第二章生物統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)2正態(tài)與抽樣分布

第二節(jié)正態(tài)分布與抽樣分布1.頻率

Frequency

定義

Definition：在大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件A已發(fā)生的次數(shù)a占試驗(yàn)總次數(shù)的比率。

特點(diǎn)（Characteristics）：一個(gè)事件的頻率不是常數(shù)，但隨重復(fù)試驗(yàn)或觀察次數(shù)

n

增加，頻率的波動(dòng)會(huì)不斷減小，逐步趨于穩(wěn)定，稱為頻率的穩(wěn)定性。一、頻率與概率

Frequencyandprobability2.概率

Probability性質(zhì)

Property1）0≤P（A）≤12）P（A）=1，表明該事件為必然事件；

P（A）=0，表明該事件為不可能事件；

0<P（A）<1，表明該事件為隨機(jī)事件。

定義

Definition：同一條件下，試驗(yàn)或觀察次數(shù)n

無(wú)限增大，隨機(jī)事件A

發(fā)生的頻率a

/n

必然穩(wěn)定接近某一常數(shù)P，P就稱為隨機(jī)事件A的概率。

取值

Evaluation：一般情況下P

的取值不可能準(zhǔn)確獲得，以n

充分大時(shí)事件A

發(fā)生的頻率α/n

作為

P

的近似值。1）若事件A的概率為P(A)，那么其對(duì)立事件B

的概率為：

P（B）=1-P（A）運(yùn)算法則

Calculationrule2）若事件A和

B

是互斥的，其概率各為P(A)

和P(B)，那么兩事件的和事件的概率為：

P（A+B）=P（A）+P（B）3）若事件A

和B是獨(dú)立的，其概率各為P（A）和P（B），那么兩事件同時(shí)出現(xiàn)的概率為：

P（A·B）=P（A）·P（B）二、頻數(shù)與頻率分布

Numberandfrequencydistribution1.頻數(shù)與頻率分布在一定條件下，總體或樣本中某觀察值或某區(qū)間（Interval）的觀察值所出現(xiàn)的次數(shù)?？傮w或樣本中某觀察值或某區(qū)間的觀察值出現(xiàn)的次數(shù)在整個(gè)區(qū)間的分布情況?？傮w或樣本中某觀察值或某區(qū)間的觀察值出現(xiàn)的頻率整個(gè)區(qū)間的分布情況。頻數(shù)Number

頻數(shù)分布

Numberdistribution頻率分布Frequencydistribution2.統(tǒng)計(jì)方法Presentationmethodofdata(1)求出極差（R）(2)確定組數(shù)（G）及組距（B）

組數(shù)：n≥100時(shí)，G：8～15n<100時(shí)，G：不少于6組；

n很大時(shí)，G：不大于30組。組距：B=R/G

對(duì)于連續(xù)變量，組距精度與觀察值相同；對(duì)于非連續(xù)變量，組距取整數(shù)。(3)確定組限Grouplimit

組限就是每一組的上限（Upperlimit）和下限（Lowerlimit）

。(4)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)和頻率

通常是采用制作頻數(shù)（頻率）分布表或頻數(shù)（頻率）分布圖的方法。例1：有一小麥品種，隨機(jī)采集100株，量其株高，試說(shuō)明不同株高的理論分布規(guī)律。行號(hào)株高行號(hào)株高行號(hào)株高行號(hào)株高行號(hào)株高190218341986194811002104229942996210282963103231014393639583944102249344101649384945106259945946597859161062693469366888696783279047946791879681062895488968948885910529102499269104899610993095509870989093119931905110371979110112933291528672100928613102339653957392939714101349854857499949515943590559675889597169636955696769896991797379957957798979518105389358967895989619893995599779949910420964010660918010410096表1100株小麥株高（cm）(1)求出極差：R=106-83=23cm表2100株小麥株高頻數(shù)與頻率分布表(2)確定組數(shù)（G）及組距（B）

組數(shù)：G=9

組距：B=23/9=2.56cm(3)確定組限第1組：81.5～

84.49

第2組：84.5～

87.49

第3組：87.5～

90.49……(4)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)和頻率組號(hào)組限中值數(shù)頻數(shù)頻率%181.5-84.498322284.5-87.498644387.5-90.498988490.5-93.49921414593.5-96.49953030696.5-99.49982020799.5-102.4910110108102.5-105.49104889105.5-108.4910744圖1100株小麥的頻數(shù)分布圖2

100株小麥的頻率分布三、正態(tài)分布Normaldistribution1.概念

Definition1）概念正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：式中：——正態(tài)分布中的隨機(jī)變量；

——2.718，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；

——正態(tài)分布總體的平均數(shù)，是曲線最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

——正態(tài)分布總體的標(biāo)準(zhǔn)差，其大小表達(dá)曲線高低胖瘦程度。概率密度函數(shù)

