第5章 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2011

第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸本章將介紹一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系——?jiǎng)傮w——所遵循的力學(xué)規(guī)律。著重討論剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一、概念在受外力作用時(shí)不改變形狀和體積的物體稱剛體。(2)剛體可以看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元，剛體這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的特點(diǎn)是，在外力作用下各質(zhì)元之間的相對(duì)位置保持不變。1.剛體:ΔmiΔmｊｒiｊ(1)剛體是理想化模型。質(zhì)元第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)§5.1剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述2.剛體的運(yùn)動(dòng)形式:剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng),而且各圓的圓心都在一條固定不動(dòng)的直線上,這條直線叫轉(zhuǎn)軸。如果轉(zhuǎn)軸方向不隨時(shí)間變化,則稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。⑵轉(zhuǎn)動(dòng):轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一。⑴平動(dòng)：轉(zhuǎn)軸在描述剛體的平動(dòng)時(shí),可以用一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表，通常就用剛體的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整個(gè)剛體的平動(dòng)。

⑶

剛體的一般運(yùn)動(dòng)都可以認(rèn)為是平動(dòng)和繞某一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合。如圖,車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)平面二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述轉(zhuǎn)動(dòng)平面:取垂直于轉(zhuǎn)軸的平面為參考系,稱轉(zhuǎn)動(dòng)平面。viΔmi轉(zhuǎn)軸其上各質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),且所有質(zhì)元的矢徑在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度相同.一般用角量描述。1.特點(diǎn):ox轉(zhuǎn)動(dòng)方向ZθP2.角位移1.角位置θ2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述P點(diǎn)線速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)平面vθＰoX轉(zhuǎn)動(dòng)方向Z4.角加速度矢量3.角速度:方向與轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋法則。當(dāng)減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),與方向相反;當(dāng)加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),與方向相同；５.當(dāng)角加速度是常量時(shí)：?jiǎn)挝唬簉ad/s角速度是矢量。P點(diǎn)線加速度由于在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中軸的方位不變，故只有沿軸的正負(fù)兩個(gè)方向，可以用標(biāo)量代替。將剛體看成許多質(zhì)量分別為m1;

m2…mi……mn的質(zhì)點(diǎn);各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為r1、r2、ri、rn各質(zhì)點(diǎn)速率分別為v1、v2、vi、vnoi1.第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量ωZmi§5.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、剛體的角動(dòng)量2.剛體的角動(dòng)量rivi定義：-------剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量大小：方向：的方向。與線量比較：2.整個(gè)剛體受合外力矩：FiωZmioirivi力矩的方向:二、剛體所受力矩設(shè)剛體受外力：F1、F2…Fi…Fn1.當(dāng)質(zhì)元受合外力Fi

時(shí)該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩沿轉(zhuǎn)軸方向,并與矢徑

及成右手螺旋法則。定軸轉(zhuǎn)動(dòng):定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，M的方向可用正、負(fù)區(qū)分如：使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，M>0使剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，M<0（代數(shù)和）三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體對(duì)于某一轉(zhuǎn)軸所受的合外力矩等于剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。--------剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律特例：平衡時(shí)，β=0，∴M=0(合力矩為零）應(yīng)用時(shí)注意：M、的正負(fù)號(hào).m2m1r例1.如圖所示，設(shè)兩重物的質(zhì)量分別為m1和m2，且m1＞m2，定滑輪的半徑為r，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，輕繩與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，滑輪軸上摩擦不計(jì)．設(shè)開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，試求t時(shí)刻滑輪的角速度．開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，故t時(shí)刻滑輪的角速度：T1r－T2r＝Jb且有：a＝rb

