第五章 數控裝置軌跡控制原理

第五章插補計算原理

概述逐點比較法數字積分法

數字脈沖乘法器數據采樣插補法

其它插補方法刀具半徑補償插補技術是數控系統(tǒng)的核心技術§5-1

概述1.插補的定義

加工直線的程序

N3G01X-45000Y-75000F150§5-1

概述1.插補的定義

數據密集化的過程。數控系統(tǒng)根據輸入的基本數據（直線起點、終點坐標，圓弧圓心、起點、終點坐標、進給速度等）運用一定的算法，自動的在有限坐標點之間形成一系列的坐標數據，從而自動的對各坐標軸進行脈沖分配，完成整個線段的軌跡分析，以滿足加工精度的要求。

數學模型：直線、圓弧、二次曲線、螺旋線、自由曲線等要求：實時性好，算法誤差小、精度高、速度均勻性好§5-1

概述2.分類插補是數控系統(tǒng)必備功能，NC中由硬件完成，CNC中由軟件實現(xiàn)，兩者原理相同?；鶞拭}沖插補（脈沖增量插補）逐點比較法數字脈沖乘法器數字積分法矢量判別法比較積分法數據采樣插補（單位時間）§5-2逐點比較法

應用廣泛，能實現(xiàn)平面直線、圓弧、二次曲線插補，精度高。一、逐點比較法直線插補

yoxA(xe,ye)脈沖當量δ

相對于每個脈沖信號，機床移動部件的位移，常見的有：0.01mm0.005mm0.001mm1.基本原理

在刀具按要求軌跡運動加工零件輪廓的過程中，不斷比較刀具與被加工零件輪廓之間的相對位置，并根據比較結果決定下一步的進給方向，使刀具向減小誤差的方向進給。其算法最大偏差不會超過一個脈沖當量δ。每進給一步需要四個節(jié)拍：

坐標進給偏差判別新偏差計算終點比較

一、逐點比較法直線插補2.算法分析（第Ⅰ象限）偏差判別P(xi,yj)F>0F<0A(xe,ye)yox直線上直線上方直線下方偏差判別函數坐標進給F>0F<0yox直線上直線上方直線下方+△x或+△y方向+△x方向+△y方向A(xe,ye)

新偏差計算

+△x進給：

+△y進給：終點比較用Xe+Ye作為計數器，每走一步對計數器進行減1計算，直到計數器為零為止。

第一拍判別第二拍進給第三拍運算第四拍比較總結

3.運算舉例（第Ⅰ

象限）加工直線OA，終點坐標xe=6,ye=4,

解：插補從直線起點開始，故F0=0；終點判別：E存入X、Y坐標方向總步數，即E＝6＋4=10，E=0時停止插補。

插補過程演示

步數偏差判別坐標進給偏差計算終點判斷起點

F0=0E=101F0=0＋XF1=F0－ye=0－4=－4E=10－1=92F1＜0＋YF2=F1＋xe=－4＋6=2E=9－1=83F2＞0＋XF3=F2－ye=2－4=－2E=8－1=74F3＜0＋YF4=F3＋xe=－2＋6=4E=7－1=65F4＞0＋XF5=F4－ye=4－4=0E=6－1=56F5=0＋XF6=F5－ye=0－4=－4E=5－1=47F6＜0＋YF7=F6＋xe=－4＋6=2E=4－1=38F7＞0＋XF8=F7－ye=2－4=－2E=3－1=29F8＜0＋YF9=F7＋xe=－2＋6=4E=2－1=110F9＞0＋XF10=F9－ye=4－4=0E=1－1=0二、逐點比較法圓弧插補