Probabilitydensityfunction

定義：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增加，直方圖趨近于光滑曲線，曲線下包圍的面積表示概率。該曲線稱為概率密度函數(shù)。分布函數(shù)Distributionfunction設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)=P{X≤x}

如果將X看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函數(shù)F(x)在x

處的函數(shù)值就表示X落在區(qū)間(-∞,x]上的概率。正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形是關(guān)于直線x=μ對(duì)稱的；在x=μ處達(dá)到最大值重點(diǎn)了解（1）什么樣？（2）兩個(gè)參數(shù)（3）正態(tài)分布曲線的解釋3）正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)

Characteristicsofthecurveofnormaldistribution（1）圖中μ為總體平均數(shù)，σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)樣品數(shù)越來(lái)越多，處于無(wú)窮多時(shí)，就構(gòu)成了以總體平均數(shù)為軸的正態(tài)分布形式。變數(shù)的次數(shù)分布規(guī)律是以平均數(shù)為軸心形成對(duì)稱的分布規(guī)律，變數(shù)值越靠近平均數(shù)，出現(xiàn)的次數(shù)越多，遠(yuǎn)離平均數(shù)值的變數(shù)次數(shù)越少。落入（）的概率：68.3%；落入（）的概率：95.4%；落入（）的概率：99.7%；落入（）的概率：95%；落入（）的概率：99%。（2）正態(tài)分布總體觀察值落入以下特殊區(qū)間的概率（3）數(shù)學(xué)家根據(jù)有關(guān)公式，計(jì)算出了正態(tài)曲線下不同距離內(nèi)的面積和概率積分表以備應(yīng)用。

P336附表2正態(tài)分布表（4）t

檢驗(yàn)、方差分析等，采用的0.05、0.01顯著性判斷，其原理就是來(lái)源于此。正態(tài)分布的應(yīng)用例2測(cè)得一小麥品種的株高為120cm，試問(wèn)這個(gè)小麥品種株高和例1所選樣品小麥株高有無(wú)本質(zhì)差異？例1小麥品種平均株高為95.9cm,標(biāo)準(zhǔn)差為5.2cm，用正態(tài)曲線概率分布判斷：x±2*5.2cm,即株高在90.7-101.1cm范圍內(nèi)的概率占95.5%，x±3*5.2cm，即株高80.3-111.5cm范圍內(nèi)的概率占99.74%。而這一小麥品種株高為120cm，顯然不在其范圍內(nèi)。說(shuō)明二者有極顯著的差異，這種判斷有99.74%以上的把握性，判錯(cuò)的可能性只有0.26%。4）正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化為了便于計(jì)算概率和一般化應(yīng)用，將正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化。令：且以為度量單位，則概率密度函數(shù)可被標(biāo)準(zhǔn)化為：

式中叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差、正態(tài)離差或概率度。任何正態(tài)分布都可以根據(jù)以上變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

u 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08-3.0

0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810

0 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積(u)0u例：某正態(tài)總體的，求落入?yún)^(qū)間（1.08，1.21）的概率。查附表2：P336（二）小概率事件和小概率原理

在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把概率小于5%的事件，稱為小概率事件（Smallprobabilityevent）。

小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能事件，這一規(guī)律稱為小概率原理（Thesmallprobabilityprinciple）。四、抽樣分布Samplingdistribution1.概念

Definition1）抽樣

Sampling從總體中抽取個(gè)體組成樣本進(jìn)行研究以了解總體特性的過(guò)程。抽樣分布Samplingdistribution

從總體中獨(dú)立抽取隨機(jī)樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)的概率分布，稱為抽樣分布。統(tǒng)計(jì)推斷Statisticalpostulation從一個(gè)樣本或一系列樣本所得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)，去推斷原總體的參數(shù)，稱為統(tǒng)計(jì)推斷。（1）樣本均值抽樣分布的均值等于總體均值幾個(gè)重要的結(jié)論：（2）樣本均值抽樣分布的方差等于原總體方差與樣本容量之比樣本的平均數(shù)所構(gòu)成的新總體的標(biāo)準(zhǔn)差──均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差:五、置信限與置信區(qū)間1.概念置信區(qū)間

Confidenceinterval

在一定概率保證下，誤差的合理存在范圍或區(qū)間稱為置信區(qū)間或置信距。區(qū)間的上下限稱為置信限。置信概率

Confidencelevel

保證誤差合理存在范圍的概率，稱為置信概率、置信度。用P表示。否定區(qū)間Negationinterval

不屬于合理誤差的范圍或區(qū)間，稱為否定區(qū)間。否定概率

Negationprobability

不合理誤差存在范圍或區(qū)間的概率，稱為否定概率，或顯著性水平。用α表示。2.置信限和