T2－m2g＝m2a

m1g－T1＝m1a解方程組得：解：兩重物加速度大小a相同，滑輪角加速度為

由牛頓第二定律：隔離物體分析力方向如圖轉(zhuǎn)動(dòng)定律：m1gT1T1T2T2m2gaa注意：m

rmm2m

2r例2.質(zhì)量分別為m和2m、半徑分別為r和2r的兩個(gè)均勻圓盤(pán)，同軸地粘在一起，可以繞通過(guò)盤(pán)心且垂直盤(pán)面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為9mr2/2，大小圓盤(pán)邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為m的重物，如圖所示．求盤(pán)的角加速度的大?。?/p>

列方程b

T2(2r)－T1r

=

9mr2b/2

mg－T2=

ma2

T1－mg

=

ma1

2rb=a2

rb

=

a1

mgT2T2T1T1mga2a1解：受力分析如圖．解聯(lián)立方程，得：1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義:分立剛體:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離的平方的乘積的總和。mioiri§5.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算連續(xù)剛體:dmor2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算例1.剛性三原子分子其質(zhì)量分布如圖所示，求繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量r1r2r3m1m2m3轉(zhuǎn)軸ox圖⑴dxdm例2質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，分別求其繞垂直中心轉(zhuǎn)軸和繞一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ox圖(2)dmdx解:設(shè)棒單位長(zhǎng)質(zhì)量:λ=m/l,1.繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圖⑴中建立一維坐標(biāo)系,取dm=λdx2.繞一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，建立一維坐標(biāo)系如圖⑵所示RoRZ例3.求質(zhì)量為m，半徑為R的均勻薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)其圓心。dm解:

解：設(shè)面密度為，取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán)例4:

求質(zhì)量為m、半徑為R、薄圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤(pán)平面垂直并通過(guò)盤(pán)心。rdrO記住幾個(gè)典型的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：圓環(huán)（通過(guò)中心軸）…圓盤(pán)、圓柱（通過(guò)中心軸）…………細(xì)棒（端點(diǎn)垂直軸）…細(xì)棒（質(zhì)心垂直軸）…J=mR2Z3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義及性質(zhì):⑴轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度;⑵轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與剛體質(zhì)量有關(guān),而且與剛體轉(zhuǎn)軸的位置

及剛體的質(zhì)量分布有關(guān);⑷轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有迭加性;

J=J1+J2+J3⑶轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有相對(duì)性;ZCdZ’剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距的二次方的乘積。⑸平行軸定理：J=Jc+md2例1:如圖一質(zhì)量為M長(zhǎng)為l的勻質(zhì)細(xì)桿，中間和右端各有一質(zhì)量皆為m的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求:桿轉(zhuǎn)到與水平方向成θ角時(shí),桿的角加速度是多少?解:設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向里為正,系統(tǒng)對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為該系統(tǒng)所受的合力矩為由轉(zhuǎn)動(dòng)定律:M=Jβ

可得方向:指里。θlmgmgMg§5.4轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用

練習(xí)1：如圖所示,有兩個(gè)質(zhì)量分別為M1、M2，半徑分別為R1、R2的勻質(zhì)定滑輪，輪緣上繞一細(xì)繩,其兩端掛著質(zhì)量分別為m1和m2的物體。若m1<m2,忽略軸承處的摩擦,且繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑輪,求滑輪的角加速度及繩子的張力T1、Ｔ2、T3。m2m1T2T1T3M1R1M2R2解：隔離物體分析力m1gm2gT1T1T3T3T2T2由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律可列方程如下當(dāng)M

1，M2質(zhì)量可以忽略時(shí)T1=T2=T3rivimiＰωZoi一、沖量矩----力矩作用于剛體的時(shí)間累積效應(yīng)定義:二、角動(dòng)量定理:1.剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量:2.角動(dòng)量定理:轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受合外力矩的沖量矩,等于在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)物體角動(dòng)量的增量。------角動(dòng)量定理§5.5角動(dòng)量守恒角動(dòng)量也稱動(dòng)量矩。例2