（第Ⅰ

象限逆圓弧）偏差判別圓弧上圓弧外圓弧內偏差判別函數yoxP(x0,y0)F<0F>0坐標進給圓弧上圓弧外圓弧內

新偏差計算yoxF<0F>0-△x或+△y方向-△x方向+△y方向P(x0,y0)終點比較

用(X0-Xe)+(Ye-Y0)作為計數器，每走一步對計數器進行減1計算，直到計數器為零為止?？偨Y

第一拍判別第二拍進給第三拍運算第四拍比較

3.運算舉例（第Ⅰ

象限逆圓弧）例：

起點A（6,0）,終點B（0,6）。逐點比較法進行插補，畫出插補軌跡。解：插補從圓弧起點開始，故F0=0；

E存X、Y方向總步數，E＝6＋6=12，每進給一步減1，E=0時停止插補。

插補過程演示

步數偏差判別坐標進給偏差計算坐標計算終點判斷起點

F0=0x0=6y0=0E=121F0=0－XF1=F0－2x0＋1=0－12＋1=－11x1=6－1=5y1=0E=112F1＜0＋YF2=F1＋2y1＋1=－11＋0＋1=－10x2=5y2=0＋1=1E=103F2＜0＋YF3=F2＋2y2＋1=－10＋2＋1=－7x3=5y3=1＋1=2E=94F3＜0＋YF4=F3＋2y3＋1=－7＋4＋1=－2x4=5y4=2＋1=3E=85F4＜0＋YF5=F4＋2y4＋1=－2＋6＋1=5x5=5y5=3＋1=4E=76F5＞0－XF6=F5－2x5＋1=5－10＋1=－4x6=5－1=4y6=4E=67F6＜0＋YF7=F6＋2y6＋1=－4＋8＋1=5x7=4y7=4＋1=5E=58F7＞0－XF8=F7－2x7＋1=5－8＋1=－2x8=4－1=3y8=5E=49F8＜0＋YF9=F8＋2y8＋1=－2＋10＋1=9x9=3y9=5＋1=6E=310F9＞0－XF10=F9－2x9＋1=9－6＋1=4x10=3－1=2y10=6E=211F10＞0－XF11=F10－2x10＋1=4－4＋1=1x11=2－1=1y11=6E=112F11＞0－XF12=F11－2x11＋1=1－2＋1=0x12=1－1=0y12=6E=0逐點比較法總結判別：判別刀具當前位置相對于給定輪廓的偏差狀況。進給：根據判斷結果，控制相應坐標軸的進給方向。運算：按偏差計算公式重新計算新位置的偏差值。比較：若已經插補到終點，結束插補計算，否則重復上述過程。類型坐標進給偏差計算公式Ⅰ直線Ⅰ逆圓弧逐點比較法直線插補的象限處理

象限結論

F≥0:

應往X軸絕對值增大方向走步;F<0:

應往Y軸絕對值增大方向走步。逐點比較法圓弧插補的象限處理

總結:

逐點比較法插補的象限處理應遵循以下原則：

一、是靠近待加工軌跡。二、是跟蹤待加工軌跡走向。5.3數字積分法

數字積分法：數字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer，簡稱DDA）。優(yōu)點：運算速度快、脈沖分配均勻、易于實現(xiàn)多坐標聯(lián)動或多坐標空間曲線的插補。求函數y=f（x）對x的積分運算，是求函數曲線與X軸在積分區(qū)間所包圍的面積F。

求面積F可轉化成

數字運算時，一般取Δx為單位“1”，即一個脈沖當量，則函數的積分運算變成了對變量的求和運算起點O（0,0），終點A（xe

,ye），設進給速度V是均勻的，直線長度L，則有5.3.1DDA法直線插補△t時間內，X和Y方向移動的微小增量△x、△y

：動點從原點走向終點，可看作是各坐標每經過一個△t分別以增量kxe、kye累加的結果。設經過m次累加X和Y方向到達A（xe

,ye），則：

取△t＝1，

則

mk=1m是整數，所以k為小數。選取k時考慮：xe

、ye最大值（寄存器位數n）為2n－1，所以一般取

說明：DDA直線插補整個過程需要2n次累加能到達終點。

k（2n－1）<1，則：m＝2n思考：當k=1/2n時，對二進制數來說，kxe與xe有何不一樣?只在于小數點的位置不同，將xe的小數點左移n位即為kxe。

n位內存中存放xe

和kxe的數字是相同的，認為后者小數點出現(xiàn)在最高位數n的前面。對kxe、kye的累加轉變?yōu)閷e

與ye的累加。

X—Y平面的DDA直線插補器的示意圖：00tY軸溢出脈沖X軸溢出脈沖+被積函數寄存器JVY（ye）Y積分累加器JRYX積分累加器J

RX被積函數寄存器JVX（xe）+插補迭代控制脈沖ΔxΔyyx直線插補終點判別：m=2n為終點判別依據插補第一象限直線流程圖m＝24＝16。插補計算過程見表，軌跡如圖示。例5-4直線起點O（0，0），終點A（8，6），用四位寄存器，寫出直線DDA插補過程并畫出插補軌跡。累加次數

mX積分器

JVX（存xe

）

X積分器JRX（∑xe）

X積分器

△x

Y積分器

JVY（存ye）

Y積分器JRY（∑ye）

Y積分器△y

01000000110001

10000

011002

00001

110003

10000

001014

00001

100005

10000

111006

00001

010017

10000

101008

00001

000019

10000

0110010

00001

1100011

10000

0010112

00001

1000013

10000

1110014

00001

0100115

10000

1000016

00001

00001插補其他象限直線：把坐標與脈沖進給方向分開；取終點坐標的絕對值存入被積函數寄存器，插補計算公式與插補第一象限直線時一樣；脈沖進給方向是直線終點坐標絕對值增加的方向。?5.3.2DDA法圓弧插補

