第五章 線性系統(tǒng)頻率分析法(一)

第五章頻率分析法

以控制系統(tǒng)的頻率特性作為數(shù)學(xué)模型主要以波德圖

(Bode)來作為分析工具分析控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能

2/3/20231重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院頻率特性法是分析線性系統(tǒng)的工程實(shí)用方法。頻率響應(yīng)—系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。頻率特性—系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)之間的關(guān)系。在頻率響應(yīng)法中，在一定的范圍內(nèi)改變輸入信號(hào)的頻率，研究其產(chǎn)生的響應(yīng)頻率響應(yīng)法和根軌跡法是互為補(bǔ)充的兩種方法

頻率響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)之一，是可以利用對(duì)物理系統(tǒng)測量得到的數(shù)據(jù)，而不必推導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2/3/20232重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個(gè)幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40不結(jié)論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個(gè)正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。2/3/20233重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院§5.1頻率特性

一、基本概念

系統(tǒng)傳遞函數(shù)令：s=jω，得到另一個(gè)復(fù)變函數(shù)(正弦傳遞函數(shù))，即頻率特性實(shí)部、虛部表示

P(ω)、Q(ω)分別為頻率ω的函數(shù)幅值、幅角表示

A(ω)、φ(ω)分別為頻率ω的函數(shù)2/3/20234重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)引例5－1RC電路如圖所示2/3/20235重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院寫成幅值與幅角表達(dá)式幅頻特性相頻特性兩條特性曲線如圖。

2/3/20236重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二、頻率特性的定義 已知線性定常系統(tǒng)，輸入信號(hào)為r(t)，其付氏變換存在為R(j)。系統(tǒng)的輸出信號(hào)為c(t)，其付氏變換為C(j)，

定義線性定常系統(tǒng)的頻率特性為輸出信號(hào)的付氏變換C(j)與輸入信號(hào)的付氏變換R(j)之比，表為

2/3/20237重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院關(guān)于頻率特性的討論（1）付氏變換的存在條件滿足狄里赫萊條件即絕對(duì)值積分存在，這限制了付氏變換在許多場合下的應(yīng)用。 因此，許多常用的時(shí)域函數(shù)沒有付氏變換，如階躍函數(shù)等。2/3/20238重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（2）頻率特性與微分方程的關(guān)系微分方程為類似拉氏變換，方程兩邊作付氏變換輸出與輸入的付氏變換的比值所以頻率特性G(j)是在頻率域中來表示線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2/3/20239重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（3）付氏變換與拉氏變換的關(guān)系階躍函數(shù)，增加衰減因子e-t，>0，滿足狄里赫萊條件，其付氏變換存在

付氏變換是拉氏變換在s=j時(shí)的特例。2/3/202310重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院三、頻率特性的數(shù)學(xué)表示及作圖

1、極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖又稱幅相圖、奈奎斯特（Nyquist）圖復(fù)變函數(shù)G(j)表為實(shí)部、虛部

或表為模、相位角復(fù)平面曲線如圖所示。

曲線實(shí)軸對(duì)稱不便于徒手作圖

2/3/202311重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 又稱為波德（Bode）圖由于分別作兩張圖 A()——幅頻特性，是頻率的函數(shù) ()——相頻特性，是頻率的函數(shù)如一階RC網(wǎng)絡(luò)。

徒手描點(diǎn)不方便，

展示不清晰，分別將A()、()作對(duì)數(shù)變換即成為波德（Bode）圖。2/3/202312重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院對(duì)數(shù)幅頻特性L()將兩坐標(biāo)軸分別取對(duì)數(shù)作為新的坐標(biāo)軸如圖所示。

縱軸： 橫軸：2/3/202313重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院對(duì)數(shù)相頻特性()

縱軸：()不取對(duì)數(shù) 縱軸：

2/3/202314重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院一階RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性與對(duì)數(shù)頻率特性的比較波德圖優(yōu)點(diǎn)：（1）波德圖展寬頻帶：可視頻帶(粗),表示頻帶(精)

（2）基本環(huán)節(jié)都可以由漸近線畫出

2/3/202315重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（3）疊加作圖作圖方便。例如對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性2/3/202316重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院§5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)頻率特性 波德圖幅值為 幅頻特性幅角為 相頻特性極坐標(biāo)圖2/3/202317重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二、積分環(huán)節(jié)頻率特性 幅值為 幅角為

極坐標(biāo)圖波德圖幅頻特性相頻特性2/3/202318重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院三、微分環(huán)節(jié)

頻率特性 幅值為 幅角為 極坐標(biāo)圖波德圖幅頻特性相頻特性2/3/202319重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院四、一階慣性環(huán)節(jié)頻率特性 極坐標(biāo)圖實(shí)部與虛部表達(dá)式模角表達(dá)式幅值為 幅角為由于 2/3/202320重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院可以證明，軌跡為一圓。2/3/202321重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院波德圖對(duì)數(shù)幅頻特性

可用漸近線作圖交點(diǎn)為對(duì)數(shù)相頻特性

兩邊反對(duì)稱。2/3/202322重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院漸近線作圖的折線誤差

處應(yīng)有最大誤差，代入模表達(dá)式誤差特性如圖誤差修正如圖。2/3/202323重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院五、一階微分環(huán)節(jié)