一棒長(zhǎng)l，質(zhì)量m，其質(zhì)量分布與O點(diǎn)距離成正比將細(xì)棒放在粗糙的水平面上，棒可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。棒與桌面的摩擦系數(shù)為。求：(1)細(xì)棒對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(2)細(xì)棒繞O點(diǎn)的摩擦力矩。(3)細(xì)棒從以ω0開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止所經(jīng)歷的時(shí)間。解：（2）細(xì)棒上距O點(diǎn)r處長(zhǎng)dr的線元所受的摩擦力：對(duì)O點(diǎn)的摩擦力矩(選z軸方向?yàn)檎?（3）由角動(dòng)量原理有：細(xì)棒繞O點(diǎn)的摩擦力矩:四、角動(dòng)量守恒定律:由角動(dòng)量定理可知：1.角動(dòng)量守恒有兩種情況:注意:當(dāng)剛體所受合力矩為零時(shí)即M=0時(shí),其角動(dòng)量L保持守恒。3.角動(dòng)量守恒定律與動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律一樣都是自然界的規(guī)律。一是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度都不變;二是兩者都變但二者的乘積不變。（M=0時(shí)）2.例：(i)(ii)例.如圖所示，在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤(pán)上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為處，人的質(zhì)量是圓盤(pán)質(zhì)量的1/10．開(kāi)始時(shí)盤(pán)載人對(duì)地以角速度w0勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)在此人垂直圓盤(pán)半徑相對(duì)于地以速率v沿與盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)相反方向作圓周運(yùn)動(dòng)，已知圓盤(pán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。12R212MRRvwR/2人與盤(pán)視為系統(tǒng)，所受對(duì)轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒．（選盤(pán)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的方向?yàn)檎较颍┙猓呵?/p>

：圓盤(pán)對(duì)地的角速度w．解得：(2)碰前棒作平動(dòng)，對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量按質(zhì)心處理。故有解：(1)細(xì)棒繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(3)設(shè)碰后的角速度為ω。碰撞中外力矩為零，角動(dòng)量守恒，例2光滑的水平桌面上有一個(gè)長(zhǎng)為l，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒，以速度v運(yùn)動(dòng)，與一固定于桌面上的釘子O相碰，碰后細(xì)棒繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)棒繞O

點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；碰前棒對(duì)O

點(diǎn)的角動(dòng)量；碰后棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。求：所以復(fù)習(xí)：三、角動(dòng)量二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、轉(zhuǎn)動(dòng)定律六、剛體的角動(dòng)量守恒定律五、剛體的角動(dòng)量原理一、剛體：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形變可以忽略的物體。將剛體看成許多質(zhì)量分別為m1、m2…mi……mn的質(zhì)點(diǎn);各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為r1、r2…ri…rn整個(gè)剛體的動(dòng)能一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能—稱剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能則第i個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能§5.6轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能剛體的重力勢(shì)能可按質(zhì)心的重力勢(shì)能計(jì)算。二、剛體的重力勢(shì)能O----力矩作用于剛體的空間累積效應(yīng)當(dāng)力持續(xù)作用于剛體使其角位置由θ1到θ2時(shí),力矩的功為φ如圖力F作用于P點(diǎn)使剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)微小角度d,P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的線位移為dr,力所作的元功dθr三、力矩的功drαpF當(dāng)力矩為常量時(shí),功為對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸,剛體中所有內(nèi)力矩功的總和為零。四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理則在該過(guò)程中力矩的功為：即,合外力矩對(duì)剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)所作的功,等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量--------剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理設(shè)剛體初始時(shí)的角位置和角速度分別為θ1和ω1，末態(tài)的角位置和角速度分別為θ2和ω2,五、剛體系統(tǒng)的功能原理A外力=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）當(dāng)含剛體的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有保守力內(nèi)力做功時(shí),在該過(guò)程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

例1.已知棒L，M可繞桿上端水平軸O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量m的泥團(tuán)以速度v0打桿的中部并粘住。求：桿剛