第五章1(定積分的概念及性質(zhì))

第五章定積分的概念與性質(zhì)

微積分的基本構(gòu)成微積分積分微分定積分不定積分互逆的函數(shù)運(yùn)算3定積分的思想起源于不規(guī)則對象的度量

以平面幾何形狀的面積度量為例先考慮規(guī)則形狀面積的度量如何求不規(guī)則形狀的面積？面積S=?問題：如何計(jì)算這些不規(guī)則區(qū)域的面積？y如何求不規(guī)則形狀的面積？為了簡單起見，我們先考慮邊界部分不規(guī)則的情況我們采取“以直代曲”的思想xab0xyab00xaby定積分的引入在區(qū)間中插入n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)

長度為把分成n個(gè)小區(qū)間

任取以為底，為高的小矩形面積為因此藍(lán)色區(qū)域的面積為：當(dāng)分割無限加細(xì)，即小區(qū)間的長度趨向于零曲邊梯形面積的近似值為

若右式極限存在曲邊梯形的面積定積分的引入xaby0設(shè)函數(shù)

在上有界，

把區(qū)間分成任意n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)區(qū)間的長度是在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式記，若當(dāng)時(shí)，和式的極限存在，（記為），則稱在上是可積的，極限值稱為在上的定積分，記作。定積分的定義用分點(diǎn)被積函數(shù)積分變量積分下限積分上限積分和注意：定理1：定理2：可積函數(shù)問題：在閉區(qū)間[a,b]上,什么樣的函數(shù)是可積的呢？定積分的幾何意義曲邊梯形面積各部分面積的代數(shù)和曲邊梯形面積的負(fù)值解：利用定義計(jì)算定積分例1：右側(cè)取點(diǎn)利用定義計(jì)算定積分例2：解：在[0,1]上連續(xù)，故f(x)在[0,1]上可積為方便計(jì)，將[0,1]n

等分，左側(cè)取點(diǎn)等比數(shù)列左側(cè)取點(diǎn)解:觀察表達(dá)式.例3：定積分的性質(zhì)對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:在下面的性質(zhì)中，我們都假設(shè)各函數(shù)的定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。f明：交換定積分的上下限時(shí)，定積分的絕對值不變，符號相反.證：此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況性質(zhì)1：性質(zhì)2：證：性質(zhì)1+性質(zhì)2得：即線性組合的定積分等于定積分的線性組合——說明定積分也具有線性運(yùn)算性質(zhì).補(bǔ)充：不論的相對位置如何,上式總成立.例如則定積分對于積分區(qū)間具有可加性.性質(zhì)3性質(zhì)5（非負(fù)性）證性質(zhì)4性質(zhì)5的推論：（比較定理）（1）（2）例1：解：令

設(shè)

f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，證明①若在

[a,b]上則在[a,b]上②若在[a,b]上③若在[a,b]上則在

[a,b]上例2：性質(zhì)5的推論：P233.7（比較定理）性質(zhì)6（估值定理）例3：解：積分中值公式性質(zhì)7（定積分中值定理）使即積分中值公式的幾何解釋：29

定積分的思想和方法：分割求和小結(jié)與思考以直代曲取極限定積分和不定積分定義的角度完全不同，那么它們會(huì)有什么樣的聯(lián)系呢？

在上一節(jié)我們已經(jīng)看到，直接用定義計(jì)算定積分是十分繁難的，而利用定積分的幾何意義來計(jì)算的定積分的類型則相對較少。

因此我們期望尋求一種計(jì)算定積分的簡便而又一般的方法.我們發(fā)現(xiàn)定積分與不定積分之間有著十分密切的聯(lián)系，從而可以利用不定積分來計(jì)算定積分.積分上限函數(shù)記為積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)的性質(zhì)證：由積分中值定理得定理的重要意義：肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.定理2（原函數(shù)存在定理）更一般情況注明：若上限不是

x

而是x

的函數(shù)

a