頻率特性極坐標(biāo)圖幅頻特性相頻特性波德圖對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性可依一階慣性環(huán)節(jié)反對(duì)稱畫出。2/3/202324重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院六、二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)令 為時(shí)間常數(shù)，代入上式頻率特性為

2/3/202325重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院極坐標(biāo)圖幅頻特性 相頻特性極限點(diǎn)有 由于 幅角單調(diào)減幅值先增后減， 有極值由諧振頻率諧振峰值阻尼比不同時(shí)，極坐標(biāo)圖如圖所示。2/3/202326重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院波德圖對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線作圖粗實(shí)線所示，交點(diǎn)為阻尼比不同時(shí)>0.707 無諧振峰值=0.707 臨界諧振<0.707 有諧振峰值3條特性如圖所示。2/3/202327重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二階振蕩環(huán)節(jié)波德圖對(duì)數(shù)相頻特性由于三個(gè)特征角度阻尼比不同時(shí)，在鄰域角度變化率不同如圖。2/3/202328重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二階振蕩環(huán)節(jié)波德圖2/3/202329重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院七、二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性極坐標(biāo)圖波德圖參照二階振蕩環(huán)節(jié)，橫軸對(duì)稱畫出。

2/3/202330重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院八、延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅值 恒為1幅角極坐標(biāo)圖 波德圖

2/3/202331重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院§5.3控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性作圖一、開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性作圖結(jié)構(gòu)圖開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)頻率特性分解基本環(huán)節(jié)則開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性2/3/202332重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（1）典型環(huán)節(jié)疊加作圖例5－2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為作開環(huán)系統(tǒng)波德圖。

解寫出基本環(huán)節(jié)1、2、3、4、5、2/3/202333重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院對(duì)數(shù)幅頻特性在圖上作疊加合成

2/3/202334重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院對(duì)數(shù)幅頻特性作出各基本環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性如圖，疊加，得到疊加時(shí)，粗略地做環(huán)節(jié)特征點(diǎn)疊加即可，2/3/202335重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（2）轉(zhuǎn)折漸進(jìn)作圖由于步驟一： 確定低頻段斜率和低頻段高度，作出低頻段曲線至第一轉(zhuǎn)折頻率，在低頻段有在低頻段作出Lo低和0低。2/3/202336重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院步驟二：由于全部為一階因子或者二階因子，均在轉(zhuǎn)折頻率處發(fā)生向上或者向下轉(zhuǎn)折，斜率分別為20dB/dec，

40dB/dec等。從低頻段到高頻段逐步前進(jìn)，以漸進(jìn)方式作出折線特性，

2/3/202337重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院例5－3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為作對(duì)數(shù)開環(huán)頻率特性。

解低頻段為為=1.58處過0dB線的積分特性。作斜率為-20dB/dec，過=1.58的斜線如圖所示。轉(zhuǎn)折特性為2/3/202338重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院作轉(zhuǎn)折漸進(jìn)表（幅頻特性）：轉(zhuǎn)折漸進(jìn)，作出折線圖。對(duì)數(shù)相頻特性低頻段特性 0低=-90高頻段特性 0高=-180每一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率處，有：一階因子45特征點(diǎn)，二階因子90特征點(diǎn)，可作出

()。漸進(jìn)順序(1+50s)-1(1+10s)(1+s)(1+0.2s+0.52s2)-1轉(zhuǎn)折頻率0.020.112轉(zhuǎn)折斜率-20dB/+20dB/+20dB/-40dB/2/3/202339重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院L()與()階的漸進(jìn)作圖。2/3/202340重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二、開環(huán)極坐標(biāo)圖作圖

由于：因此極坐標(biāo)圖需要描點(diǎn)作圖。但是，系統(tǒng)分析，特別是穩(wěn)定性分析，可以徒手作極坐標(biāo)草圖。開環(huán)頻率特性為其中，2/3/202341重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)由于 所以模 角所以不同時(shí)，極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)如圖所示。

2/3/202342重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)由于模 角所以，極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)如圖所示。

2/3/202343重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院坐標(biāo)軸穿越點(diǎn)與單位圓穿越點(diǎn)

坐標(biāo)軸穿越點(diǎn)處，為角度 的整數(shù)倍角。單位圓穿越點(diǎn)處，模為單位1。2/3/202344重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院例5－4已知開環(huán)傳遞函數(shù)為試作其極坐標(biāo)草圖。

解由于=1， 起點(diǎn)位于負(fù)虛軸無窮遠(yuǎn)處。由于n-m=2， 曲線以相位角-180趨于原點(diǎn)。幅角為增加時(shí)，()單調(diào)減，趨勢作圖如圖所示。該題簡單，可由解析法作圖。2/3/202345重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院解析法作圖近似草圖 解析法作圖2/3/202346重慶郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院例5－5開環(huán)傳遞函數(shù)為試作出極坐標(biāo)圖的草圖。

解由于=2，曲線起于負(fù)虛軸。由于n-m=3，曲線以-270終于原點(diǎn)。相角由-180先減后增，作草圖。確定穿越點(diǎn)： 穿過負(fù)實(shí)軸如圖。增益K可以決定A()的大小，即穿過負(fù)實(shí)軸時(shí)模的大小如圖。

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