（第一象限逆圓?。┑毒哐貓A弧切線方向勻速進給，可認為比例常數k為常數。在一個單位時間間隔△t內，△x、△y為：用兩個積分器實現(xiàn)圓弧插補，k的省略原因和直線時類同。

-1+1JVY插補迭代控制脈沖ΔtY軸溢出脈沖X軸溢出脈沖+Y積分累加器JRYX積分累加器JRXJVX+ΔxΔy(yi)(xi)DDA第一象限逆圓弧插補與直線插補的區(qū)別：1．xi，yj存入JVX、JVY的對應關系與直線不同，恰好位置互調，即yj存入JVX，而xi存入JVY中；2．直線插補時JVX、JVY寄存的是常數（xe或

ye）；圓弧插補時寄存的是變量（動點xi或yj）。起點時JVX、JVY寄存y0、x0；插補時JRY每溢出一個△y脈沖，JVX加“1”；反之，JRX溢出一個△x脈沖時，JVY減“1”。減“1”的原因：刀具作逆圓運動時x坐標作負方向進給，動點坐標不斷減少

3．圓弧插補終點判別用2個計數器；直線迭代2n次DDA法圓弧插補的終點判別：各軸各設一個終點判別計數器，當各軸終點判別計數器都減為0時，停止插補。根據JVX、JVY的存數判斷是否到達終點，如果JVX中存數是ye、JVY中存數是xe，則到終點。例5-5第一象限逆圓弧，起點A（5，0），終點B（0，5），用三位寄存器，寫出DDA插補過程，畫出軌跡圖。EX＝5，EY＝5，X和Y積分器有溢出時，EX、EY減“1”，均為0時結束。插補計算過程見表，軌跡如圖。累加次數m

X積分器

JVX（存yj）

X積分器

JRXX積分器

JVXEX

Y積分器

JVY（存xi）Y積分器

JRYY積分器

JRYEY

000000001011010000101

1000000010110110101012000000010110101011002001

3001001010110111101004001010010110110010114010

5010100010110100110105011

6011111010110111000107011010110010101110017100

100

8100110010010011100019100010101110001110009101

011

101011110011011

111010011001011

11

010

121010011001010

10112

001

101131011100001001

100141010011000001

A（0，5）B（5，0）n=3EX＝5，EY＝5練習：累加次數m

X積分器

JVX（存yj）

X積分器

JRXX積分器

JVXEX

Y積分器

JVY（存xi）Y積分器

JRYY積分器

JRYEY

010100001010000000101

11011011012

010

+1100

31110010014100+10110105001+101001010061100111117011

+1

001

010-1

10081001111001109011+1000010-101110011101

111

11100

-1

01012010

001-1

00113001

110

14

011

-100015000

B5123412345XOAY其它象限順、逆圓插補過程基本與第一象限逆圓弧一致，區(qū)別是控制△x、△y進給方向不同；修改Jvx、Jvy內容是加“1”還是減“1”，由xi和yj坐標值的增減而定。

SR1

SR2SR3

SR4

NR1

NR2

NR3

NR4

Jvx（yj）Jvy（xi）△x△y

－1＋1＋－

＋1－1＋＋

－1＋1－＋

＋1－1－－

＋1－1－＋

－1＋1－－

＋1－1＋－

－1＋1＋＋

A(0,-5)B(5,0)JvxJRyJRxJvyExEy505500555500545005745112+1543512525245625371+1+1514324714463+1+1……….練習：進給速度受被加工直線長度和圓弧半徑影響。（為什么？）DDA法直線插補，不論JVX中存數大小(不論行程長短)，完成m＝2n次累加到達終點；直線短，進給慢，速度低；直線長，進給快，速度高。加工短直線生產效率低；加工長直線零件表面質量差。1．進給速度均勻化措施——左移規(guī)格化5.3.3提高DDA法插補質量的措施DDA法是脈沖源每產生一個脈沖，作一次累加計算，如果脈沖源頻率（插補脈沖頻率）為f，插補直線的終點坐標為E（Xe，Ye），則X，Y方向平均進給頻率fx，fy為累加次數V與L或R成正比插補脈沖頻率脈沖當量進給速度為使溢出脈沖均勻，并提高溢出速度，常采用設置進給速率數FRN（FeedRateNumber）或左移規(guī)格化（常用）等措施。（1）設置進給速率數FRN

