑動的趨勢或相對滑動方向相反§3-3考慮摩擦時的平衡問題二、靜滑動摩擦力物體P和FN作用下處于靜止狀態(tài)FNPFFs加水平拉力F，由0逐漸增加但不很大時，物體仍保持靜止說明：存在一阻礙物體沿水平面向右滑動的切向力，即靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力。大?。河善胶鈼l件確定說明：靜摩擦力大小隨水平力F的增大而增大。靜摩擦力是接觸面對物體作用的切線約束反力，指向與物體相對滑動趨勢相反。FNPFFs三、最大靜滑動摩擦力達一定數(shù)值時物體處于將動、未動的臨界狀態(tài)最大靜滑動摩擦力，簡稱最大靜摩擦力。F靜摩擦力達到最大值FNPFFmax實驗證明：最大靜摩擦力的大小與接觸面法向反力成正比，即其中：fs為靜滑動摩擦因數(shù)，大小可由實驗測定，與接觸物體的材料和表面狀態(tài)有關，與接觸面積的大小無關。FN為接觸物體間的正壓力。（靜摩擦定律或庫侖定律）靜摩擦力的大小隨主動力的情況而改變介于零與最大值之間，即利用摩擦和減少摩擦的途徑四、動滑動摩擦力接觸面之間出現(xiàn)相對滑動動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力。F接觸物體間作用有阻礙相對滑動的阻力FNPFFd其中：f為動滑動摩擦因數(shù)，大小與接觸物體的材料和表面狀態(tài)有關，可由實驗測定。FN為接觸物體間的正壓力。實驗表明：動摩擦力的大小與接觸面間的正壓力成正比，即（對多數(shù)材料，通常情況下）二、摩擦角與摩擦自鎖一、摩擦角支撐面對平衡物體的約束反力包含兩個分量：FN和Fs。

FNFRAαFs支撐面的全約束反力

物塊處于平衡的臨界狀態(tài)時，靜摩擦力達最大值Fmax，偏角α達到最大值ψ，稱為摩擦角。

即摩擦角的正切等于靜滑動摩擦因數(shù)FNFRAαFmaxψ物塊處于平衡的臨界狀態(tài)時的全反力：

臨界平衡時，全約束反力FRA的作用線將形成以接觸點為頂點的錐面稱為摩擦錐。如物體間沿任何方向的摩擦因數(shù)相同，即摩擦角相同，則摩擦錐是一個頂角為2ψ的圓錐。

FNFRAFmaxψψ（2）摩擦自鎖現(xiàn)象物塊平衡時，全約束反力FR必在摩擦角之內(nèi)（1）只要作用于物塊的全部主動力的合力作用線在摩擦錐內(nèi)，無論力有多大，物塊比保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖。FQFRψmψmA（2）如果全部主動力的合力作用線在摩擦錐之外，無論主動力有多小，物塊一定滑動。這種現(xiàn)象稱為不自鎖。（3）介于自鎖和不自鎖之間稱為臨界狀態(tài)。物塊保持靜止物塊發(fā)生運動物塊處于臨界狀態(tài)靜滑動摩擦因數(shù)的測定即PFRBOααψmA重力P與全約束反力FR作用平衡，F(xiàn)R與斜面法線的夾角等于α當物塊處于臨界狀態(tài)時，F(xiàn)R與法線夾角等于摩擦角ψm由可求摩擦因數(shù)，即斜面自鎖的條件即斜面的傾角小于或等于摩擦角。螺紋的自鎖條件若螺旋千斤頂?shù)穆輻U與螺母間的摩擦因數(shù)為0.1，則αααα(a)(b)(c)為保證螺旋千斤頂自鎖，一般取螺紋升角取滑動摩擦平衡問題的特點三、滑動摩擦平衡問題（1）分析物體受力時，必須考慮接觸面間切向的摩擦力F。

（2）未確定新增的未知量，需補充方程，F(xiàn)≤fsFN，補充方程數(shù)目與摩擦力數(shù)目相同。

增加了未知量的數(shù)目

（3）有摩擦時平衡問題的解不是一個確定的值。

求：物塊是否靜止，摩擦力的大小和方向．已知：。物塊處于非靜止狀態(tài)．向上．而(向上)解：取物塊，畫受力圖，設物塊平衡例凸輪機構如圖所示。已知推桿與滑道間的摩擦因數(shù)為fs，滑道寬度為b。設凸輪與推桿接觸處的摩擦忽略不計。問a為多大，推桿才不致被卡住。解：取挺桿，設挺桿處于剛好卡住位置.挺桿不被卡住時用幾何法求解解：【例3.9】梯子的上端B靠在鉛垂的墻壁上，下端A擱置在水平地面上。假設梯子與墻壁之間為光滑約束，而與地面之間為非光滑約束，如圖所示。已知：梯子與地面之間的摩擦因數(shù)為fs;梯子的重力為FW。設：1）

若梯子在傾角1的位置保持平衡，求A、B兩處約束力FNA、FNB和摩擦力FA。2）

若使梯子不致滑倒，求其傾角的范圍。

AB

CFw

a

§3-4空間力系迎面風力側面風力b工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。(a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系；(b)圖中去掉風力后為空間平行力系?？臻g力系空間匯交力系空間力偶系空間任意力系

xyFoabgz1.力在直角坐標軸上的投影一次（直接）投影法二次（間接）投影法

應該注意：力在軸上的投影是代數(shù)量，而力在平面上的投影是矢量。

j

xyFogz力的投影與分力力F在坐標軸上的投影和力沿坐標軸的正交分矢量間的關系：以表示力F沿直角坐標軸x、y、z的正交分量，以i、j、k分別表示沿坐標軸方向的單位矢量，則2.空間匯交力系的合成與平衡空間匯交力系的合力矢

由空間力的投影有合力的大小方向余弦其中分別為合力沿x、y、z軸的投影?？臻g匯交力系平衡的充分和必要條件是：力系的合力等于零。同時滿足即：即力系中各力在坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。例如圖所示，用起重機吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，而B端則用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上的C點和D點，連線CD平行于x軸。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面與水平面間的夾角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不計起重桿的重量,試求起重桿所受的力和繩子的拉力。xzy30oαABDGCEF1.取桿AB與重物為研究對象，受力分析如圖。解：F1F2FAyzF1AxCEBFyFzFxFyz2.列平衡方程xzy30oαABDGCEFF1F2FAxzy30oαABDGCEFF1F2FAyzF1AxCEBFyFzFxFyz3.聯(lián)立求解。xzy30oαABDGCEFF1F2FA三、力對軸之矩以門繞z軸的轉動為例來討論。將力F分解成Fz和Fxy，可見

Mz(Fz)=0;Mz(Fxy)=MO(Fxy)力F對z軸之矩Mz(F)等于力在垂直于z軸的平面內(nèi)的分量Fxy對z軸與該平面的交點O之矩。力與軸相交或平行（力與軸共面）時，對軸之矩為零。故力F對軸z之矩可寫為：Mz(F)=MO(F