第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)C

第6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

6.1數(shù)字濾波器的基本概念6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

切比雪夫Ⅰ型濾波器設(shè)計(jì)步驟：(1)確定技術(shù)指標(biāo)參數(shù)p、Ωp、s和Ωs。(2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε。(3)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。(4)將Ga(p)去歸一化，得到實(shí)際的Ha(s)

6.2.5五種類型模擬濾波器的比較

當(dāng)階數(shù)相同時(shí)，對(duì)相同的通帶最大衰減

p和阻帶最小衰減s：巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。兩種類型的切比雪夫?yàn)V波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫Ⅰ型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性。切比雪夫Ⅱ型濾波器的通帶幅頻響應(yīng)幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

相位逼近情況:巴特沃思和切比雪夫?yàn)V波器在大約3/4的通帶上非常接近線性相位特性，而橢圓濾波器僅在大約半個(gè)通帶上非常接近線性相位特性。貝塞爾濾波器在整個(gè)通帶逼近線性相位特性，而其幅頻特性的過渡帶比其他四種濾波器寬得多。

復(fù)雜性:在滿足相同的濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)而言，橢圓濾波器的性能價(jià)格比最高，應(yīng)用較廣泛。6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是:(1)通過頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾波器指標(biāo)；(2)設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)；(3)對(duì)Q(p)進(jìn)行頻率變換，得到希望設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。

1．模擬高通濾波器設(shè)計(jì)

(1）將希望設(shè)計(jì)的高通濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的低通濾波器Q(p)的指標(biāo)。6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)（2）設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。（3）將Q(p)轉(zhuǎn)換成希望設(shè)計(jì)的高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)。（6.2.50）2．帶通濾波器設(shè)計(jì)①將希望設(shè)計(jì)的帶通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通原型濾波器Q(p)的指標(biāo)。（6.2.54）②設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。設(shè)計(jì)過程與例6.2.1完全相同。③將Q(p)轉(zhuǎn)換成所希望設(shè)計(jì)的帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)HBP(s)。（6.2.53）3．帶阻濾波器設(shè)計(jì)①將希望設(shè)計(jì)的帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通原型濾波器Q(p)的指標(biāo)。②設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。設(shè)計(jì)過程與例6.2.1完全相同。③將Q(p)轉(zhuǎn)換成所希望設(shè)計(jì)的帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)HBs(s)。（6.2.58）（6.2.59）6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器

為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)1.Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)穩(wěn)定條件設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),其單位沖激響應(yīng)是ha(t)設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：(6.3.2)6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2.脈沖響應(yīng)不變法原理對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：

(6.3.3)對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：(6.3.4)6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)幾點(diǎn)結(jié)論:1）2）系數(shù)相同3）模擬濾波器是穩(wěn)定的，數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。4）S平面的極點(diǎn)與Z平面的極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，但兩平面零點(diǎn)并不一一對(duì)應(yīng)。6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此，得到：(6.3.5)6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)表明理想采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的采樣序列h(n)的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：3.s平面和z平面之間的映射關(guān)系設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用表示，(6.3.6)設(shè)s=σ+jΩ,z=rejω，由上式可得：rejω=eσTejΩT

(6.3.7)s平面的虛軸(σ=0)→

z平面的單位圓(r=1)s平面左半平面(σ<0)→

z平面單位圓內(nèi)(r<1)s平面右半平面→

z平面單位圓外(r>1)6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)即：說明：Ha(s)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的H(z)是因果穩(wěn)定。上式就是脈沖響應(yīng)不變法對(duì)應(yīng)的s平面到z平面的映射關(guān)系。另外，注意到z=esT是一個(gè)周期函數(shù)，可寫成當(dāng)σ不變，模擬頻率Ω變化2π/T的整數(shù)倍時(shí)，映射值不變?；蛘哒f，將s平面沿著jΩ軸分割成一條條寬為2π/T的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對(duì)應(yīng)著整個(gè)z平面。此時(shí)s平面與z平面的映射關(guān)系如圖所示。6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖6.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的頻響特性與模擬濾波器的頻響特性之間的關(guān)系：表明：H(ejΩT)是Ha(jΩ)以2π/T為周期的周期延拓函數(shù)（對(duì)數(shù)字頻率，則是以2π為周期）6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)4.數(shù)字濾波器的頻響特性圖6.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)5脈沖響應(yīng)不變法優(yōu)缺點(diǎn)缺點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生頻率混疊，適合低通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。優(yōu)點(diǎn)：頻率坐標(biāo)變換是線性的，即數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時(shí)域特性逼近好。6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足則：但是，H(ejω)的幅度與采樣間隔成反比，當(dāng)T很小時(shí)，|H(ejω)|就會(huì)太高。為避免這一現(xiàn)象，令6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.修正公式一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(6.3.11)對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為(6.3.12)6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)7.數(shù)字濾波器二階基本節(jié)如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(6.3.13)6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(6.3.14)[Bz,Az]=impinvar(B,A)實(shí)現(xiàn)用脈沖響應(yīng)不變法將分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量為B和A的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，H(z)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量為Bz和Az。8.matlab中脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換函數(shù)6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解首先將Ha(s)寫成部分分式：極點(diǎn)為那么H(z)的極點(diǎn)為6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)那么H(z)的極點(diǎn)為按照(6.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到：式中,T是采樣間隔，若T選取過大，則會(huì)使ω=π附近頻譜混疊現(xiàn)象嚴(yán)重。

6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)這里選取T=1s和T=0.1s兩種情況，以便進(jìn)行比較。設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則比較T=1和T=0.1的誤差，確定T值。再按照(6.3.14)式，H(z)為轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。先求出Ha(s)極點(diǎn)：s1,2=σ1±jΩ1則：6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖6.3.3例6.3.1的幅度特性6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)【例6.3.2】用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性，指標(biāo)參數(shù)如下:ωp=0.2πrad，

p=1dB,ωs=0.35πrad,

s=10dB。

解

（1）將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期為T，則：6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(2）設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃斯濾波器。設(shè)計(jì)過程與例6.2.1完全相同，求出階數(shù)N=4。（3）將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)：如上求解計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。本例調(diào)用MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)程序ep632.m如下。6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)％例6.3.2用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器程序:ep632.mT=1； ％T=1swp=0.2*pi/T;ws=0.35*pi/T;rp=1;rs=10;％T=1s的模擬濾波器指標(biāo)［N,wc］=buttord(wp,ws,rp,rs,'s'); ％計(jì)算相應(yīng)的模擬濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率wc［B,A］=butter(N,wc,'s'); ％計(jì)算相應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)［Bz,Az］=impinvar(B,A); ％用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器省略繪圖部分。6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

取T=1s時(shí)的運(yùn)行結(jié)果：N=4模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A：B=［00000.4872］A=［1.00002.18322.38321.52400.48