G93通過FRN調整f，使其與V相協(xié)調，消除L與R對V的影響。（2）左移規(guī)格化一般規(guī)定：寄存器中的數，若最高位為“1”，稱為規(guī)格化數；最高位為“0”，稱為非規(guī)格化數。對規(guī)格化數，累加運算兩次必有一次溢出；對非規(guī)格化數，作兩次甚至多次累加運算才有溢出。1）直線插補的左移規(guī)格化直線插補時，將JVX、JVY中非規(guī)格化數xe

、ye同時左移，直到JVX、JVY中至少有一個數是規(guī)格化數為止，稱為左移規(guī)格化。每左移一位，數值增大一倍，即乘2，kxe或kye的k改為k=1/2n－1，所以m＝2n－1次，減小一半。若左移s位，則m=?左移規(guī)格化的同時，終點判別計數器中的數相應從最高位輸入“1”右移，例：

左移前

左移一位

左移三位JVX000011000110011000JVY000101001010101000E000000100000111000m＝2n－s例：第一象限一直線，起點原點，終點A（7，5），寄存器4位。左移規(guī)格化前寄存器的數0111及0101，累加運算16次。左移規(guī)格化后寄存器的數1110及1010，需累加運算8次。2）圓弧插補的左移規(guī)格化JVX、JVY中的數，隨加工的進行寄存數可能不斷增加（加“1”修正），如取最高位為“1”作規(guī)格化數，有可能加“1”修正后溢出。圓弧插補的左移規(guī)格化使坐標值最大的被積函數寄存器的次高位為1，將JVX、JVY寄存器中次高位為“1”的數稱為規(guī)格化數。規(guī)格化數提前一位產生，寄存器的容量≥2R左移s位，X、Y方向坐標值擴大2s倍，即JVX、JVY中的數分別為2syj及2sxi，當JRY有溢出Δy時，JVX中的數改為

2syj→2s（yj＋1）＝2syj

＋2sJVX增加2s，不是加1，即JVX第s＋1位加“l(fā)”。同理，若JRX溢出一個脈沖時，JVY減小2s，即第s＋1位減“l(fā)”。

直線插補時，規(guī)格化后最大坐標值可能為111…111，每次迭代有溢出；最小值可能為100…000，每兩次迭代有溢出，可見溢出速率相差1倍；圓弧插補時，規(guī)格化后最大坐標值可能為011…111，可能的最小值為010…000，其溢出速率也相差一倍。左移規(guī)格化后，不僅提高溢出速度，且使溢出脈沖較均勻，加工效率和質量大為提高。2．提高插補精度的措施—余數寄存器預置數DDA直線插補誤差＜1個脈沖當量，但圓弧插補誤差可能＞1個脈沖當量，原因：一積分器被積函數寄存器中的值接近零——幾乎沒有溢出，另一積分器被積函數寄存器中的值接近最大值（圓弧半徑）——可能連續(xù)溢出兩個積分器的溢出脈沖速率相差很大，致使插補軌跡偏離理論曲線措施：增加積分器位數，從而增加迭代次數。但進給速度卻降低了。常用“余數寄存器預置數”的方法，即：插補前，JRX、JRY預置某一數值（不是零），可以是2n－1（111…111），稱為全加載，可以是小于最大容量的某個數，如2n／2（100…000），稱為半加載?！鞍爰虞d”可使直線插補的誤差減小到半個脈沖當量內。例：對直線OA（15，1）進行插補對圓弧插補進行“半加載”、“全加載”未經"半加載""半加載"后理論曲線Y5123412345OX全加載被積函數值較小、不能很快產生溢出脈沖時，通過“全加載”、“半加載”，使脈沖提前溢出，改變溢出脈沖的時間分布，以減少插補誤差。為方便，可通過對方程求導數（全微分）將增量△x、△y、△t直接寫成微分形式dx、dy、dt：標準橢圓方程

雙曲線標準方程

拋物線標準方程

5.3.4其它函數的DDA插補運算

設X和Y軸位移增量分別為△x、△y。插補時，取增量大的作長軸，增量小的為短軸，要求X和Y軸的速度保持一定比例，且同時到達終點。

5.4.1直線函數法（弦線法）直線插補

XYE（xe,ye)Pl5.4.2直線函數法圓弧插補

以內接弦進給代替弧線進給，提高了圓弧插補的精度。采用sin45°和cos45°來取代sin